§ 6. Примеры

В настоящем параграфе V обозначает конечномерное векторное пространство над полем К характеристики размерность пространства

1. Алгебры ...

Предложение 1. Алгебра всех эндоморфизмов пространства V редуктивна; ее центр состоит из скалярных кратных тождественного автоморфизма I пространства ее производной алгеброй является алгебра всех эндоморфизмов пространства V, след которых равен 0; алгебра полупростая.

Очевидно, что тождественное отображение алгебры на себя — простое представление; следовательно, редуктизна, в силу предложения 3 § 4. Как известно, ее центр состоит из скалярных кратных элемента поэтому его размерность равна 1. Таким образом, в силу предложения 1 § 4, размерность ее производной алгебры равна -другой стороны, эта производная алгебра содержится в в леммы 1 § 3; поскольку отсюда вытекает, что производная алгебра алгебры следовательно, полупростая алгебра, в силу предложения 1 § 4.

Следствие. Группа всех автоморфизмов пространства V — алгебраическая редуктивная группа; группа всех автоморфизмов пространства V, определители которых разны 1, — полупростая алгебраическая группа.

Действительно, алгебра Ли группы есть а алгебра Ли группы есть (том II, пример 3 из § 10 гл. II).

Замечание. Несколько позже мы покажем, что в действительности алгебра простая (если

2. Алгебра ...

Обозначим через В невырожденную билинейную форму над мы предположим, что она или симметрическая, или кососимметрическая. Пусть множество автоморфизмов 5 пространства V, оставляющих форму В инвариантной [т. е. таких, для которых при любых х и у из V], и пусть алгебра Ли заведомо алгебраической (ср. том II, гл. II, § 7) группы

Предложение 2. Алгебра состоит из всех эндоморфизмов X пространства V, для которых при любых х и у из

Пусть вторая тензорная степень дуального представления тождественного отображения группы на себя; тогда группа всех для которых Из следствия 2 теоремы 1 гл. III, п° 9, вытекает, что состоит из тех для которых . Но . В для всех является билинейной формой

это доказывает предложение 2. Предложение 2 можно также легко вывести из примера 1 § 10 гл. II (том II).

Предложение 3. Алгебра полупроста, кроме случая, когда и форма В — симметрическая; в этом последнем случае она абелева. Ее размерность равна если форма В — симметрическая, и если В — кососиммет рическая.

Размерность алгебры была определена в § 7 гл. II (том II). Для и алгебра полупростая. Если то форма В симметрична (так как она может быть кососимметричной только для четных так что Если и форма В — симметрическая, то алгебра размерности 1, значит, абелева. Если и форма В кососимметрическая, то размерность равна 3. С другой стороны, в § 7 гл. II (том И) мы видели, что, каково бы ни было определители операторов из равны ±1; таким образом, алгебраическая компонента единицы в группе содержится в а в Но если размерность V равна 2, то размерность алгебры равна 3; следовательно, совпадает с если форма В кососимметрическая. Предположим теперь, что Покажем, что если такие элементы из для которых и если то существует элемент такой, что Пусть -линейная функция на V, для которой тогда отображение некоторый эндоморфизм А пространства Если то отображение

— линейная функция на так как форма В невырождена, то существует один и только один элемент пространства V, такой, что

для всех Кроме того, непосредственно видно, что отображение эндоморфизм пространства покажем, что Положим если форма В симметрична, и если она кососимметрична; тогда для из V

что и доказывает наше утверждение. Имеем откуда для всех

так как ; отсюда заключаем, что Пусть теперь какой-нибудь отличный от элемент из V, и пусть V — наименьшее подпространство в V, содержащее и допускающее операторы из Пусть какой-нибудь элемент из отображения и линейные функции. Так как размерность пространства V больше 2, то в нем найдется элемент такой, что Следовательно, найдутся операторы из такие, что это показывает, что Итак, Мы установили, что если тождественное отображение алгебры в есть простое представление. Отсюда с помощью предложения 3 § 4 заключаем, что алгебра редуктивна. Для доказательства полупростоты алгебры с (при достаточно установить, что ее центр равен Для этого мы используем следующую лемму:

Лемма 1. Пусть надполе поля К. Обозначим через и векторное пространство и алгебру Ли над получаемые из расширением основного поля до а через билинейную форму над продолжающую В. Тогда

Это вытекает непосредственно из предложения 28 гл. III, п° 13.

Предположим теперь поле алгебраически замкнутым. Пусть элемент центра алгебры Из леммы 1 вытекает, что элемент (который мы отождествим с продолжающим его эндоморфизмом пространства принадлежит центру алгебры Но тождественное отображение в

есть простое представление. Из следствия 2 предложения 16 гл. III, п° 10, вытекает, что где а -тождественный автоморфизм пространства Для х, у из имеем

так что следовательно, т. е.

Мы видели, что если и форма В кососимметрична, то алгебра совпадает с Предположим, начиная с этого момента, что поле К алгебраически замкнуто. Тогда, как известно, все симметрические (соответственно кососимметрические) невырожденные билинейные формы над эквивалентны между собой. Пусть векторное пространство размерности 2 над полем и пусть а — присоединенное представление алгебры Известно, что фундаментальная билинейная форма В алгебры гармонична относительно а, откуда Но размерность обеих алгебр и равна 3, так что Итак, если - невырожденная симметрическая форма над где V — векторное пространство размерности 3 над алгебраически замкнутым полем К характеристики 0, то алгебра изоморфна алгебре эндоморфизмов со следом векторного проетранства размерности 2 над полем К. Предположим теперь, что размерность, пространства V равна 6 и что форма В симметрическая. Пусть векторное пространство размерности 4 над образуем внешнюю алгебру над и пространство однородных элементов степени 2 из Пусть базисный элемент пространства однородных элементов степени 4 из Если х, у — элементы из то скалярное кратное элемента положим тогда В — билинейная форма над Эта форма симметрическая, так как для х, у из Форма В невырождена. Действительно, пусть базис пространства и

— отличный от элемент из Пусть такие индексы, что и пусть индексы, выбранные так, что тогда, как легко видеть, . Пусть тождественное отображение алгебры а — полная внешняя сумма представления ее вторая внешняя сумма. Если то из соотношения следует, что (том И, гл. I, § 5, предложение 9).

Так как деривация алгебры то для х и у из имеем

отсюда непосредственно следует, что форма В — гармоническая по отношению к так что Но представление точное. Действительно, пусть -элемент из для которого Из предложения 9 § 5 гл. I (том II) следует тогда, что любое двумерное подпространство пространства отображается в себя эндоморфизмом Но всякое одномерное подпространство пространства представимо в виде пересечения двус двумерных подпространств и, следовательно, также отображается в себя элементом Если -базис пространства то где так что

отсюда следует, что все а равны нулю, так что . Итак алгебра имеет ту же размерность, что и алгебра т. е. 15; как размерность алгебры также равна 15, то Следовательно, если В — невырожденная симметрическая билинейная форма над где V — векторное пространство размерности над алгебраически замкнутым полем К характеристики 0, то алгебра изоморфна алгебре эндоморфизмов со следом векторного пространства размерности 4 над полем К. При тех же обозначениях, что и выше, введем еще пространство дуальное к оно отождествляется с пространством кососимметрических билинейных форм над (том II, гл. I, § 5, предложение 7). Пусть С — невырожденная кососимметрическая билинейная форма над рассматривая С как линейную функцию над обозначим через множество всех для которых Это — векторное подпространство размерности 5 в покажем, что ограничение формы В на невырождено. Действительно, предположим на минуту, что это не так; тогда нашелся бы элемент из такой, что для всех Линейная функция была бы тогда вида Кроме того, Но для всякой линейной функции над отображение пространства в поле К может быть продолжено в однородную степени — 1 антидеривацию алгебры (том II, теорема 2 из § 5 гл. I); имеем Линейную функцию

можно выбрать так, что Действительно, пусть базис пространства и пусть Пусть такие индексы, что если выбрать в качестве линейную функцию, равную 1 в точке и в точке при то

Итак, имеется такой, что хоио Тогда для каждого

но так как форма В невырождена. Следовательно, при нашем предположении мы имели бы для всех что невозможно, так как форма С невырождена. Если X принадлежит подалгебре алгебры то ясно, что отображает пространство в себя; пусть ограничение отображения на тогда есть представление алгебры Покажем, что оно точное. Так как алгебра полупростая, то есть прямая сумма пространства и некоторого пространства допустимого относительно ограничения отображения на и размерность равна 1. Из леммы 1 § 3 непосредственно следует, что операторы из отображают на так как представление точное, то и представление точное. Таким образом, алгебра изоморфна алгебре размерность которой равна 10. С другой стороны, если В — ограничение формы В на то и размерность алгебры также равна 10. Итак, и мы установили следующий результат: пусть векторные пространства соответственно размерностей 4 и 5 над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, С — невырожденная кососимметрическая билинейная форма над невырожденная симметрическая форма над тогда алгебра изоморфна алгебре

При тех же обозначениях, что и выше, пусть теперь два подпространства размерности 2 пространства такие, что является их прямой суммой. Пусть -базис пространства —базис положим и Имеем

Отсюда следует, что если подпространство пространства порожденное элементами и то ограничение формы В на невырождено. Пусть множество тех у, для которых при всех тогда ясно, что ограничение формы В на невырождено. Пусть подалгебра алгебры состоящая из всех отображающих каждое из пространств в себя и таких, что следы их ограничений на равны 0. Ясно, что алгебра изоморфна произведению произведению алгебры на себя. Если то отображает а следовательно, и все элементы из в 0. Так как форма В гармонична относительно то отображает пространство в себя. Пусть ограничение на таким образом, -представление (очевидно, точное) алгебры Пусть ограничение формы В на тогда Но размерность обеих алгебр равна , и, следовательно, Тем самым установлен следующий результат: пусть векторные пространства размерностей соответственно над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, и пусть невырожденная симметрическая билинейная форма над тогда алгебра изоморфна прямому произведению Таким образом, эта алгебра не простая. Несколько позже мы докажем, что если В — невырожденная симметрическая или кососимметрическая билинейная форма над где V — векторное пространство размерности над полем характеристики 0, то алгебра простая, кроме, может быть, того случая, когда и форма В симметрическая. Кроме того, мы увидим, что не существует других изоморфизмов между алгебрами типов или помимо тех, которые были установлены в этом параграфе.