2. Признаки редуктивных алгебр

Предложение 1. Пусть - алгебра Ли над полем характеристики 0. Тогда следующие три условия эквивалентны друг другу: а) алгебра g редуктивна б) присоединенное представление алгебры g полупростое в) производная алгебра алгебры полупростая. Если эти условия выполнены, то есть прямая сумма своего центра

Присоединенное представление алгебры отображает центр с на Поэтому из теоремы 4 вытекает, что из условия а) следует условие б). Предположим, что условие б) выполнено. Так как идеал в то прямая сумма и некоторого идеала Лемма 4 § 2 показывает, что каждый идеал в 35% является также идеалом в Пусть а — абелев идеал в так что тогда прямая сумма идеала а и некоторого идеала и мы имеем (лемма 4 § 2). Следовательно,

откуда следовательно, так что теоремы Картана (§ 2), отсюда получаем, что полупростая алгебра. Предположим наконец, что выполнено условие в). Присоединенное представление алгебры индуцирует полупростое представление алгебры (теорема Вейля), Тогда g - прямая

мая сумма пространства и некоторого векторного пространства такого, что Но ясно, содержится в так что содержится в множестве тех элементов из которые перестановочны с элементами из Очевидно, подалгебра алгебры центр алгебры и поэтому сводится к Отсюда выводим, что так что подалгебра алгебры Но содержится также в поэтому Из формул следует, что откуда С другой стороны, откуда Итак, мы видим, что прямая сумма алгебр Отсюда следует, что фактор-алгебра изоморфна и поэтому полупроста. Предложение 1 доказано.

Последнее утверждение предложения 1 можно рассматривать как частный случай следующего результата, который мы используем дальше:

Предложение 2. Пусть полупростое представление алгебры Ли Обозначим через V пространство представления через пространство гармонических относительно элементов из V, а через векторное пространство, порожденное элементами вида где Тогда пространства допустимы, их прямая сумма.

Что допустимо, очевидно; допустимо в силу леммы 2 § 2. Так как представление полупростое, то в V существуют допустимые подпространства такие, что

где обе суммы — прямые. Пусть так как то откуда Если то так как допустимо, а также в силу определения Таким образом, так что Но

так что и предложение 2 доказано.

Предложение 3. Для того чтобы алгебра Ли над полем характеристики была редуктивной, необходимо и достаточно, чтобы она допускала полупростое точное представление.

Предположим, что алгебра допускает точное полупростое представление Тогда она изоморфна Поэтому для

доказательства редуктивности можно предположить, что является подалгеброй алгебры Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V и чтор — тождественное отображение Тогда из следствия 1 теоремы Энгеля (§ 1) следует, что единственный идеал алгебры состоящий из нильпотентных эндоморфизмов пространства Пусть а — абелев идеал алгебры Обозначим через векторное пространство, порожденное совокупностью ; в силу леммы 3 § 2, это пространство есть идеал в Мы покажем, что каждый элемент из нильпотентен; для этого достаточно показать, что для всякой реплики эндоморфизма теорема 17 из § 14 гл. II). Но можно представить в виде суммы

С помощью формулы (1) § 2 получаем, что

R можно представить в виде полинома от перестановочен с эндоморфизмами А, так как идеал а абелев; поэтому что и доказывает наше утверждение.

Таким образом, так что а лежит в центре алгебры Пусть теперь В — элемент из мы покажем, что эндоморфизм В нильпотентен, установив, что для всякой реплйки 5 эндоморфизма В. В можно представить в виде

откуда

Но эндоморфизм 5 можно представить в виде полинома от а эндоморфизм В, находящийся в центре алгебры перестановочен с эндоморфизмами поэтому Отсюда заключаем, что Пусть с — центр алгебры идеал в такой, что фактор-алгебра абелева. Тогда производная алгебра алгебры лежит в с (так как абелева) и в . Но так как с — абелев

идеал алгебры то с так что и идеал абелев. Таким образом, откуда Отсюда заключаем, что не имеет абелевых идеалов она полупростая (теорема Картана), а значит, редуктивна.

Предположим, наоборот, что алгебра редуктивна. Пусть с — ее центр, векторное пространство, изоморфное с. Пусть базис алгебры - базис пространства Если

(где — элементы основного поля) — какой-нибудь элемент из с, обозначим через эндоморфизм пространства V, переводящий Ясно, что точное представление алгебры с и что элементы полупростые эндоморфизмы. Так как прямая сумма алгебр то представление можно продолжить в линейное отображение алгебры в пространство эндоморфизмов пространства V, при котором Это продолженное отображение мы также обозначим через легко видеть, что является представлением алгебры ядро которого равно . С другой стороны, пусть а — присоединенное представление алгебры его ядро — центр с. Пусть декартова сумма Это, очевидно, точное представление алгебры Пространством представления является произведение если то эндоморфизм

пространства очевидно, этот эндоморфизм полупростой. Из теоремы 4 следует, что полупростое точное представление алгебры и предложение 3 доказано

Предложение 4. Пусть — полупростые представления алгебры над полем характеристики 0. Тогда декартова сумма а и тензорная сумма представлений также полупростые представления.

Пусть пространство представления тогда пространством представления является

Мы отождествим обычным образом пространства с подпространствами пространства которое таким образом становится прямой суммой Ограничение представления на

совпадает с Пространство V, таким образом, оказывается прямой суммой допустимых относительно подпространств, причем ограничения представления на эти подпространства являются полупростыми; так как это верно для всех то представление полупростое. Пусть есть тензорная сумма представления пространство этого представления. Тогда в существует подпространство, допустимое относительно и такое, что ограничение на это подпространство эквивалентно ; чтобы доказать, что полупросто, достаточно убедиться, что полупросто. Итак, нам нужно доказать, что если полупростое представление алгебры и если целое неотрицательное число, то тензорная сумма представления полупростое представление. Пусть ядро ; тогда индуцирует точное полупростое представление алгебры а это показывает, что редуктивная алгебра. Пусть есть тензорная сумма представления ; ясно, что для где класс элемента Поэтому достаточно показать, что полупростое представление. Пусть - тензорная алгебра над пространством представления пространство однородных элементов степени из Пусть С — элемент центра алгебры Тогда а (С — полупростой эндоморфизм (теорема 4) и (С — ограничение на деривации алгебры 7, продолжающей с Но в силу предложения 3 § 8 гл. I (том II), эта деривация полупростая, и предложение 4 доказано.

Следствие 1. Пусть полупростое представление алгебры Ли над полем характеристики 0. Тогда все представления, сопровождающие также полупростые.

Если целое неотрицательное число, то тензорная сумма представления полупроста в силу предложения симметрическая и внешняя суммы представления индуцируются представлением при переходе в фактор-пространство и, следовательно, также полупросты. Представление, дуальное к полупросто, в силу предложения 17 из § 10 гл. II (том II). Отсюда вытекает следствие 1.

Следствие 2. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем характеристики 0, и пусть подалгебра алгебры Ли всех эндоморфизмов пространства V, такая, что тождественное отображение полупростое представление алгебры Тогда

представление а алгебры индуцированное присоединенным представлением алгебры полу просто.

Если то эндоморфизм пространства эндоморфизмов пространства Таким образом, эквивалентно представлению где представление, дуальное (ср. гл. III, п° 10). Но представление полупростое (следствие 1), поэтому тем же свойством обладает (предложение 4).

Следствие 3. Пусть V — конечномерное пространство над полем характеристики 0, и пусть его полупростой эндоморфизм. Если пространство эндоморфизмов пространства V, то отображение полупростой эндоморфизм пространства

Это непосредственно вытекает из следствия 2, примененного к одномерной алгебре, порожденной И.

Следствие 4. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем характеристики и подалгебра алгебры Пусть X— элемент из такой, что его полупростая компонента и нильпотентная компонента принадлежат Тогда операторы являются соответственно полупростой и нильпотентной компонентами оператора

Имеем Но ограничение на оператора который полупрост в силу следствия 3, так что оператор полупростой. С другой стороны, нильпотентен, в силу леммы 1 § 1. Наконец, так как 5 перестановочен с то перестановочен с что и доказывает следствие 4.

Условие, требующее, чтобы принадлежали всегда выполнено, если тождественное отображение полупросто, как видно из следующей леммы:

Лемма 2. Пусть полупростое представление алгебры Ли над полем характеристики 0. Если то полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма принадлежат

Пусть и — ядро представления тогда индуцирует точное полупростое представление алгебры поэтому достаточно доказать лемму 2 при дополнительном предположении, что представление точное. В этом случае алгебра редуктивна и,

следовательно, является прямой суммой своего центра с и своей производной алгебры последняя — полупростая алгебра (предложение 1). Положим Алгебра есть алгебраическая алгебра (следствие предложения 9 §2 настоящей главы). Поэтому полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма могут быть представлены в виде где предложения 2 и 3 из § 14 гл. II). Имеем

причем С перестановочен с кроме того, полупростой эндоморфизм (теорема 4); отсюда следует, что полупростой эндоморфизм (том II, предложение 4 из § 8 гл. I), перестановочный с Поэтому полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма суть что доказывает лемму 2.

Предложение 5. Пусть редуктивная алгебра Ли и а — ее подалгебра. Тогда следующие условия эквивалентны:

а) присоединенное представление алгебры индуцирует полупростое представление алгебры а; б) по крайней мере одно точное полупростое представление алгебры индуцирует полупростое представление алгебры а; в) каждое полупростое представление алгебры индуцирует полупростое представление алгебры а.

Предложения 1 и 3 показывают, что условие в) влечет за собой а) и б). Предположим, что выполнено условие а). Если то ограничение на а оператора поэтому присоединенное представление а полупросто, и алгебра а редуктивна (предложение 1). Пусть полупростое представление алгебры а -элемент центра алгебры а. Чтобы доказать, что индуцирует полупростое представление а, можно предположить, что представление точно; действительно, так как допускает точное полупростое представление то можно вместо рассматривать декартову сумму представлений и Лемма 2 показывает, что полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма представимы в виде где таким образом, соответственно полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма (следствие 4 предложения 4). Но из теоремы 4 следует, что полупрост. Тогда принадлежит центру алгебры откуда по теореме 4 вытекает, что эндоморфизм

полупростой. Поэтому и эндоморфизм полупростой; тогда по теореме 4 а индуцирует полупростое представление а. Покажем, наконец, что из б) следует а). Пусть V — пространство представления так как представление точное, то, не ограничивая общности, можно предположить, что подалгебра алгебры и что тождественное представление. Если то есть ограничение на оператора тогда следствие 2 предложения 4 показывает, что присоединенное представление алгебры индуцирует полупростое представление алгебры а.

Предложение 6. Пусть идеал редуктивной алгебры Ли Тогда алгебры редуктивны.

Так как присоединенное представление алгебры полупростое, то прямая сумма идеала и некоторого идеала ; но тогда всякий идеал ! алгебры есть также идеал в алгебре (лемма 4 § 2); кроме того, прямая сумма идеала и некоторого идеала алгебры который тем более является идеалом в I). Таким образом, присоединенное представление алгебры полупросто и редуктивная алгебра (предложение 1). Алгебра изоморфна идеалу следовательно, также редуктивна.

Предл ожение 7. Алгебра Ли компактной группы Ли редуктивна.

Пусть компактная группа Ли и ее алгебра Ли. Тогда связная компонента единицы группы также компактна. Ее присоединенное представление, следовательно, полупросто (том I, теорема 1 из гл. VI). Его дифференциал — присоединенное представление алгебры которое полупросто, в силу предложения 8 § 8 гл. I (том II). Теперь из предложения 1 следует, что алгебра редуктивна.

Предложение 8. Пусть алгебра Ли над полем К характеристики 0, и пусть надполе поля К. Алгебра редуктивна тогда и только тогда, когда редуктивна алгебра получающаяся из расширением осносного поля до

Легко видеть, что производная алгебра алгебры получается из производной алгебры алгебры расширением основного поля до Чтобы была полупростой алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы алгебра обладала этим свойством (предложение 10 из § 2). Отсюда следует, в силу предложения 1, утверждение предложения 8.