Глава III. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ

Резюме

Применение линейных представлений групп и алгебр Ли является одним из самых мощных средств для изучения этих математических объектов. В этой главе формулируется ряд общих свойств понятия представления; читатель не найдет здесь глубоких теорем, но познакомится с многочисленными результатами, которые часто будут нужны в дальнейшем.

Если дано некоторое представление А группы всех автоморфизмов векторного пространства V, то каждому представлению группы автоморфизмами пространства V можно сопоставить новое представление группы Но элементы группы индуцируют автоморфизмы в тензорной, симметрической и внешней алгебрах над пространством V и над дуальным к нему пространством; представления, которые таким образом получаются, распадаются на представления, действующие в подпространствах однородных элементов этих алгебр. Таким образом, каждому представлению группы можно сопоставить бесконечное множество новых представлений группы тензорные степени, симметрические степени и внешние степени представления и дуального представления. Все эти представления мы будем называть сопровождающими представлениями представления Детальное их рассмотрение составляет предмет тензорного исчисления в самом широком смысле этого термина. Не входя в подробное изучение этой области, мы дадим основные относящиеся сюда определения.

Одной из важнейших проблем теории представлений групп является разыскание инвариантов самого представления и сопровождающих его представлений. В случае связных групп Ли или неприводимых алгебраических групп над полем характеристики для каждого представления группы найдется соответствующее представление алгебры Ли а группы и задание полностью определяет Мы установим (п° 9, теорема 1 и ее следствия) тот хорошо известный факт, что инварианты представления это как раз те элементы, которые аннулируются операторами кольца мы назовем их элементами, гармоническими относительно Так как представления алгебр Ли являются линейными отображениями этих алгебр, то указанная теорема позволяет в некоторой мере "линеаризовать" проблему инвариантов.

Чтобы иметь возможность применять вышеупомянутую теорему, надо уметь определять дифференциалы представлений группы сопровождающих любое данное представление Эти дифференциалы зависят

только от дифференциала представления мы покажем, как они определяются в каждом отдельном случае. В то время как тензорные (или симметрические, или внешние) степени представления получаются продолжением операторов из с помощью автоморфизмов соответственных алгебр, их дифференциалы получаются продолжением операторов из с помощью дериваций этих алгебр.

Если V — векторное пространство, то билинейную форму В на VXV можно интерпретировать тремя различными способами: во-первых, можно рассматривать ее как элемент тензорного произведения дуального пространства V на себя; во-вторых, как линейную функцию на в-третьих, можно считать что она определяет линейное отображение пространства С помощью линейного отображения можно естественным образом определить линейное отображение пространства Оказывается, что если В — симметрическая (или кососимметрическая) форма, то, рассматриваемая как элемент пространства она принадлежит образу пространства при отображении

В частности, если форма В невырождена, то в пространстве существует единственный элемент такой, что существование такого является причиной того, что всякий невырожденный симметрический ковариантный тензор определяет ipso facto ковариантный тензор Исследование только что описанного положения — а оно представится нам при изучении оператора Казимира (см. гл. IV) — составляет содержание который, признаемся, имеет лишь весьма отдаленное отношение к изучению представлений.

Ковариантом двух представлений некоторой группы мы называем всякое линейное отображение пространства представления в пространство представления такое, что для всех Мы покажем (п° 10), как можно свести разыскание контравариантов к некоторой задаче об инвариантах. Одно из наиболее важных свойств простых представлений состоит в том, что всякий отличный от ковариант двух простых представлений есть взаимно однозначное отображение пространства представления на пространство представления (лемма Шура). Из этого факта вытекают, между прочим, некоторые следствия для билинейных форм, инвариантных относительно простого представления; именно, в случае алгебраически замкнутого основного поля существует (с точностью до постоянного множителя) только одна инвариантная билинейная форма, и эта форма симметрична или кососимметрична.