§ 4. Группы Картана. Алгебры Картана

1. Определение

Напомним, что если подгруппа группы то нормализатором группы называется множество всех для которых наибольшая подгруппа в содержащая в качестве нормального делителя. Аналогично, если — подалгебра алгебры Ли а, то нормализатором алгебры в а называется множество тех для которых это наибольшая подалгебра в а, содержащая в качестве идеала.

Определение 1. Подгруппа группы называется группой Картана группы если выполнены следующие условия: максимальная нильпотентная подгруппа в и каждый нормальный делитель конечного индекса в является подгруппой конечного индекса в своем нормализаторе в Алгеброй Картана алгебры Ли а называется нильпотентная подалгебра в а, совпадающая со своим нормализатором в а.

Из этих определений непосредственно следует, что изоморфизм группы (соответственно алгебры Ли а) на группу (соответственно на алгебру Ли а) отображает каждую группу Картана группы (соответственно каждую алгебру Картана алгебры Ли а) на группу Картана группы (соответственно на алгебру Картана алгебры а. В частности, подгруппы в сопряженные некоторой группе Картана, сами являются группами Картана; образы некоторой алгебры Картана в а при автоморфизмах алгебры Ли а также являются алгебрами Картана в а.

Предложение 1. Всякая алгебра Картана алгебры Ли а есть максимальная нилыготентная подалгебра в а.

Пусть алгебра Картана алгебры а, и пусть нильпотентная подалгебра в а, содержащая Присоединенное представление алгебры индуцирует представление алгебры элементы из нильпотентны и отображают себя. Пусть представление, индуцированное в фактор-пространстве элементы из нильпотентны. Если бы фактор-пространство было то существовал бы такой элемент что для всех (теорема Энгеля, § 1 гл. IV). Пусть тогда -элемент из принадлежащий классу Элемент не принадлежал бы к но мы бы имели [X, для всех принадлежал бы к нормализатору алгебры что невозможно. Итак,

Предл ожение 2. Пусть группа Картана группы подгруппа в содержащая Тогда группа Картана группы Пусть алгебра Картана алгебры Ли а, и пусть подалгебра в а, содержащая тогда алгебра Картана алгебры

Это непосредственно следует из определений.

Предложение 3. Пусть группы, и пусть алгебры Ли над одним и тем же полем. Группами Картана группы являются произведения групп Картана группы на группы Картана группы алгебры Картана в суть произведения алгебр Картана алгебры на алгебры Картана алгебры

Обозначим через оператор проектирования произведения на и произведения на а через — подгруппу группы и через -подалгебру в Если группы и нильпотентны, то тем же свойством обладает их произведение Для доказательства этого факта используем обозначения определения 3 из § 3 гл. V. Покажем индукцией по что

Для это очевидно. Предположим, что и что наше утверждение верно для Пусть элемент из элемент из ; имеем где отсюда следует, что

согласно предположению индукции. Так как эта формула верна для всех то и доказывает наше утверждение для Так как группы и нильпотентны, то найдется такое число что

откуда

и группа нильпотентна.

Предположим теперь, что является группой Картана группы . Тогда нильпотентна. Если нильпотентная подгруппа в содержащая то и группа нильпотентна (предложение 8 § 3 гл. V). Следовательно,

и

это показывает, что максимальная нильпотентная под» группа в Пусть нормальный делитель конечного индекса в Тогда нормальный делитель конечного индекса в ; пусть -его нормализатор в и пусть элемент из нормализатора группы к в Если то существует элемент такой, что следовательно, так что это показывает, что и аналогично доказывается, что Следовательно,

Но конечного индекса в отсюда мы заключаем, что конечного индекса в С другой стороны, имеем

и отсюда следует, что конечного индекса в Итак, подгруппа конечного индекса в группа Картана в

Пусть теперь — произвольная группа Картана в положим Группа нильпотентна (предложение из § 3 гл. V). Нильпотентной будет также и группа так что поскольку Если — нильпотентная подгруппа в содержащая то содержит и является нильпотентной группой, так что

и Итак, максимальная нильпотентная подгруппа в аналогично показывается, что группа максимальная нильпотентная подгруппа в Пусть — нормальный делитель конечного индекса в и пусть нормализатор Тогда - нормальный делитель конечного индекса в содержится в нормализаторе группы Следовательно, подгруппа конечного индекса в подгруппа конечного индекса в Итак, — группа Картана группы и аналогично показывается, что группа Картана в

Покажем теперь, что если и нильпотентные алгебры, то и их прямое произведение нильпотентно. Пусть элементы из ; тогда

Но если ) — нильпотентный эндоморфизм векторного пространства то ясно, что эндоморфизм

пространства нильпотентен, что и доказывает наше утверждение. Пусть теперь — любой элемент из а ); формула

показывает, что, для того чтобы элемент принадлежал нормализатору алгебры необходимо и достаточно, чтобы при элемент принадлежал нормализатору алгебры Отсюда немедленно следует, что если и - алгебры Картана алгебр то алгебра Картана алгебры Пусть, наоборот, алгебра Картана алгебры Тогда алгебра нильпотентна (предложение 1 из § 1 гл. IV) и содержится в нильпотентной алгебре так что (предложение 1). Нормализатор алгебры совпадает с и является произведением нормализаторов алгебр в алгебрах соответственно. Отсюда можно заключить, что является собственным нормализатором в т. е. что алгебра Картана алгебры

Предложение 4. Каждая группа Картана группы содержит центр группы Каждая алгебра Картана алгебры Ли а содержит центр алгебры а.

Ясно что группа является группой Картана самой себя. Следовательно, есть группа Картана группы и является тем самым нильпотентной группой. Но отображение группы гомоморфизм, так как центр группы значит, образ группы при этом отображении нильпотентен (предложение 8 из § 3 гл V). Но содержит следовательно, Аналогично убеждаемся в том, что алгебра нильпотентна и что отображение алгебры на есть гомоморфизм, так что алгебра нильпотентна (предложение 1 из § 1 гл. IV). Из предложения 1 вытекает, что откуда