§ 3. Разрешимые группы

1. Разрешимые группы

Определение 1. Если группа, то мы называем производной группы целое неотрицательное число) и обозначаем через подгруппу группы определенную рекуррентно следующим образом: для каждого группа есть коммутант группы

В частности, коммутант группы который мы обозначаем также через

Предложение 1. Если группа, то все подгруппы группы нормальные делители; все факторгруппы абелевы.

Утверждение, что есть нормальный делитель, верно для Предположим, что оно верно для Пусть элементы из элемент из положим Тогда

по предположению индукции, принадлежат следовательно, принадлежит Так как группа порождается элементами вида где принадлежат то мы получаем, что нормальный делитель. Второе утверждение предложения 1 очевидно.

Предложение 2. Пусть - гомоморфизм группы в группу тогда

Эти формулы, очевидно, выполняются для Предположим, что они справедливы для некоторого Если элементы из то

но принадлежат откуда

Правая часть этого включения — группа, порождается элементами где принадлежат отсюда следует, что

Группа порождается элементами вида где и принадлежат Но если находятся в то можно положить где и принадлежат принадлежит Так как это последнее множество — группа, то

так что

Определение 2. Группа называется разрешимой, если существует такое целое число что содержит только единицу группы

Предложение 3. Пусть разрешимая группа. Тогда всякая ее подгруппа разрешима; если -нормальный делитель, то фактор-группа разрешима. Если -гомоморфизм группы в какую-нибудь группу, то группа разрешима.

Доказательство совершенно аналогично доказательству предложения 3 § 1.

Предложение 4. Для того чтобы группа была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная последовательность ее подгрупп со следующими свойствами: для группа нормальный делитель группы группа абелева содержит только единицу группы

Доказательство аналогично доказательству предложения 5 § 1.

Предложение 5. Пусть группа, содержйщая разрешимый нормальный делитель И, такой, группа разрешима; тогда и разрешима.

Доказательство аналогично доказательству предложения 6 § 1.