9. Инварианты

Пусть представление группы Элемент пространства этого представления называется инвариантом представления если для всех

Теорема 1. Пусть рациональное представление алгебраической группы над полем характеристики 0. Пусть подпространства пространства V представления такие, что Множество элементов группы для которых имеет место сравнение

при всех образует алгебраическую подгруппу группы и алгебра Ли подгруппы состоит из тех элементов X алгебры Ли группы для которых отображает

Пусть -группа всех автоморфизмов пространства V, таких, что для всех Тогда группа -алгебраическая, и ее алгебра Ли состоит из всех эндоморфизмов пространства V, отображающих (том II, пример 4 из § 10 гл. II). Теорема 1 вытекает из теоремы 12 § 14 гл. II (том II).

Следствие 1. При обозначениях теоремы 1 совокупность элементов группы для которых отображает пространство в себя, есть алгебраическая группа, и ее алгебра Ли состоит из тех элементов X алгебры Ли группы для которых отображает пространство в себя.

Это утверждение вытекает из теоремы 1 для случая

Следствие 2. При обозначениях теоремы 1 пусть любое подмножество пространства Тогда группа всех элементов таких, что для всех алгебраическая, и ее алгебра Ли состоит из тех элементов X алгебры Ли группы для которых при всех

Достаточно применить теорему 1 к случаю, когда есть пространство, порожденное множестэом пространство

Следствие 3. При обозначениях теоремы 1 предположим еще, что группа неприводима. Тогда для того, чтобы подпространство было допустимым относительно необходимо и достаточно, чтобы оно было допустимым относительно

Действительно, пусть группа тех для которых отображает пространство в себя. Алгебра Ли

группы состоит из тех элементов X алгебры Ли группы для которых отображает пространство в себя (следствие 1). Так как, по предположению, группа неприводима, то тогда и только тогда, когда

Следствие 4. При обозначениях теоремы 1 предположим снова, что группа неприводима. Тогда представление будет полупростым в том и только в том случае, если представление полупростое.

Это утверждение вытекает непосредственно из следствия 3. Заметим, что, как мы покажем позже (предложение 1 из § 5 гл. IV), требование неприводимости группы в формулировке следствия 4 оказывается излишним.

Следствие 5. При обозначениях теоремы 1 будем снова предполагать, что группа неприводима. Для того чтобы элемент пространства V был инвариантом представления необходимо и достаточно, чтобы для всех элементов X алгебры Ли группы

Это утверждение доказывается так же, как следствие 3.

Замечание. Пусть рациональное представление алгебраической группы над полем, характеристика которого не обязательно равна 0. Пусть снова подпространства пространства представления такие, что Если

и если X — элемент алгебры Ли группы то отображает Действительно, при тех же обозначениях, что и в доказательстве теоремы 1, имеем так что согласно теореме 6 из § 9 гл. II (том II). Отсюда следует, что всякое подпространство пространства V, допустимое относительно представления допустимо также относительно и что всякий элемент из V, являющийся инвариантом представления аннулируется операторами из

Предложение 11. Пусть рациональное представление алгебраической группы над полем характеристики 0, V — пространство представления неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства пусть у далее, алгебры Ли групп соответственно.

Тогда множество тех элементов для которых образует алгебраическую подгруппу группы алгебра Ли которой состоит из тех для которых

Если автоморфизм пространства то неприводимая алгебраическая группа, ее алгебра Ли. Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы Обозначим через автоморфизм пространства эндоморфизмов пространства Отображение есть присоединенное представление группы автоморфизмов пространства для есть эндоморфизм пространства эндоморфизмов пространства V (том II, гл. 11, § 9, предложение 6). Отображение рациональное представление группы группа тех элементов для которых отображает группу в себя. Предложение 11 вытекает теперь из следствия 1 теоремы 1.

Следствие 1. Пусть алгебраическая группа над полем характеристики неприводимая алгебраическая подгруппа группы алгебра Ли группы алгебра Ли группы Тогда нормализатор группы в группе есть алгебраическая группау алгебра Ли которой состоит из тех для которых

Это непосредственно следует из предложения 11.

Следствие 2. При обозначениях следствия 1 предположим дополнительно у что группа неприводима. Для того чтобы группа была нормальным делителем группы необходимо и достаточно, чтобы алгебра была идеалом алгебры

Действительно, группа - нормальный делитель тогда и только тогда, когда ее нормализатор в совпадает со всей группой

Предложение 12. Пусть рациональное представление алгебраической группы над полем характеристики пространство представления некоторое множество эндоморфизмов пространства Тогда множество С всех элементов группы для которых автоморфизмы перестановочны со всеми эндоморфизмами множества образует алгебраическую подгруппу

группы алгебра Ли этой подгруппы состоит из тех элементов X алгебры Ли группы для которых эндоморфизмы перестановочны с элементами из

При обозначениях доказательства предложения 11 группа С состоит из тех элементов 5 группы для которых автоморфизм отображает в себя элементы множества Предложение 12 вытекает поэтому из следствия 2 теоремы 1.

Следствие 1. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов над полем характеристики неприводимая алгебраическая подгруппа группы алгебра Ли группы алгебра Ли группы Тогда множество С тех элементов из которые перестановочны со всеми элементами из Ну есть алгебраическая подгруппа группы алгебра Ли которой состоит из тех элементов X алгебры которые перестановочны со всеми элементами из

Из предложения 12 следует, что С — алгебраическая группа, алгебра Ли которой состоит из тех которые перестановочны со всеми элементами из Но, как известно, оболочка группы порождается алгеброй и тождественным автоморфизмом пространства, на котором действует группа (том II, следствие 2 теоремы 8 из § 12 гл. II). Таким образом, те и только те элементы алгебры перестановочны с элементами группы Ну которые перестановочны с элементами алгебры

Следствие 2. Пусть неприводимая алгебраическая группа над полем характеристики 0. Тогда центр группы алгебраическая группау и ее алгебра Ли есть центр алгебры Ли группы

Это вытекает из следствия 1.

Пусть представление алгебры Ли элемент пространства представления называется гармоническим относительно если для всех

Понятия инвариантного или гармонического элемента относительно некоторого представления допускают следующие обобщения. Представлению группы (соответственно алгебры Ли) мы сопоставили ряд других представлений: тензорные, симметрические и внешние степени (соответственно суммы) представления (где неотрицательное целое); дуальное представление; тензорные, симметрические и внешние степени (соответственно суммы) этого дуального представления. В дальнейшем все

эти представления мы будем называть представлениями, сопровождающими представление Под инвариантом представления (соответственно под элементом, гармоническим относительно представления мы будем понимать всякий элемент пространства некоторого представления сопровождающего представление который является инвариантом (соответственно гармоническим элементом) относительно представления

Предположим, в частности, что представление группы Тогда пространство тензорной степени представления, дуального к отождествляется с пространством -линейных функций над где -пространство представления Для того чтобы -линейная функция была инвариантом представления необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

для всех из из Аналогично, для того чтобы однородная полиномиальная функция на V была инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы для всех и всех

Из доказанного вытекает, что дифференциалы представлений, сопровождающих данное рациональное представление алгебраической группы являются представлениями алгебры Ли группы сопровождающими представление Таким образом, если неприводимая алгебраическая группа над полем характеристики 0, то инварианты представления гармонические элементы относительно представления

Пусть теперь представления группы (соответственно алгебры Ли ) над одним и тем же полем. Инвариантами относительно представлений (соответственно гармоническими элементами относительно называются элементы, инвариантные (соответственно гармонические) в смысле предыдущего определения относительно декартова произведения (соответственно декартовой суммы представлений Имеет место следующий результат:

Предложение 13. Пусть рациональные представления неприводимой алгебраической группы над полем характеристики 0. Для того чтобы некоторый элемент был инвариантом относительно представлений необходимо и достаточно, чтобы он был

гармоническим относительно представлений алгебры Ли группы

Рассмотрим, в частности, пространство полилинейных функций над где конечномерные векторные пространства над одним и тем же основным полем. Это произведение отождествляется естественным образом с пространством, дуальным к тензорному произведению Пусть пространство, дуальное к и пусть естественная билинейная форма на Тогда одновременное естественное продолжение всех форм является невырожденной билинейной формой С над пространством

и эта форма определяет естественный изоморфизм пространства на пространство, дуальное к на Отождествим с помощью этого изоморфизма пространства и С другой стороны, пространство можно отождествить с некоторым подпространством пространства однородных элементов степени тензорной алгебры над а пространство с пространством, дуальным к Предположим теперь, что каждое является пространством некоторого представления какой-то группы (соответственно алгебры Ли ). Пусть декартово произведение (соответственно декартова сумма) представлений При указанных выше отождествлениях пространство оказывается теперь подпространством пространства представления тензорной степени (соответственно тензорной суммы) представления, дуального к обозначим так определенное представление через Пусть элемент пространства Если представления группы и если то преобразует в функцию

Если же представления алгебры Ли и если то переводит в функцию

где

Для частного случая мы получаем следующее утверждение:

Предложение 14. Пусть представления конечной степени группы (соответственно алгебры над одним и тем же полем, и пусть В — невырожденная билинейная форма над произведением пространств этих представлений. Для того чтобы представления были взаимно контрагредиентны относительно формы В, необходимо и достаточно, чтобы форма В была инвариантом (соответственно гармоническим элементом) для представлений