Мы уже подчеркивали ( $\S 11$, раздел 4 ), что при передвижении некоторой массы по заданному пути составляющая реакции, направленная вдоль траектории, не может быть определена из общих принципов механики, а подлежит экспериментальному определению. Это было сделано (после ряда подготовительных работ других исследователей) в 1785 г. А. Кулоном (с именем которого навсегда связано установление основных законов электростатики и магнитостатики) в результате проведенных им знаменитых, очень точных для того времени, исследований.
Следуя Кулону, мы различаем:
a) трение покоя, или трение сцепления,
б) трение движения, или трение скольжения.
1. Трение покоя
Если к телу, пребывающему в покое на плоском основании, приложить силу $Z$, параллельную основанию, то при малой силе $Z$ тело останется неподвижным. Поэтому мы должны предположить, что сила $Z$ уравновешивается силой трения $R$. Если, однако, сила $Z$ превзойдет некоторую вполне определенную величину, то тело придет в ускоренное движение.

Согласно Кулону (а также его предшественникам), эта граница $R_{\max }$ пропорциональна нормальному давлению $N$, которое в случае тела, пребывающего в состоянии покоя на горизонтальном основании, равно попросту весу $G$ тела. Таким образом,
\[
R_{\max }=f_{0} \cdot N \text {. }
\]

Рис. 19. Трение покоя на плоском основании

Множитель пропорциональности $f_{0}$ называется коэффициентом трения покоя; он зависит от природы и свойств поверхностей соприкасающихся друг с другом материалов. Если эти материалы одинаковы, то коэффициент трения $f_{0}$ особенно велик (заедание).

Рис. 20. Построение угла трения и конуса трения
С помощью соотношения
\[
f_{0}=\operatorname{tg} \varphi
\]

можно ввести угол $\varphi$, который можно рассматривать как половину угла при вершине так наз. «конуса трения». До тех пор, пока равнодействующая обеих реакций $R$ и $N$ находится внутри этого конуса, движение не может наступить (рис. 20). Когда же эта равнодействующая лежит на боковой поверхности конуса трения, наступает движение.

Физический смысл угла трения становится весьма наглядным при рассмотрении опытов с наклонной плоскостью, впервые поставленных Галилеем (рис. 21). Без дальнейших пояснений пишем:
\[
N=G \cos \alpha, \quad Z=G \sin \alpha=-R .
\]

Поэтому из
\[
R<R_{\max }=f_{0} \cdot N=\operatorname{tg} \varphi \cdot N
\]

вытекает следующее условие покоя:
\[
G \sin \alpha<\operatorname{tg} \varphi \cos \alpha \cdot G,
\]

т. e.
\[
\operatorname{tg} \alpha<\operatorname{tg} \varphi,
\]

или
\[
\alpha<\varphi \text {. }
\]

Тело пребывает в состоянии покоя на наклонной плоскости до тех пор, пока $\alpha<\varphi$. Таким образом, угол трения $\varphi$ означает тот угол наклона плоскости, при котором начинается скольжение.

Приведем менее тривиальный пример. К вертикальной оси прикреплен под углом $\frac{\pi}{2}+\alpha$ боковой стержень, на который надета подвижная втулка (рис. 22). Если ось не вращается, то втулка покоится или движется, смотря по тому, имеет ли место $\alpha<\varphi$ или $\alpha>\varphi$. Если же ось привести во вращение, то к силе тяжести $m g$ векторРис. 21. Равновесие на наклонной плоскости но прибавится центробежная сила $m r \omega^{2}$. В результате сложения этих двух сил возникают нормальная сила $N$ и «тянущая» сила $Z$, равные, согласно чертежу,
\[
\begin{aligned}
N & =m\left(g \cos \alpha+r \omega^{2} \sin \alpha\right), \\
Z & = \pm m\left(g \sin \alpha-r \omega^{2} \cos \alpha\right) .
\end{aligned}
\]

При этом двойной знак у $Z$ означает, что для этой силы мы можем считать положительным как направление вверх, так и направление вниз, т.е. что мы можем рассматривать скольжение втулки как вниз, так и вверх ${ }^{1}$.

Согласно соотношениям (14.1) и (14.2), втулка находится в равновесии, если имеет место неравенство
\[
\pm\left(g \sin \alpha-r \omega^{2} \cos \alpha\right)<\operatorname{tg} \varphi\left(g \cos \alpha+r \omega^{2} \sin \alpha\right) .
\]

Если здесь заменить знак < знаком $=$, то мы получим «границы» равновесия, т.е. начало скольжения. Определим эти предельные положения равновесия с помощью тригонометрического преобразования отдельно для каждого из знаков + и -.
${ }^{1}$ То или другое направление скольжения втулки определяется соотношением силы тяжести и центробежной силы. (Прим. ред.)

Знак + , скольжение вниз:
\[
g \sin (\alpha-\varphi)=r_{1} \omega^{2} \times \cos (\alpha-\varphi),
\]

знак -, скольжение вверх:
\[
g \sin (\alpha+\varphi)=r_{2} \omega^{2} \times \cos (\alpha+\varphi),
\]

или, объединяя эти результаты,
\[
\left.\begin{array}{l}
r_{1} \\
r_{2}
\end{array}\right\}=\frac{g}{\omega^{2}} \operatorname{tg}(\alpha \mp \varphi) .
\]

Следовательно, трение определяет конечный интервал радиусов вращения
\[
r_{1}<r<r_{2},
\]

внутри которого втулка находится в равновесии.
В случае, если $\alpha>\varphi$ (при $\omega \rightarrow 0$

Рис. 22. Подвижная втулка на наклонном вращающемся стержне. Равновесие при учете трения втулка скользит вниз), оба радиуса $r$ положительны и тем более отличаются друг от друга, чем меньше $\omega$. В случае $\alpha<\varphi$ (при $\omega \rightarrow 0$ втулка находится в равновесии благодаря трению) радиус $r_{1}=0$ (по формуле даже отрицателен), и только радиус $r_{2}$ положителен; с возрастанием $\omega$ радиус $r_{2}$ также приближается к нулю.
2. Трение при движении
В этом случае справедлив закон трения
\[
R=f N .
\]

Коэффициент трения скольжения $f$ в основном не зависит от скорости движения ${ }^{1}$ и, подобно коэффициенту трения покоя $f_{0}$, является
${ }^{1}$ Опыт эксплуатации железных дорог показал, что при больших скоростях $v$ коэффициент $f$ монотонно убывает с возрастанием $v$ (трение скольжения между колесами и тормозными колодками).

постоянной, зависящей от материала и свойств поверхностей. При этом заслуживает особого внимания тот факт, что
\[
f<f_{0} .
\]

В случае скольжения по прямолинейной траектории сила нормального давления $N$ равна силе тяжести (или перпендикулярной к траектории слагающей силы тяжести); в с.учае же искривленной траектории следует, кроме силы тяжести, принимать во внимание также и центробежную силу, в соответствии с уравнением (11.15).

Поясним неравенство (14.5) при помощи крайне примитивного, но поразительного по своему результату опыта: положите трость на указательные пальцы правой и левой рук. Согласно рис. 11a, распределение сил будет таково:
\[
A=\frac{b}{a+b} G ; \quad B=\frac{a}{a+b} G .
\]

Приближайте указательные пальцы друг к другу. Скольжение будет происходить попеременно то на правом, то на левом пальце до тех пор, пока пальцы не соединятся. Спрашивается, где произойдет их соединение? (В дальнейшем ходе рассуждения мы будем буквами $A$ и $B$ обозначать ради краткости не только силы давления трости на оба пальца, но и точки приложения соответствующих сил, т.е. сами пальцы.)

Пусть вначале $A>B$. Таким образом, скольжение начинается у $B$. Но палец $B$ движется не только до тех пор, пока расстояние $a$ не станет равным расстоянию $b$, а продолжает скользить до точки $b_{1}<a$, где трение скольжения в точке $B$ будет равно трению покоя в точке $A$. Далее имеем
\[
R_{B, \text { движ. }}=f a \frac{G}{a+b}, \quad R_{A, \text { пок. }}=f_{0} b \frac{G}{a+b} .
\]

Приравнивая эти выражения для случая $b=b_{1}$, получаем
\[
f a=f_{0} b_{1}, \quad \frac{a}{b_{1}}=\frac{f_{0}}{f}>1 .
\]

В этот момент должно начаться скольжение у пальца $A$. Но так как сила трения $R_{A \text { пок. тотчас же пере }}$ пет в $R_{A \text { движ. }}<R_{A \text { пок. }}$, то сила трения $R$ в точке $b_{1}$ будет больше силы трения в точке $A$, т.е. В перестанет двигаться, и сила трения $R_{B}$ движ. перейдет в $R_{B}$ пок.

Это повторяется в каждой точке «смены движения». При этом пальцы $A$ и $B$ приближаются (так как всякий раз фигурирует частное $f_{0} / f$ ) в геометрической прогрессии к центру тяжести, при достижении которого $a=b=0$. В конечном состоянии трость находится в равновесии на сошедшихся друг с другом пальцах.

Вернемся к трению покоя, которое в качестве трения сцепления имеет решающее значение при чистом качении. Как ни парадоксально, но именно это трение заставляет поезд двигаться вперед (то же самое нужно сказать и об автомобиле; пешеход на гладком полу также движется вперед лишь благодаря трению сцепления). Давление пара, поскольку оно является внутренней силой, никогда не могло бы привести в движение центр тяжести паровоза. Для этого необходима внешняя сила – реакция между рельсами и колесами, т.е. как раз трение сцепления.

Рис. 23. Реакция между колесом локомотива и рельсом. В случае чистого качения возникающее трение покоя приводит поезд в движение
Рассмотрим приведенное в движение колесо паровоза (рис. 23). Паровой двигатель передает посредством шатуна момент $\mathbf{M}$ на колесо; первичным действием этого момента было бы приведение колеса в ускоренное вращение. Последнее, однако, не осуществляется ввиду наличия чистого качения, условием которого, согласно уравнению (11.10), является
\[
\dot{z}=r \omega .
\]

Если $m$ – масса поезда, приходящаяся на приведенное в движение колесо, $W$ – сопротивление движению (сопротивление воздуха, потери на трение в осевых подшипниках и т. д.), $\Theta$ – момент инерции колеса, то уравнения движения будут иметь следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{z}=R-W, \\
\Theta \ddot{\varphi}=M-R r .
\end{array}\right\}
\]

Трение сцепления нельзя установить a priori; его можно, однако, определить из вышеприведенных уравнений следующим образом. Сперва нужно исключить $R$ из уравнений, эквивалентных уравнениям (14.7):
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{z}=R-W \\
m_{\text {прив. }} \ddot{z}=P-R .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $P$ – окружная сила, соответствующая моменту $M$, а $m_{\text {прив. }}$, как и в уравнении (11.8), – приведенная масса, соответствующая моменту инерции $\Theta$ :
\[
M=\operatorname{Pr}, \quad \Theta=m_{\text {прив. }} \cdot r^{2} .
\]

Из уравнений (14.8) получаем
\[
\left(m+m_{\text {прив. }}\right) \ddot{z}=P-W
\]

и, принимая во внимание первое уравнение (14.8),
\[
R=W+\frac{m}{m+m_{\text {прив. }}}(P-W)=\frac{m P+m_{\text {прив. }} W}{m+m_{\text {прив }} .} .
\]

Формулу (14.9) можно было бы, впрочем, написать и прямо на основании принципа Даламбера. Первое из уравнений (14.8) содержит количественное доказательство нашего утверждения, что силой, движущей поезд, является трение сцепления $R$. В частности, для равномерного движения это уравнение дает
\[
R=W \text {. }
\]

Окружная сила $P$, обусловленная давлением пара, нужна здесь для того, чтобы, как это показывает второе уравнение (14.8), вызвать трение сцепления между рельсами и колесами паровоза.

Обычный рельсовый путь называют (в отличие от зубчатой железной дороги) адгезионным путем (адгезия – молекулярное сцепление). Это название подчеркивает, что здесь главную роль играет сцепление колес с рельсами и, следовательно, трение сцепления. Признаком этого является также непрерывное повышение веса паровозов, сопровождающее увеличение нагрузки или скорости поездов на железнодорожном транспорте. Это обстоятельство прямо указывает на закон трения Кулона [уравнение (14.1)], по которому трение сцепления пропорционально нормальному давлению $N$. Тот общеизвестный факт, что на слишком скользких рельсах (обледенелых и т. п.) сцепления не получается и колеса начинают скользить, указывает на роль другого сомножителя, $f_{0}$, в уравнении (14.1), который, как уже подчеркивалось, зависит от состояния поверхности рельсов. Для увеличения этого коэффициента трения $f_{0}$ рельсы в необходимых случаях посыпают песком (чем предотвращается скольжение колес).