12. Ряды Жордана — Гёльдера

Пусть представление группы (соответственно алгебры Ли ). Пусть V — пространство представления подпространство пространства V, допустимое относительно Сопоставим каждому элементу [соответственно каждому ограничение [соответственно оператора (соответственно на которое мы назовем ограничением представления на допустимое подпространство С другой стороны, для каждого

(соответственно ) эндоморфизм [соответственно пространства V индуцирует при переходе в фактор-пространство эндоморфизм [соответственно этого фактор-пространства: для ; [соответственно ] - класс содержащий элементы вида [соответственно ], где элементы пространства V, которые принадлежат классу Легко убедиться, что отображение группы G (соответственно алгебры в пространство эндоморфизмов пространства есть представление группы О (соответственно алгебры Мы будем его называть представлением, индуцированным представлением в фактор-пространстве

Предположим теперь, что пространство V конечномерно. В нем можно тогда образовать ряд Жордана — Гёльдера, рассматривая V как аддитивную группу с областью операторов, состоящей из элементов основного поля и элементов группы (соответственно алгебры (ср. Бурбаки, Алгебра, гл. I, § 6, п°14). Напомним, что под рядом Жордана — Гёльдера мы понимаем последовательность подпространств пространства V, которая обладает следующими свойствами: все подпространства допустимы относительно представления имеют место соотношения

и, наконец, не существует допустимого подпространства, содержащегося между двумя последовательными членами и отличного от этих двух членов. Пусть ограничение представления на подпространство и пусть А — представление, индуцированное представлением в фактор-пространстве Тогда ясно, что простые представления. Для данного представления может, вообще говоря, существовать несколько различных рядов Жордана — Гёльдера; но число для всех этих рядов одно и то же (оно называется длиной представления Более того, если простые представления, получающиеся из другого ряда Жордана — Гёльдера, то существует перестановка чисел такая, что представление А эквивалентно представлению Бурбаки, Алгебра, гл. I, § 6, п°14, теорема 8). Про каждое простое представление эквивалентное одному из представлений мы будем говорить, что оно содержится в представлении число индексов

для которых представление эквивалентно называется кратностью, с которой А содержится в

Предложение 21. Пусть рациональное представление неприводимой алгебраической группы над полем характеристики 0. Тогда простые представления, содержащиеся в представлении рациональны, а их дифференциалы — простые представления алгебры Ли группы содержащиеся в представлении

Учитывая лемму и следствие 3 теоремы мы видим, что достаточно доказать следующее утверждение:

Лемма 3. Пусть рациональное представление алгебраической группы пространство представления подпространство пространства V, допустимое относительно Тогда представление индуцированное представлением в фактор-пространстве рационально и его дифференциал представление, индуцированное представлением в фактор-пространстве

Пусть базис пространства V, содержащий базис пространства Для положим

ограничения функций на алгебраическую компоненту единицы группы суть рациональные функции на Пусть класс элемента элементы образуют базис пространства и имеет место формула

показывающая, что рациональное представление группы Естественное отображение пространства V на есть ковариант представлений ; следовательно, это также ковариант представлений (ср. замечание к предложению и утверждение леммы 3 полностью доказано.

Заметим, что при обозначениях предложения 21 простое представление группы содержится столько же раз в представлении сколько представление в представлении