§ 1. Топология Зариского

Во всем параграфе V обозначает конечномерное векторное пространство над бесконечным полем К.

1. Замкнутые множества

Определение 1. Подмножество пространства V называется алгебраическим, если существует множество полиномиальных функций над V, такое, что есть

множество всех точек для которых при всех

Предложение 1. Объединение двух алгебраических подмножеств пространства V является алгебраическим множеством. Если семейство алгебраических подмножеств (где I — некоторое непустое множество индексов), то пересечение алгебраическое множество.

Пусть алгебраические подмножества в Пусть множества таких полиномиальных функций, что есть множество всех х, для которых при всех множество тех у, для которых при всех Пусть множество всех произведений где если то ясно, что для всех Пусть, наоборот, 2 — такая точка из V, что для всех Если 2 не принадлежит то найдется для которой если теперь любой элемент из то так Тем самым так что алгебраическое множество. Пусть теперь семейство алгебраических подмножеств пространства V, и пусть для каждого множество полиномиальных функций, таких, что состоит из всех для которых при всех Пусть объединение множеств если то является множеством всех для которых при всех следовательно, это пересечение — алгебраическое множество.

Все множество V, а также пустое подмножество в V, очевидно, являются алгебраическими множествами. Мы видим, что совокупность алгебраических подмножеств в V можно взять в качестве замкнутых множеств некоторой топологии в V (ср. Бурбаки, Общая топология, гл. I, § 1).

Определение 2. Топологией Зариского в пространстве V называется топология, для которой множество замкнутых множеств состоит из алгебраических подмножеств в

Пусть некоторое подмножество в V, тогда замыкание множества состоит, очевидно, из всех таких точек что для всех полиномиальных функций над V, равных нулю на равных нулю в каждой точке из

Подмножество множества относительно замкнуто в если существует множество полиномиальных функций над V, таких, что состоит из всех точек из для которых при всех

Если подпространство пространства V, то очевидно, алгебраическое и тем самым замкнутое множество, а полиномиальные функции над суть ограничения на полиномиальных функций над Отсюда следует, что алгебраические подмножества в являются пересечениями с алгебраических множеств в это означает, что топология Зариского в есть топология, индуцированная на топологией Зариского в

Само поле К можно рассматривать как одномерное векторное пространство над как таковое, оно обладает топологией Зариского. Ясно, что замкнутыми множествами в К являются само множество К и все его конечные подмножества. Следует отметить, что операции сложения и умножения не непрерывны в топологии Зариского; так, например, множество пар Для которых не есть замкнутое подмножество в если ввести в топологию произведения топологии Зариского пространства К на нее же.

Тот же пример показывает, что если векторные пространства над то топология Зариского пространства вообще говоря, не совпадает с произведением топологий Зариского пространств

Предложение 2. Пусть надполе поля и пусть векторное пространство, получаемое из V расширением основного поля до Тогда топология Зариского в V совпадает с топологией, индуцированной в V топологией Зариского в

Как нам известно, всякую полиномиальную функцию над V можно одним и только одним способом продолжить в полиномиальную функцию над которую мы вновь обозначим через Кроме того, всякая полиномиальная функция над может быть представлена в виде линейной комбинации с коэффициентами из тех функций, которые являются продолжениями полиномиальных функций над Пусть алгебраическое подмножество в V, и пусть множество тех точек из в которых обращаются в нуль все полиномиальные фуцкции

над У (продолженные на равные нулю на Ясно, что множество замкнуто в и что Пусть теперь О — любое замкнутое множество в и пусть множество полиномиальных функций над равных нулю на О. Пусть — базис поля над полем всякая полиномиальная функция над представима в виде где полиномиальные функции над V, из которых только конечное число отлично от 0. Если для некоторого то для всех как это сразу следует из того, что элементы принадлежат К. Пусть множество полиномиальных функций над У, участвующих в выражениях функций тогда — множество точек из У, в которых все функции из равны нулю, что и показывает, что замкнуто в У. Предложение 2 доказано.