§ 7. Простые алгебры размерности 3 и их представления

Не существует полупростых алгебр Ли размерности отличных от Действительно, пусть полупростая алгебра Ли, ее фундаментальная билинейная форма. Тогда алгебра изоморфна подалгебре алгебры (ср. § 6, п° 2). Но, как мы видели, если размерность алгебры равна 1 или 2, то алгебра абелева и, следовательно, полупростых подалгебр, отличных от не содержит. Отсюда и из предложения 8 § 2 немедленно следует, что всякая полупростая

алгебра размерности 3 будет простой; мы видели в § 6, что такие алгебры существуют, например где V — двумерное векторное пространство над полем характеристики 0.

Итак, пусть простая алгебра размерности 3, и пусть В — ее фундаментальная билинейная форма. Пусть X — элемент из оператор допускает в качестве характеристического корня [так как ]. Кроме того, так как алгебра совпадает со своей производной алгеброй (предложение 9 § 2), то (лемма 1 § 3). Поэтому характеристические корни оператора (в подходящем расширении основного поля К алгебры представимы в виде и Имеем (это показывает, что и характеристический полином оператора есть Возможны два совершенно различных случая в зависимости от того, представляет ли фундаментальная квадратичная форма элемент или нет, т. е. в зависимости от того, найдется ли в или нет такой элемент что Мы будем рассматривать здесь исключительно тот случай, когда такой элемент для которого существует, иначе говоря, когда алгебра содержит такой элемент что оператор нильпотентен. Заметим, что если это не так, то всегда существует поле квадратическое расширение поля такое, что алгебра содержит отличный от элемент, образ которого при присоединенном представлении этой алгебры нильпотентен.

Пусть теперь X — отличный от элемент из такой, что нильпотентен. Тогда можно найти такой базис алгебры что

где и с — элементы поля Так как подпространство, порожденное элементом X, не является идеалом, то Имеем

откуда Если бы то пространство, порожденное элементами X и 7, было бы абелевым идеалом размерности 2, что невозможно. Заменяя элементом мы видим, что можно предположить, что Формула показывает, что линейная комбинация элементов в которую входит с коэффициентом —а. Вычитая из подходящее кратное

мента X, что не изменяет мы видим, что можно предположить Несколько изменив обозначения, мы видим, что алгебра обладает базисом для которого

С другой стороны, если умножить подходящие множители, то все можно свести к случаю это показывает, что все простые алгебры размерности 3 над полем К, для которых содержит нильпотентный элемент, между собой изоморфны. [В частности, они изоморфны алгебре где

V — двумерное векторное пространство над полем Но мы предпочитаем (по соображениям, смысл которых выяснится позже) сохранять множитель а в структурных формулах (1).

Мы займемся теперь изучением представлений алгебры определенной формулами (1). Пусть некоторое представление алгебры положим

тогда элементы ассоциативной алгебры эндоморфизмов пространства V представления и они связаны формулами

Пусть вообще элементы какой-нибудь ассоциативной унитарной алгебры (единицу которой мы обозначим через удовлетворяющие формулам (2). Тогда индукцией по легко доказывается, что для всех целых

Отсюда, более обще, вытекает, что для каждого полинома с коэффициентами из основного поля алгебры выполняются формулы

Так же нетрудно (индукцией по вывести следующие формулы (справедливые для

Вернемся теперь к случаю, когда определены, как и выше, посредством представления алгебры Так как

то так как это имеет место для всех то отсюда, как известно, вытекает нильпотентность элемента [всякая реплика R эндоморфизма Р представима полиномом от (том II, предложение 3 из § 14 гл. II); имеем и нильпотентен, в силу теоремы 17 § 14 гл. II (том II)]. Аналогично устанавливается нильпотентность элемента Мы будем предполагать, что пространство V представления не равно в V найдется элемент для которого Положим

Так как элемент нильпотентен, то для достаточно больших Предположим, что (где Из формул (4) при и из равенства следует, что

С другой стороны, также из (4) вытекает, что

откуда

Положим теперь

Тогда снова из формул (4) заключаем, что

где по определению равно 0. Эти формулы показывают, что для Кроме того, должно быть так как иначе из наших формул вытекало бы, что были бы отличны от для всех что невозможно, поскольку эндоморфизм нильпотентен. Из наших формул следует, что элементы порождают подпространство V пространства V, допустимое относительно Элемент собственный вектор эндоморфизма с собственным значением

все эти собственные значения различны, так что элементы образуют базис пространства размерность которого равна Если представление простое, то и мы видим, что все простые представления одинаковой степени алгебры эквивалентны между собой. Обратно, если какое-нибудь неотрицательное целое число, то существует простое представление степени 1 алгебры Действительно, введем векторное пространство V размерности и некоторый его базис Определим эндоморфизмы пространства V с помощью формул (5) (элементы положим равными 0). Тогда можно легко проверить, что эти эндоморфизмы связаны между собой соотношениями (2), так что существует представление алгебры для которого

Представление простое. Действительно, так как алгебра g простая то представление во всяком случае полупростое. Но из сказанного выше следует, что всякое отличное от подпространство пространства V, допустимое относительно содержит отличный от вектор, который аннулируется эндоморфизмом Пространство векторов из V, аннулируемых элементом имеет размерность 1, так что представление простое.

Пусть простое представление степени 2 алгебры тогда совпадает с где V — пространство представления Существует базяс пространства V, для которого

Пусть симметрическая алгебра над пространство однородных элементов степени из и симметрическая сумма представления Элементы вида образуют базис пространства и мы имеем

отсюда непосредственно следует, что простое представление степени Мы установили следующий результат:

Предложение 1. Пусть простая алгебра размерности 3 над полем характеристики 0. Если содержит нильпотентный элемент, то имеет базис структурные константы которого задаются приведенными выше формулами (1) (при этом а — отличный от элемент поля К, которому подходящим выбором базиса можно придать любое отличное от значение). Алгебра допускает точное простое представление степени 2; если V — пространство этого представления, то алгебра совпадает с Для всякого симметрическая сумма представления есть простое представление степени алгебры и каждое простое представление степени алгебры эквивалентно представлению Если V — пространство какого-нибудь представления алгебры то V обладает базисом, состоящим из собственных векторов эндоморфизма собственные векторы представления принадлежат собственным значениям а

Последнее утверждение вытекает из формул (5) и из того, что представление полупростое.

Следствие. Пусть алгебра, определенная в предложении некоторое представление алгебры пространство представления собственный вектор эндоморфизма Тогда

где некоторое целое число. Пусть наибольшее целое такое, что наибольшее целое 0, для которого Если то вектор

отличен от и является собственным вектором эндоморфизма принадлежащим собственному значению Если представление простое, то его степень равна

Мы можем положить где каждый элемент принадлежит подпространству пространства V, допустимому относительно и такому, что ограничение

представления на является простым представлением. Предположим, что все отличны от 0, и обозначим через 1 степень представления через наибольшее целое неотрицательное число, такое, что и через наибольшее целое неотрицательное число, такое, что Ясно, что

Число равно наибольшему из чисел наибольшему из Из рассмотрения формул (5) сразу видно, что и что вектор отличен от для и отвечает собственному значению эндоморфизма Если -такой индекс, что то наибольшее из чисел так что наибольшее из чисел следовательно, что и доказывает следствие.

Предложение 2. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем характеристика и нильпотентный эндоморфизм пространства Тогда найдутся элементы из такие, что

Пространство V можно представить в виде прямой суммы подпространств допустимых относительно эндоморфизма но таких, что ни одно из них не разложимо уже в прямую сумму двух подпространств, отличных от допустимых относительно (т. е. неразложимых относительно Отсюда заключаем, что предложение 2 достаточно доказать для случая, когда пространство V неразложимо относительно Пусть тогда наибольшее неотрицательное целое число, такое, что и пусть такой элемент из V, что положим Тогда подпространство V пространства V, порожденное элементами отображается в себя эндоморфизмом Покажем, что Среди всех подпространств пространства V, которые допустимы относительно и пересечение которых с V содержит только

элемент 0, выберем некоторое подпространство максимальной размерности. Заметим, что если такое подпространство в V, что если и I — наименьший показатель 0, для которого то всякий полином такой, что делится на Действительно, пусть наибольший общий делитель полиномов тождество Безу показывает, что откуда Полагая мы видим, что образуют базис пространства Положим и пусть

Имеем

и, следовательно,

полином. Пусть и пусть пространство, порожденное пространством и элементами тогда Пусть -полином) — элементиз Тогда значит, делится на Так как В силу выбора имеем Итак, так как пространство V неразложимо, то Теперь достаточно определить эндоморфизмы пространства V указанными выше формулами (5), положив в них