7. Дуальные представления декартовых и тензорных произведений

Предложение 8. Пусть - представления группы О соответственно алгебры над одним и тем же полем К. Предположим, что для каждого представления взаимно контрагредиентны относительно невырожденной билинейной формы над произведением пространств этих представлений. Положим

обозначим через декартово произведение (соответственно декартову сумму) представлений а через декартово произведение (соответственно декартову сумму) представлений Тогда формула

определяет невырожденную билинейную форму В над взаимно контрагредиентны относительно В.

Легко проверить, что функция В, определенная указанной формулой, является невырожденной билинейной формой. Пусть для каждого элемент из а элемент из положим

Предположим сперва, что — представления группы и пусть — элемент из Тогда

Это показывает, что взаимно контрагредиентны относительно формы В. Пусть теперь — представления алгебры

Ли и пусть -элемент из Тогда

Отсюда следует, что взаимно контрагредиентны относительно В.

Пусть теперь векторные пространства и В — билинейная форма над . Пусть — тензорные алгебры соответственно над Далее, пусть для целого неотрицательного пространства однородных элементов степени в алгебрах Пространство можно отождествить с тензорным произведением пространств, совпадающих с К, а с тензорным произведением пространств, совпадающих с пространство можно тогда отождествить с тензорным произведением пространств, из которых совпадают с V, а другие с Функция определенная на произведении формулой

очевидно, полилинейна. Ей, следовательно, соответствует линейная функция на пространстве для которой

если

Для положим тогда - билинейная форма на Мы будем называть форму С естественным продолжением на билинейной формы В. Если элементы пространства элементы пространства V, то

Если билинейная форма В невырождена, то и ее продолжение С на пространство невырождено. Действительно,

пусть элемент из такой, что для всех Элемент принадлежит подалгебре алгебры порожденной элементом 1 и некоторой конечной совокупностью элементов из V, которые можно предположить линейно независимыми. Линейные функции на пространстве V, очевидно, линейно независимы, и, следовательно, в V существуют элементы для которых

Обозначим через (соответственно пересечение пространства (соответственно с алгеброй, порожденной элементами (соответственно ). Пространство (соответственно ) обладает базисом, состоящим из элементов

(соответственно

где пробегает все последовательности из целых чисел, заключенных между Имеем

отсюда сразу следует, что ограничение формы С на невырождено; так как то Таким же образом можно убедиться в том, что из условий для всех следует, что итак, форма С невырождена.

Предположим теперь, что V является прямой суммой пространств прямой суммой пространств причем билинейная форма В обращается в нуль на если Если -отображение множества в себя, то через мы обозначим подпространство пространства порожденное элементами вида где и соответственно через подпространство пространства , порожденное элементами Пусть базисы пространств тогда множество есть базис пространства V,

базис пространства V Множество всех тензорных произведений элементов базиса А является базисом пространства а множество всех произведений элементов из А — базисом Обозначим через (соответственно ) множество всех (соответственно ) (соответственно ). Тогда множества базисы пространств соответственно. Кроме того, множества отвечающие различным отображениям совокупности в себя, попарно не имеют общих элементов, а их объединение есть множество таким образом, 71 есть прямая сумма пространств Аналогично показывается, что прямая сумма пространств Из наших предположений относительно В следует, что билинейная форма С обращается в нуль на произведениях если Предположив, что форма В невырождена, легко видеть, что и ограничение формы С на каждое из пространств невырождено. Выбрав, в частности, в качестве тождественное отображение множества на себя, мы видим, что соответствующее пространство совпадает с тензорным произведением а пространство тензорным произведением Таким образом, ограничение формы С на произведение этих тензорных произведений пространств невырождено. Но билинейную форму В с требуемыми свойствами нетрудно построить. Именно, для каждого дана невырожденная билинейная форма на тогда можно положить

Так определенная форма, впрочем, не отличается от той, которая встретилась нам в формулировке предложения 8, если обычным образом отождествить пространство V с произведением пространств с произведением пространств Итак, мы видим, что если задано векторных пространств над одним и тем же основным полем и если для каждого задана билинейная форма над

то этим определяется билинейная форма на

такая, что

причем, если формы все невырождены, то невырождена и форма Форма называется естественным одновременным продолжением форм на пространство

Предл ожение 9. Пусть представления группы О (соответственно алгебры взаимно контрагредиентные относительно невырожденной билинейной формы В над произведением пространств этих представлений. Пусть целое число пространства однородных элементов степени в тензорных алгебрах над тензорные степени (соответственно тензорные суммы) представлений Тогда представления взаимно контрагредиентны относительно естественного продолжения формы В на пространство

Предположим сначала, что представления группы Пусть — элемент из Обозначим через С естественное продолжение формы В на произведение Для доказательства того, что

каковы бы ни были из и достаточно доказать это для элементов вида и элементов вида где Тогда левая часть рассматриваемого равенства равна

и утверждение для случая группы доказано. Предположим теперь, что конечномерные пространства. Возьмем

за группу всех автоморфизмов пространства V, за тождественное отображение на и за представление группы контрагредиентное к относительно В. Рассматриваемая группа алгебраическая, а ее алгебра Ли есть алгебра всех эндоморфизмов пространства Так как представления группы взаимно контрагредиентны относительно формы С, то то же верно и для представлений алгебры (предложение 7, п°6; заметим, что необходимость условия, сформулированного в этом предложении, не зависит от предположения, что основное поле — характеристики 0). Но есть тензорная сумма представления в данном случае — тождественного отображения алгебры предложение тензорная сумма контрагредиентного представлению относительно В. Таким образом, мы приходим к следующему выводу: если эндоморфизмы пространств такие, что

для всех и если — ограничения на пространства дериваций тензорных алгебр над продолжающих то

для всех Утверждение предложения 9 относительно алгебр Ли также доказано.

Следствие. Пусть представления некоторой группы алгебры над одним и тем же основным полем. Предположим, что для каждого представления . контрагредиентны относительно невырожденной билинейной формы над произведением пространств представлений Пусть -тензорное произведение (соответственно тензорная сумма) представлений тензорное произведение (соответственно тензорная сумма) представлений Тогда представления II и взаимно контрагредиентны относительно одновременного естественного продолжения форм на произведение

Это утверждение легко следует из предложения 9 и из сказанного выше.