ЛАПЛАСА ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

— преобразования, устанавливающие связь между оригиналами и изображениями решетчатых функций. Прямое Л. д. п. функции решетчатой и смещенной решетчатой функции определяется соответственно следующими соотношениями:

и

Здесь комплексное число, наз. параметром Л. д. п., Т — интервал дискретности решетчатой функции, s — параметр обычного Лапласа преобразования. Значение для которого при ряды (1) сходятся, а при расходятся, наз. абсциссой сходимости. В (1) решетчатые ф-ции оригиналами, а ф-ции комплексной переменной — изображениями. Соотношения (1) сокращенно записываются в виде:

и

где D — символ Л. д. п., a — знак соответствия между оригиналом и изображением.

Часто пользуются также следующими преобразованиями:

И

где Эти Л. д. п. наз. соответственно реобразованием и модифицированным реобразованием и обозначаются так:

и

Помимо односторонних Л. д. п.,, приведенных выше, пользуются также двухсторонними Л. д. п., которые определяются (1) или (3), если суммирование ведется в пределах Если оригиналы равны нулю при то двухстороннее Л. д. п. совпадает с односторонним.

Любую решетчатую ф-цию постоянным интервалом дискретности) можно представить в виде суммы N решетчатых ф-ций называемых компонентами с пропуском:

где

z-преобразование этих компонент, или т. н. z-преобразование с пропуском, определяемые по формуле (2), можно представить в виде

Это преобразование можно определить и по изображению исходной решетчатой ф-ции

где замкнутый контур, разделяющий особенности - и При исследовании дискретных систем с амплитудно-импульсной модуляцией 2-го рода (см. Модуляция импульсная) иногда применяют т. н. реобразование, которое представляет собой обычное преобразование Лапласа ф-ций определяемых следующим образом:

Преобразование, устанавливающее связь между изображениями ф-ций соответственно, обозначаются через и определяется следующей формулой:

где — контур интегрирования, охватывающий все полюсы преобразование распространяется также на ф-ции определяемые так:

и используется при анализе дискретных систем с конечным временем съема данных, в которых одновременно происходит частотно-, широтно- и амплитудно-импульсная (2-го рода) модуляция.

Обратные Л. д. п., аозволяющие по изображениям определить оригиналы, даются формулами обращения:

где

Для изображений, представляющих собой дробнорациональные функции по применяют формулы разложения, аналогичные таковым в обычном преобразовании Лапласа; применяют также методы, основанные на разложении изображений в ряд Лорана

При этом в (12) члену соответствует значение решетчатой функции в момент времени Связь между изображениями по Лапласу и Л. д. п. устанавливается соотношениями:

и

которые записывают иногда в виде

Соотношения, подобные (11) и (13) — (15), свойственны и z-преобразованиям. Подобно (15,6), для обозначения обратных преобразований используют символы

В практических расчетах широко используют таблицы изображений для наиболее распространенных функций, что позволяет находить оригиналы без обращения к общим формулам обратного Л. д. п.

Л. д. п. используются при исследовании дискретных систем автомат, управления, приближенном исследовании непрерывных систем, решении разностных уравнений и т. д.

Лит.: Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М., 1963 [библиогр. с. 926—963]; Проблемы теории импульсных систем управления. Итоги науки. М., 1966 [библиогр. с. 173—174]; Фридланд Б. Импульсные системы регулирования с периодически меняющимися параметрами. В кн.: Труды I Международного конгресса Международной федерации по автоматическому управлению, т. 2. М., 1961: Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. Пер. с англ. М., 1963 [библиогр. с. 445-450]; Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования. Пер. с нем. М., 1971.

Ю. В. Крементуло.