2. Полиномиальные отображения

Всякий раз, когда мы в этом и в последующих п° будем употреблять топологические понятия, будет подразумеваться, что эти понятия относятся к топологии Зариского.

Пусть - любое подмножество в У. Полиномиальными функциями над мы будем называть ограничения на полиномиальных функций над У. Следует отметить, что понятие полиномиальной функции над зависит не только от самого множества но также и от векторного пространства У, в которое по предположению, погружено. В частности, если надполе поля К, то полиномиальные функции над множеством рассматриваемым как подмножество в У, составляют только часть полиномиальных функций над рассматриваемым как подмножество в Между тем, если множество содержится в подпространстве пространства У, то полиномиальные функции над одни и те же независимо от того, рассматривать ли как подмножество V или как подмножество

Ясно, что полиномиальные функции над подмножеством пространства образуют подкольцо кольца всех функций, определенных на со значениями в основном поле К пространства Это кольцо полиномиальных функций мы обозначим через

Полиномиальные функции над V, равные нулю на (т. е. равные нулю в каждой точке из образуют идеал а, который мы назовем идеалом, соответствующим множеству Кольцо очевидно, изоморфно фактор-кольцу

Пусть подмножество множества отображение, сопоставляющее каждой полиномиальной функции на ее ограничение на очевидно, является гомоморфизмом кольца на кольцо мы будем называть его гомоморфизмом ограничения.

Предложение 3. Пусть подмножества в V, такие, что Для того чтобы гомоморфизм ограничения кольца на кольцо был изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы множество было плотно в

Действительно, для того чтобы гомоморфизм ограничения был изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы всякая полиномиальная функция над V, равная нулю на обращалась в нуль также на то есть чтобы множество содержалось в замыкании множества

Замечание. Следует различать понятие плотного подмножества в смысле топологии Зариского и понятие алгебраически плотного множества, введенное в гл. II (том II) для алгебраических групп. К этому различию мы вернемся в

Пусть векторное пространство над полем К. Сопоставим каждой паре отображение множества в пространство Таким образом получается отображение (очевидно, билинейное) произведения в векторное пространство А отображений множества Это билинейное отображение определяет линейное отображение векторного пространства в элементы множества называются полиномиальными отображениями множества в пространство Отображение является мономорфизмом; действительно, если линейно независимые элементы из элементы из такие, что

то ясно, что Отображение позволяет перенести на множество полиномиальных отображений множества структуру модуля над кольцом определенного на если и если -полиномиальное отображение, то есть полиномиальное отображение Получающийся таким образом модуль можно отождествить с модулем, получающимся из векторного пространства над К расширением основного кольца до всякий базис пространства является также базисом модуля полиномиальных отображений множества причем всякий элемент отождествляется с постоянным отображением

Предположим теперь, что на пространстве определена структура алгебры над полем К. В этом случае можно говорить о произведении двух отображений множества в под этим понимается отображение

Если полиномиальные отображения, то и произведение полиномиальное отображение. Действительно, положим

и пусть конечное подмножество множества такое, что всякий раз, когда индекс не принадлежит множеству Тогда мы имеем

что и доказывает наше утверждение. Отсюда легко усмотреть, что полиномиальные отображения множества образуют алгебру над кольцом которая оказывается нечем иным, как алгеброй, получающейся из расширением до основного кольца. Рассмотрим, в частности, случай, когда алгебра есть надполе поля В этом случае полиномиальные отображения множества являются как раз полиномиальными функциями над множеством рассматриваемым как подмножество пространства получаемого из V расширением основного поля до Действительно, полиномиальные функции над множеством рассматриваемым как подмножество в V, а также постоянные отображения очевидно, являются полиномиальными функциями над множеством погруженным в

пространство следовательно, все полиномиальные отображения суть полиномиальные функции. С другой стороны, если линейная функция над и если — базис поля относительно поля то для можно положить

где каждое обозначает линейную функцию над V, причем при каждом только для конечного числа индексов мы имеем Учитывая, что размерность пространства

V конечна, мы видим, что только для конечного числа индексов Отсюда сразу вытекает, что ограничение функции на есть полиномиальное отображение Итак, всякая полиномиальная функция над множеством погруженным в пространство есть полиномиальное отображение Мы получили следующий результат:

Предложение 4. Пусть подмножество пространства V, и пусть надполе поля К. Пусть алгебры полиномиальных функций над множеством которое рассматривается как погруженное один раз в пространство V, другой раз в Тогда алгебра (над полем получается из алгебры (над полем К) расширением основного поля до

Предложение 5. Пусть -полиномиальное отображение подмножества пространства V в конечномерное векторное пространство над полем К, и пусть полиномиальное отображение пространства в векторное пространство над К. Тогда полиномиальное отображение

Достаточно, очевидно, рассмотреть случай, когда полиномиальная функция на (т. е. когда Если базис пространства то для имеет место равенство

где полиномиальные функции над С другой стороны для можно положить

где полином с коэффициентами из К, так что

что и доказывает наше утверждение.

Предложение 6. Всякое полиномиальное отображение под множества пространства V в конечномерное векторное пространство над полем К непрерывно.

Достаточно показать, что если замкнутое подмножество пространства то множество, относительно замкнутое в Пусть идеал, соответствующий подмножеству

Если то полиномиальная функция над V (предложение 5). Так как множество замкнуто, то есть множество всех для которых при всех что и доказывает наше утверждение.

Следствие. Два полиномиальных отображения множества совпадающие на плотном подмножестве множества идентичны.

Пусть конечномерные векторные пространства над полем -подмножество в подмножество в Полиномиальные функции над являются функциями вида

где элементы из элементы из Это утверждение достаточно доказать для случая но в этом случае оно вытекает из предложения 8 § 4 гл. I (том И). Отсюда сразу вытекает, что проекции произведения на и на полиномиальные отображения . С другой стороны, при (соответственно при отображение [соответственно полиномиальное отображение множества [соответственно в ].

Если элементы из линейно независимые относительно поля элементы из такие, что функция

равна нулю, то

Действительно, если то функция

равна нулю, откуда

так как это имеет место для всех то все равны нулю. Мы получили следующий результат:

Предложение 7. Пусть конечномерные векторные пространства над полем подмножество в подмножество в Тогда существует изоморфизм тензорного произведения на сопоставляющий каждому элементу вида функцию

Из того, что проекции произведения на и на непрерывные отображения, следует, что топология пространства более тонкая, чем произведение топологий пространств Отсюда можно заключить, что произведение относительно замкнутого (соответственно открытого) подмножества в на относительно замкнутое (соответственно открытое) подмножество в относительно замкнуто (соответственно открыто) в

Заметим, что всякое билинейное отображение произведения в векторное пространство над полем К является полиномиальным отображением. В частности, если пространство эндоморфизмов пространства V, то отображение полиномиальное отображение пространства Мы видим также, что если на пространстве V определена структура алгебры (ассоциативной или неассоциативной) над полем К, то умножение в этой алгебре есть полиномиальное отображение произведения