4. Направляющее пространство

Напомним, что каждой полиномиальной функции над пространством V можно сопоставить ее дифференциал (см. том II, § 4 гл. I) Отображение является полиномиальной функцией на кроме того, для фиксированного функция линейна.

Определение 4. Пусть точка неприводимого подмножества пространства Направляющим пространством множества в точке называется множество таких что для всех полиномиальных функций над V, равных нулю на

Это множество является, очевидно, подпространством в Мы обозначим (в этом п°) через направляющее пространство множества точке

Пусть а — идеал, соответствующий Если размерность пространства V, то кольцо изоморфно кольцу полиномов от переменных с коэффициентами из поля согласно теореме Гильберта, отсюда следует, что всякий идеал в содержит конечную систему образующих. Пусть конечная система образующих для идеала а. Для того чтобы элемент принадлежал пространству точка множества достаточно, чтобы

Действительно, всякую функцию можно представить в виде где принадлежат кольцу следовательно,

и из условия вытекает, что Это доказывает наше утверждение. Пусть -базис пространства Функции

— полиномиальные функции над их ограничения на мы обозначим через Если то размерность пространства равна где ранг матрицы

Пусть - неприводимое подмножество в V, и пусть любая прямоугольная матрица с коэффициентами из матрицу можно рассматривать как матрицу с коэффициентами из поля отношений области целостности таким образом, можно говорить о ранге такой матрицы. С другой стороны, для мы обозначим через матрицу, элементы которой являются значениями, принимаемыми в точке элементами матрицы При этих обозначениях мы можем сформулировать следующую лемму:

Лемма 1. Пусть - неприводимое подмножество пространства V, и пусть прямоугольная матрица с коэффициентами из Функция, сопоставляющая каждому ранг матрицы полунепрерывна снизу. Для всех ранг матрицы не больше ранга матрицы а равенство имеет место для всех точек некоторого непустого относительно замкнутою подмножества множества

Обозначим через ранг матрицы Пусть неотрицательное целое число; неравенство имеет место тогда и только тогда, когда все миноры степени матрицы (если они существуют) равны нулю. Но эти миноры, рассматриваемые как функции от х, являются полиномиальными функциями. Таким образом, множество тех для которых относительно замкнуто; это показывает, что функция полунепрерывна снизу. Пусть ранг матрицы тогда все миноры степени матрицы (если такие существуют) равны нулю во всех точках множества так что С другой стороцы, существует минор степени матрицы отличный от 0; если такой элемент, что то ранг равен Множество тех для которых совпадает с множеством тех элементов х, для которых это множество открыто, так как функция полунепрерывна снизу.

Следствие. Пусть прямоугольные матрицы с коэффициентами из Множество тех точек для которых ранг каждой матрицы

равен рангу соответствующей иатрицы есть относительно открытое и непустое множество.

Это утверждение непосредственно следует из леммы 1 и предложения 8.

Вернемся теперь к рассмотрению направляющего пространства обозначениям, введенным выше. Если обозначает размерность пространства то из леммы 1 следует, что функция полунепрерывна сверху. Ее минимум равен разности между числом и рангом матрицы Мы дадим числу другую интерпретацию. Пусть поле отношений кольца Число равно максимальному числу линейно независимых решений (в поле системы линейных уравнений

неизвестными Покажем, что это число равно размерности векторного пространства над состоящего из дериваций алгебры над полем К. Обозначим через координатные функции над V относительно базиса тогда можно положить

где полином с коэффициентами из К от переменных Если х, у — элементы из V, то

откуда следует, что

Обозначим через ограничение на тогда наша система линейных уравнений записывается так:

Но так что и функции составляют систему образующих для идеала алгебраических соотношений между функциями Из одного предложения, доказанного Бурбаки (Алгебра, гл. V, § 9, n° 1,

предложение 3), следует, что формулы элементы поля определяют решение системы (1) тогда и только тогда, когда существует деривация алгебры над полем К, для которой далее, если это условие выполнено, то деривация определена единственным образом баки, Алгебра, гл. V, § 9, п° 1, предложение 2). Отсюда непосредственно вытекает, что размерность пространства 2) (над -дериваций алгебры равна

Но мы покажем, что это число равно степени трансцендентности поля над полем К. Используя одну теорему Бурбаки (Алгебра, гл. V, § 9, п° 3, теорема 2), легко убедиться в том, что достаточно доказать сепарабельность поля над полем К. Можно предположить, что поле характеристики достаточно показать, что если элементы из линейно независимы относительно К, то и элементы линейно независимы (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 8, п° 2, следствие предложения Пусть — элементы из для которых

и пусть отличный от элемент из для которого все функции лежат в имеем

Пусть такое надполе поля что каждое является степенью в тензорном произведении имеем

Однако область целостности (следствие предложения 10); значит,

Но элементы очевидно, линейно независимы относительно поля таким образом, откуда что и доказывает наше утверждение.

Определение 5. Пусть неприводимое подмножество в пространстве Размерностью множества называется степень трансцендентности над полем К поля отношений кольца полиномиальных функций над

Пусть векторное подпространство в размерность множества в смысле данного определения равна его размерности как векторного пространства. Действительно, если размерность векторного пространства то кольцо изоморфно алгебре полиномов от переменных с коэффициентами из поля С другой стороны, в случае алгебраических групп данное определение совпадает с определением из гл. II.

Мы получили следующий результат:

Предложение 13. Пусть неприводимое подмножество пространства Если то размерность пространства по меньшей мере равна размерности множества Множество тех для которых размерность равна размерности есть относительно открытое и непустое подмножество в

Определение Сохраняя обозначения предложения 13, назовем простыми те точки из для которых размерность пространства равна размерности множества

Предложение 14. Пусть неприводимые подмножества пространства V, такие, что и пусть размерности равны соответственно Тогда для равенства необходимо и достаточно, чтобы множество было плотно в

Пусть гомоморфизм ограничения кольца на кольцо Множество содержит базис трансцендентности своего поля отношений (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 5, п. 1). Пусть элементы из для которых" Если -полином от

переменных с коэффициентами из то и этот элемент если Отсюда можно заключить, что алгебраически независимы над К, так что и что индуцирует изоморфизм кольца Если плотно в то кольцо изоморфно кольцу так что Предположим, наоборот, что Пусть элемент из для которого Так как образуют базис трансцендентности поля отношений кольца то алгебраический элемент над полем отношений кольца пусть его минимальный полином относительно этого поля (полином, от переменной Существует элемент из такой, что коэффициенты полинома принадлежат пусть полином, получающийся из заменой коэффициентов последнего их образами при гомоморфизме . Так как то так что Так как индуцирует изоморфизм кольца то так что Так как полином неприводим, то из этого вытекает, что откуда Мы видим, что -изоморфизм и что, следовательно, множество плотно в (предложение 3).

Предложение 15. Пусть -неприводимое подмножество в пространстве надполе поля пусть точка из Если рассматривать множество как подмножество в то его направляющее пространство в точке получается из пространства расширением основного поля до Размерность множества не зависит от того, рассматривается ли это множество как подмножество в V или в

Пусть базис поля над К. Всякая полиномиальная функция над представима в виде где продолжения на полиномиальных функций над Для точек х, у из V имеем

и

С другой стороны, для того чтобы обращалась в нуль на необходимо и достаточно, чтобы каждая функция обращалась в нуль на Отсюда непосредственно следует первое

утверждение предложения 15. Второе утверждение является следствием первого.

Предложение 16. Пусть конечномерные векторные пространства над полем неприводимое подмножество в точка из неприводимое подмножество в точка из Тогда

Размерность равна сумме размерностей множеств

Тензорное произведение можно отождествить с отождествляя произведение с полиномиальной функцией над Для имеем

Действительно, пусть проекция произведения на так как линейное отображение, то

С другой стороны, имеет место равенство и наша формула вытекает из формулы (7) § 4 гл. I (том II). Пусть идеалы, отвечающие множествам в кольцах и соответственно. Если то обращается в нуль на Отсюда и из доказанной формулы усматривается, что из следует Равным образом легко убедиться, что при имеет место равенство

и что, следовательно, из следует Таким образом, пространство содержится в Кроме того, из формулы следует, что

Условие влечет за собой равенство для всех элементов множества

Это множество содержится в идеале, соответствующем множеству в кольце Покажем, что оно с ним совпадает. Выберем базис Для векторного пространства над полем К, содержащий базис пространства а, и базис в содержащий базис

Пусть и соответственно дополнения множеств относительно множеств Тогда прямая сумма пространства с и пространства базис которого состоит из элементов для Пусть ограничения функций на соответственно; тогда образуют базис для базис для Если обозначить через ограничение на то из предложения 7 следует, что элементы для образуют базис для Это означает, что ни один отличный от элемент из не содержится в идеале, соответствующем так что этот идеал совпадает с с. Отсюда вытекает, что

Второе утверждение предложения 16 является следствием первого.

Пусть неприводимое подмножество в V, а -полиномиальное отображение множества в конечномерное векторное пространство над полем К. Пусть точка из — элемент пространства Отображение можно представить как ограничение на некоторого полиномиального отображения пространства V в пространство это полиномиальное отображение обладает дифференциалом. Покажем, что значение не зависит от выбора отображения Достаточно показать, что для всех полиномиальных отображений пространства V в пространство отображающих на Но если базис пространства то

где полиномиальные функции на пространстве V, равные нулю на Таким образом, откуда что и доказывает наше утверждение. Элемент мы обозначим через Для

фиксированного x отображение пространства в пространство линейно; это отображение называется дифференциалом отображения в точке и обозначается через

Предложение 17. Пусть неприводимое подмножество в V, а -полиномиальное отображение множества в конечномерное векторное пространство над полем К. Если то пространство содержит образ пространства при дифференциале отображения в точке Если характеристика поля К равна 0, то существует относительно открытое непустое подмножество множества такое, для всех

Отображение можно представить в форме ограничения на некоторого полиномиального отображения пространства V в пространство Если полиномиальная функция над то для того, чтобы она обращалась в нуль на необходимо и достаточно, чтобы полиномиальная функция над V была равна нулю на Отсюда сразу вытекает, что отображение

есть изоморфизм кольца на некоторое подкольцо кольца Если то имеет место равенство

и это последнее выражение равно нулю, если обращается в нуль на что и доказывает первое утверждение. Предположим теперь, что характеристика поля К равна нулю. Обозначим через размерности множеств а через поля отношений колец и §. Степени трансцендентности полей над полем К соответственно равны а степень трансцендентности поля над полем равна баки, Алгебра, гл. V, § 5, п° 4, теорема 4). Пусть пространство -дериваций поля пространство -дериваций поля Так как характеристика поля равна 0, то 2) и 6 — векторные пространства над полем размерностей соответственно баки, Алгебра, гл. V, § 9, п° 3, теорема 2). Пусть базис пространства 2), содержащий базис пространства 6.

Пусть - координатные функции над V в некотором базисе этого пространства, и пусть ограничение на следовательно,

Можно найти элемент из произведения которого на элементы из все принадлежат . Положим

Элементы также образуют базис пространства базис для кроме того, элементы принадлежат Отсюда следует, что деривации отображают в себя (том II, предложение 3 из § 3 гл. I).

Пусть какая-нибудь - деривация алгебры Для обозначим через вектор пространства V, определенный условиями

Так как полиномиальные функции над то отображение множества есть полиномиальное отображение. Пусть полиномиальная функция над V, и пусть ограничение функции на Тогда для имеем

Действительно, положим где -полином от переменных с коэффициентами из поля К. Имеем

С другой стороны, так что

а отсюда непосредственно вытекает справедливость формулы (2). В частности, если т. е. если равна нулю на то Следовательно, Положим

Пусть базис пространства Для положим

Так как отображение пространства полиномиальное, то - полиномиальные функции над Покажем, что ранг матрицы равен

Если бы это было не так, то можно было бы найти элементов из среди которых имелись бы отличные от 0, таких, что

Умножая в случае необходимости элементы на подходящий элемент из можно было бы предположить, что все эти элементы принадлежат кольцу Тогда деривация отображала бы кольцо в себя. Пусть какая-нибудь полиномиальная функция над и пусть ее ограничение на Тогда

и из равенств вытекало бы, что так что Так как ограничение на функции есть то, согласно (2), мы имели бы для всех Деривация отображала бы тогда в все элементы из следовательно, также все элементы из поля отношений кольца 8; она принадлежала бы тогда пространству Но это, очевидно, невозможно, так как элементы из линейные комбинации элементоз Итак, наше утверждение доказано. С помощью леммы 1 мы видим, что множество тех элементов для которых матрица имеет ранг есть относительно открытое и непустое подмножество в Ясно, что если то размерность пространства будет Но множество простых точек из является относительно открытым и непустым подмножеством в Так как отображение непрерывно, то относительно открытое

и непустое подмножество в Множество относительно открыто в и непусто. Если то пространство имеет размерность и содержится в пространстве размерность которого равна Следовательно,

что и доказывает предложение 17.