§ 2. Полупростые алгебры

1. Билинейная форма, соответствующая представлению

Определение 1. Пусть — представление алгебры Ли Билинейная форма

на называется билинейной формой, соответствующей представлению а квадратичная форма

называется квадратичной формой, соответствующей этому представлению. Билинейная (соответственно квадратичная) форма, соответствующая присоединенному представлению, называется фундаментальной билинейной (соответственно квадратичной) формой алгебры

Как известно, если —эндоморфизмы конечномерного векторного пространства, то следы эндоморфизмов и совпадают. Это показывает, что билинейная форма, соответствующая какому-нибудь представлению алгебры Ли, всегда симметрична.

Пусть — эндоморфизмы некоторого конечномерного векторного пространства. Тогда

Действительно,

Отсюда следует, что если В — билинейная форма, соответствующая представлению алгебры Ли то для из

имеет место равенство

Иначе говоря (ср. гл. III, п°9), справедливо

Предложение 1. Билинейная форма, соответствующая представлению алгебры Ли гармонична относительно присоединенного представления.

Мы дадим сейчас другое доказательство предложения 1, годное только для случая алгебр Ли над бесконечными полями характеристики но зато позволяющее установить в этом случае более общий результат.

Пусть А — эндоморфизм конечномерного пространства V над некоторым полем К. Пусть поле рациональных функций от переменной с коэффициентами из К. Эндоморфизм А может быть продолжен в эндоморфизм — который мы также будем обозначать через -векторного пространства получающегося из V расширением основного поля до Пусть тождественный автоморфизм пространства Если представить эндоморфизм матрицей относительно некоторого базиса пространства V (значит, и пространства то отличные от коэффициенты этой матрицы будут полиномами от степени 1. Тогда определитель эндоморфизма записывается в виде полинома

от с коэффициентами из поля причем означает здесь размерность пространства При этом каждый коэффициент представим в виде полинома от коэффициентов матрицы, представляющей А в некотором базисе пространства это однородный полином степени Такйм образом, отображение однородная полиномиальная функция степени над пространством эндоморфизмов пространства Пусть (аф—матрица, представляющая эндоморфизм А в некотором базисе пространства тогда

так что

С другой стороны, очевидно, что

Если автоморфизм пространства V, то эндоморфизмы имеют один и тот же характеристический полином. Действительно, всегда можно подобрать два таких базиса пространства V, что матрица, представляющая А в базисе В, совпадает с матрицей, представляющей в В.

Предложение 2. Пусть представление алгебры над бесконечным полем. Для пусть

— характеристический полином эндоморфизма Для всякого отображение однородная полиномиальная функция степени над гармоническая относительно присоединенного представления алгебры

Пусть V — пространство представления тогда гомоморфизм алгебры в алгебру Ли всех эндоморфизмов пространства Для обозначим через

характеристический полином эндоморфизма Таким образом, для имеем так как линейное отображение, мы видим, что однородная полиномиальная функция степени на Мы должны показать, что

для всевозможных из Но так что [том II, гл. I, § 4, формула (7)]

Так как отображение линейно, то

[том II, формула (6) из § 4 гл. I], и так как представление, то

Таким образом, достаточно доказать, что

для всевозможных из т. е. что функция гармонична относительно присоединенного представления алгебры Пусть группа автоморфизмов пространства Присоединенное представление алгебры есть дифференциал присоединенного представления группы (том II, предложение 7 из § 9 гл. II). Вспоминая следствие 2 теоремы 1 из гл. III, п°9, мы видим, что достаточно доказать инвариантность функций относительно присоединенного представления группы Но если то образ элемента при присоединенном представлении группы переводит каждое а нам известно, что и имеют один и тот же характеристический полином, что и доказывает наше утверждение. (Отметим, что доказательство проходит даже в случае основного поля с характеристикой, отличной от 0, как это показывает замечание, сделанное после следствий теоремы 1 в гл. III, п°9.)

Если теперь характеристика поля отлична от 2, то из гармоничности функций их и непосредственно следует, что квадратичная форма (соответствующая представлению гармонична. Но билинейная форма, соответствующая есть полярная форма этой квадратичной формы; следовательно, и она гармонична.

Более точный результат можно получить, если вместо какого-нибудь представления рассматривать присоединенное представление.

Предложение 3. Пусть алгебра Ли. Для обозначим через

характеристический полином эндоморфизма Тогда полиномиальные функции их на являются инвариантами группы всех автоморфизмов алгебры

Это непосредственно следует из такой леммы:

Лемма 1. Пусть алгебра Ли, X — элемент из — автоморфизм алгебры Тогда

Пусть какой-то элемент из Тогда

что и доказывает лемму.

Следствие. Фундаментальная билинейная форма алгебры Ли является инвариантом группы автоморфизмов этой алгебры.

Если характеристика поля отлична от 2, то это утверждение вытекает из предложения 3. Но оно справедливо во всех случаях согласно лемме 1; действительно,

откуда

Предложение 4. Пусть алгебра Ли, ее представление, - билинейная форма, соответствующая а — идеал алгебры Тогда множество всех для которых при всех также есть идеал алгебры

очевидно, является подпространством в Пусть элемент из элемент из Тогда для имеем

так как отсюда следует, что принадлежит (Отметим, что для случая предложение 4 вытекает из предложения 18 гл. III, п° 10.)

Предл ожение 5. Пусть представление алгебры Ли над полем характеристики 0, В — билинейная форма, соответствующая множество всех для которых при всех Если элемент из представим в виде элементы из какие-нибудь элементы из то эндоморфизм нильпотентен.

Пусть V — пространство представления тогда подалгебра алгебры Для того чтобы доказать

нильпотентность достаточно показать, что для всякой реплики эндоморфизма теорема 17 из. § 14 гл. II). Но, в силу формулы (1) в начале параграфа,

С другой стороны, принадлежит наименьшей алгебраической подалгебре алгебры содержащей (том II, предложение 2 из § 14 гл. II), и производная алгебра алгебры совпадает с производной алгеброй алгебры (том II, теорема 13 из § 14 гл. II) и, следовательно, содержится в Таким образом, можно написать

тогда

поскольку

2. Полупростые алгебры

Определение 2. Алгебра Ли над полем характеристики называется полупростой, если ее фундаментальная билинейная форма невырождена.

Отметим, что всякий раз, когда мы будем говорить о полупростых алгебрах Ли, мы будем подразумевать, что характеристика их основного поля равна 0.

Теорема 2 (теорема Картана). Для того чтобы алгебра Ли над полем характеристики была полупростой, необходимо и достаточно, чтобы она не содержала абелевых идеалов, отличных от Если это условие выполнено, то присоединенное представление алгебры полупросто.

(Позже мы покажем, что, если полупростая алгебра, то не только присоединенное, но и все ее представления — полупростые.)

Лемма 2. Пусть представление алгебры Ли а V — пространство представления Пусть подпространство пространства V, допустимое относительно и пусть идеал алгебры Тогда множество всех элементов из которые являются суммами элементов

вида где и образует подпространство пространства V, допустимое относительно представления

Пусть X — элемент из элемент из элемент из Тогда

Но так как так как и Поэтому С другой стороны, ясно, что векторное подпространство пространства следовательно, это допустимое подпространство.

Лемма 3. Пусть идеалы алгебры Ли Множество, образованное суммами элементов множества есть идеал алгебры

Это непосредственно получается из леммы 2, примененной к присоединенному представлению.

После всего сказанного мы в состоянии доказать теорему 2. Обозначим через В фундаментальную билинейную форму алгебры Предположим сначала, что не содержит абелевых идеалов тогда центр равен и присоединенное представление точно. Пусть идеал алгебры множество всех элементов для которых при всех для того чтобы необходимо и достаточно чтобы для всякого элемента И какого-нибудь базиса идеала Отсюда выводим, что векторное пространство размерности где Впрочем, в силу предложения даже идеал алгебры Положим и обозначим через множество всех сумм элементов множества в силу леммы есть идеал. Если то

для всех из предложения 5 вытекает, что все элементы нильпотентны. Но тогда (том И, гл. I, § 1, теорема 1) нильпотентная алгебра Ли; следовательно, сам идеал нильпотентен, поскольку присоединенное представление алгебры индуцирует изоморфизм его на Используя следствие 5 теоремы 1 § 1, заключаем, что а это означает, что идеал содержится в центре алгебры следовательно, абелев, откуда Так как то прямая сумма идеалов Так как это имеет место

для всякого идеала алгебры то присоединенное представление алгебры полупростое. С другой стороны, если положить вспоминая определение мы убеждаемся, что форма В невырождена.

Предположим, теперь, наоборот, что форма В невырождена. Пусть а — какой-нибудь абелев идеал алгебры и А — элемент из а. Если X — любой элемент из то оператор нильпотентен. Действительно, так как а — идеал, то отображает а в себя, отображает в а; так как идеал а абелев, то отображает а на Следовательно, отображает , а на откуда

Это имеет место для всех и так как форма В невырождена, то так как это справедливо для всех то

Лемма 4. Пусть алгебра Ли, являющаяся прямой суммой идеалов и ; тогда всякий элемент из перестановочен со всяким элементом а каждый идеал алгебры есть идеал алгебры

Имеем Если идеал алгебры то

поскольку поэтому идеал в

Предложение 6. Пусть идеал полупростой алгебры Ли Тогда алгебры Ли полупростые.

Алгебра Ли есть прямая сумма идеала и некоторого идеала ; поэтому (лемма 4) всякий идеал алгебры также оказывается идеалом алгебры так что не содержит абелевых идеалов, отличных от следовательно, полупроста. Алгебра Ли полупростая потому, что она изоморфна идеалу алгебры

Предложение 7. Пусть — полупростые алгебры Ли над одним и тем же полем; тогда и алгебра полупростая.

Обозначим через проекцию на множитель произведения; это гомоморфизм на Если абелев идеал в

то абелев идеал алгебры значит, равна Так как это имеет место для всех то и алгебра полупростая.

Определение 3. Алгебра Ли над полем характеристики называется простой, если выполнены следующие условия: алгебра не абелева, и единственные ее идеалы — это

(Идеал некоторой алгебры Ли мы будем называть простым, если он является простой алгеброй Ли.)

Ясно, что всякая простая алгебра будет также полупростой.

Предложение . Полупростая алгебра Ли представима одним и только одним способом в виде прямой суммы конечного числа простых идеалов каждый идеал алгебры является прямой суммой некоторых из идеалов .

Так как присоединенное представление алгебры полупростое, то представима в виде прямой суммы конечного числа идеалов которые все отличны от и таковы, что при каждом единственные идеалы алгебры содержащиеся в суть и . Но прямая сумма идеала и идеала поэтому всякий идеал алгебры есть также идеал в (лемма 4). Кроме того, не абелевы; значит, это простые алгебры. Пусть идеал алгебры и пусть у — сумма тех идеалов которые содержатся в у тогда идеал в Так как присоединенное представление алгебры полупростое, то прямая сумма идеала и некоторого идеала Если какой-нибудь индекс (1 то векторное пространство, порожденное элементами из есть идеал, содержащийся в (лемма 3). Если бы этот идеал был отличен от то он совпадал бы с а идеал содержался бы в значит, в I) и, следовательно, в у, что невозможно, так как Итак, откуда лежит в центре алгебры откуда следует, что далее, Итак, каждый идеал алгебры есть сумма идеалов , в ней содержащихся. Отсюда непосредственно следует, что — единственные простые идеалы алгебры и что представление в виде прямой суммы простых идеалов единственно.

Следствие. Чтобы алгебра Ли была полупростой, необходимо и достаточно, чтобы она была изоморфна произведению простых алгебр.

Условие, очевидно, достаточно (предложение 7). Предположим алгебру полупростой и воспользуемся обозначениями предложения 8. Каждому элементу из в сопоставим элемент алгебры Мы получим взаимно однозначное линейное отображение произведения на Алгебра есть прямая сумма и следовательно, если (лемма 4). Пусть — элементы из и пусть По определению,

откуда

Так как

это и доказывает, что изоморфизм.

Предложение 9. Полупростая алгебра совпадает со своей производной алгеброй

Напомним, что состоит из сумм элементов множества Это идеал алгебры и фактор-алгебра абелева. Но так как алгебра полупростая, то и фактор-алгебра полупростая (предложение 6), откуда следовательно,

Следствие. Если представление полупростой алгебры пространство представления то полупростая алгебраическая подалгебра алгебры

Если ядро представления то алгебра изоморфна фактор-алгебре и поэтому полупроста (предложение 6). Таким образом, алгебра совпадает со своей производной алгеброй и, следовательно, является алгебраической алгеброй (том II, гл. И, § 14, теорема 15).

Предложение 10. Пусть алгебра Ли над полем К характеристики надполе поля К. Пусть алгебра Ли, получающаяся из расширением основного поля до Для того чтобы была полупростой, необходимо и достаточно, чтобы полупростой была

Пусть фундаментальные билинейные формы соответственно алгебр Если есть морфизм алгебры продолжающий эндоморфизм алгебры отсюда легко заключить, что билинейная форма на продолжающая В. Если выбрать базис алгебры (и тем самым базис то дискриминант формы относительно этого базиса будет таким же, как у формы таким образом, чтобы форма была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы форма В была невырожденной.

Если алгебра Ли, то присоединенными деривациями алгебры мы назовем те ее деривации, которые представимы в виде

Предложение 11. Каждая деривация полупростой алгебры Ли есть присоединенная деривация.

Пусть В — фундаментальная билинейная форма алгебры Отображение есть линейная функция на Так как форма В невырождена, то в существует элемент такой, что

откуда Оператор деривация алгебры мы покажем, что он является нулевой деривацией. Для этого мы используем следующую лемму:

Лемма 5. Пусть деривация алгебры Ли элемент из Тогда

Действительно, для имеем

Вернемся к доказательству предложения 11. Пусть любой элемент из Для

откуда вытекает, что Так как это имеет место для всех то