3. Алгебраические разрешимые и нильпотентные группы

Предложение 10. Пусть V — конечномерное векторное пространство, и пусть подгруппы группы такие, что — нормальные делители в причем Пусть наименьшие алгебраические подгруппы группы содержащие соответственно тогда и нормальные делители в Если группа абелева, то и группа абелева если принадлежит центру группы то принадлежит центру

Обозначим через (5 пространство эндоморфизмов пространства V и через алгебру полиномиальных функций над 6; пусть система образующих для идеала тех полиномиальных функций , которые обращаются в нуль на Таким образом, для того чтобы элемент принадлежал необходимо и достаточно, чтобы предложение 2 § 1 гл. II). Ясно, что для каждого можно найти показатели со следующими свойствами: если обозначает определитель элемента то функция

может быть выражена в виде полинома от коэффициентов матриц, представляющих эндоморфизмы в некотором (безразлично каком) базисе пространства положим

Пусть элемент из если то откуда Отсюда следует, что для всех Пусть теперь из сказанного выше видно, что для всех Следовательно, для всех а значит, также для всех откуда если Это показывает, что нормальный делитель в Аналогично доказывается, что нормальный делитель в Предположим теперь, что группа лежит в центре группы Пусть тогда для всех а потому и для всех так что если Пусть элемент из тогда для всех и тем самым для всех Отсюда следует, что лежит в центре группы Применяя згот результат к случаю мы убеждаемся, что если группа абелева, то и группа абелева.

Следствие. Пусть V — конечномерное векторное пространство, подгруппа группы и наименьшая алгебраическая группа, содержащая Для того чтобы группа была разрешима нильпотентна), необходимо и достаточно, чтобы группа была разрешима (соответственно нильпотентна).

Пусть последовательность подгрупп группы будем обозначать через наименьшую алгебраическую группу, содержащую Если группа разрешима, то мы положим и выберем так, чтобы группа содержала только единицу группы Мы будем иметь сводится к единице группы Тогда из предложения 10 следует, что суть нормальные делители группы и что - абелевы группы; итак, группа разрешима (предложение 4). Если нильпотентна, то пусть такое целое неотрицательное число, что тогда мы положим что группа содержит только единицу группы Из предложения 10 вытекает, что нормальные делители группы и что лежат в центре группы отсюда и из предложения 9 следует, что группа нильпотентна. С другой стороны, если группа разрешима (соответственно нильпотентна), то, в силу предложений 3 и 8, тем же свойством обладает группа

Предложение 10а. Пусть - топологическая группа и ее подгруппы, причем —нормальные делители группы Пусть замыкания групп в группе тогда нормальные делители в Если группа абелева, то и группа абелева. Если принадлежит к центру группы то содержится в центре группы

Так как отображение произведения в непрерывно, то множество тех пар для которых замкнуто. Это множество содержит произведение значит, оно содержит и замыкание этого произведения, т. е. Это показывает, что группа нормальный делитель в аналогичным образом убеждаемся, что нормальный делитель в Предположим теперь, что лежит в центре группы Тогда множество содержит а значит, и это показывает, что лежит в центре группы Применяя этот результат к случаю мы убеждаемся, что если группа абелева, то и группа абелева.

Следствие. Пусть подгруппа топологической группы и пусть замыкание группы Для того

Чтобы группа была разрешима (соответственно нилъпош тентна), необходимо и достаточно, чтобы была разрет шима (соответственно нильпотентна).

Доказательство аналогично доказательству следствия предложения 10.

Предложение 11. Пусть алгебраическая группа и алгебраический нормальный делитель. Тогда существует рациональное представление группы ядром которого служит

Пусть V — векторное пространство, на котором действует группа Пусть 6 — пространство эндоморфизмов пространства алгебра полиномиальных функций над пространство однородных элементов степени алгебры целое число пространство Напомним, что полуинвариантом группы мы называли полиномиальную функцию над такую, что

для всех и при этом функция над . Эта функция однозначно определена полиномиальной функцией если она называется тогда весом функции гомоморфизм группы И в мультипликативную группу отличных от элементов основного поля (предложение 1 § 2 гл. II, том II). Мы также доказали, что существует конечное множество 3 полуинвариантов, таких, что состоит из всех автоморфизмов пространства V, для которых все элементы из 3 являются полуинвариантами (теорема 1 из § 2 гл. II, том II). Мы выберем целое число так, чтобы Для обозначим через автоморфизм пространства сопоставляющий каждой функции функцию тогда представление группы Это представление рационально. Действительно, представление относящее каждому автоморфизм пространства очевидно, рационально, а эквивалентно декартову произведению симметрических степеней представления, дуального к для Пусть множество весов полуинвариантов из множества Для обозначим через пространство всех полуинвариантов группы веса содержащихся в Так как нормальный делитель группы то операторы

из переставляют между собой пространства Пусть группа тех для которых отображает каждое из пространств в себя. алгебраический нормальный делитель группы и группа изоморфна некоторой группе подстановок множества пространств которые отличны от это множество конечно, так что и конечная группа. Мы покажем сначала, что группа обладает рациональным представлением с ядром Обозначим через представление, получающееся из представления ограничением на подпространство Пусть — пространство эндоморфизмов пространства для обозначим через автоморфизм

пространства Тогда ясно, что рациональное представление группы Пусть ядро этого представления. Так как элементы центра ассоциативной алгебры (алгебры эндоморфизмов пространства являются скалярными кратными тождественного автоморфизма пространства то мы видим, что для элементов из Ну элементы из являются полуинвариантами и что Пусть теперь декартово произведение представлений для всех это рациональное представление группы ядро которого равно Имеем С другой стороны, если — элемент веса то полуинвариант группы Отсюда следует, что так что Итак, -рациональное представление группы с ядром Если теперь группа неприводима, то предложение И доказано. В противном случае пусть пространство представления группы и пусть — все различные классы группы по подгруппе

Для каждой пары индексов существует вполне определенный индекс такой, что Пусть векторное пространство, являющееся прямой суммой пространств изоморфных пространству пусть

— изоморфизм пространства на Для пусть автоморфизм пространства такой, что

тогда представление группы с ядром И. Так как рациональное представление то — рациональное представление группы Для пусть автоморфизм пространства такой, что

Так как умножение в группе ассоциативно, то для любых индексов имеет место равенство

с помощью легких выкладок получается, что

и

Отсюда непосредственно следует, что представление можно продолжить в представление группы переводящее элемент Представление рационально, и его ядро есть .

Предложение 12. Пусть алгебраическая группа над полем характеристики алгебраические нормальные делители в такие, что алгебры Ли групп Для того чтобы группа была абелева, необходимо, чтобы алгебра была абелева. Для того чтобы лежала в центре группы необходимо, чтобы лежала в центре алгебры Эти условия также достаточны, если предположить, что неприводимы.

Пусть рациональное представление группы ядро которого есть (ср. предложение 11), и пусть — наименьшие алгебраические группы, содержащие и Тогда их алгебрами Ли будут (предложение 5 § 9 гл. II, том II), а ядром будет (теорема 12 § 14 гл. II, том II). Таким образом, отображение индуцирует при переходе в фактор-алгебру изоморфизм на отображающий на Алгебры являются также алгебрами Ли алгебраических компонент и единицы в группах что Для того чтобы группа содержалась в центре группы

необходимо и достаточно, чтобы группа лежала в центре группы чтобы группа лежала в центре группы необходимо и достаточно, чтобы алгебра лежала в центре алгебры (согласно следствию 2 предложения 12 из гл. 111, п° 9). Но если лежит в центре группы то лежит в центре группы (предложение 10) и, следовательно, Я лежит в центре группы Если неприводимы, то также неприводимы (предложение 3 из § 4 гл. II, том И), так что если лежит в центре группы то группа принадлежит центру группы Условия принадлежности группы к центру группы тем самым установлены. Утверждения относительно условия абелевости получаются из них как частный случай.

Предложение 12а. Пусть группа Ли, ее замкнутые нормальные делители, а алгебры Ли групп Для того чтобы группа была абелевой, необходимо, чтобы алгебра абелева; для того чтобы группа принадлежала центру группы необходимо, чтобы принадлежала центру алгебры Эти условия также достаточны, если предположить, группы связны.

Пусть естественное отображение на Пусть связная компонента единицы группы так как -открытое отображение, то связная и открытая подгруппа группы значит, связная компонента единицы в Связная компонента единицы группы есть замкнутая (а значит, аналитическая) подгруппа группы и открытое множество в отсюда следует, что

— связная группа Ли (том I, гл. IV, § VII); так как группа открыта в то группа Ли. Пусть связная компонента единицы группы отображение индуцирует непрерывный, а значит, аналитический гомоморфизм группы таким образом, аналитическая подгруппа группы (том I, следствие 3 предложения 1 из § IX гл. IV). Кроме того, отображает на алгебру Ли группы а — на алгебру Ли группы и ядром этого отображения служит (том I, следствия 3 и 4 предложения 1 из § IX гл. IV). Если группа лежит в центре группы

то группа лежит в центре группы так что алгебра лежит в центре алгебры в силу предложения 3 из гл. IV тома отсюда следует, что алгебра находится в центре алгебры Обратно, если лежит в центре алгебры то на основании упомянутого результата из тома I мы заключаем, что группа лежит в центре группы Если группы связны, то лежит в центре группы Мы доказали утверждения, устанавливающие, когда группа находится в центре группы условия, при которых группа абелева, получаются отсюда как частный случай.

Замечание. Одновременно мы установили, что факторгруппа группы Ли по замкнутому нормальному делителю в является группой Ли.

Предложение 13. Пусть неприводимая алгебраическая группа над полем характеристики (соответственно связная группа Ли). Для того чтобы она была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы ее алгебра Ли была разрешимой; для того чтобы была нильпотентной, необходимо и достаточно, чтобы была нильпотентной.

Пусть последовательность подгрупп группы такая, что сводится к единице группы Обозначим через наименьшую алгебраическую (соответственно замкнутую) группу, содержащую а через алгебру Ли группы тогда Если группа О разрешима, то выберем число так, чтобы группа содержала только единицу группы и положим

Так как группы абелевы, то и группы абелевы (предложения 10 и 10а); если 1 то идеал в и алгебра абелева (предложения 12 и 12а); отсюда следует, что алгебра разрешима (предложение 5 § 1). Если группа нильпотентна, то пусть такое целое число 0, что мы положим Группа принадлежит тогда центру группы значит, группа принадлежит центру группы (предложения 10 и 10а), а алгебра центру алгебры Если то, как мы видим, оператор отображает в

так что значит, нильпотентна.

Предположим теперь, что алгебра разрешима. Покажем, что в случае, когда алгебраическая группа, для всякого есть алгебра Ли неприводимой алгебраической подгруппы группы Это верно для предположим, что и что наше утверждение верно для Из теоремы 15 § 14 гл. II (том II) следует, что алгебра Ли наименьшей алгебраической группы, содержащей коммутант группы а значит, и алгебраическую компоненту единицы этого коммутанта; это доказывает наше утверждение Если группа Ли, то пусть ее связная подгруппа, алгебра Ли которой есть Если алгебраическая группа, то из предложения 12 вытекает, что фактор-группа абелева; отсюда на основании предложения 4 заключаем, что разрешима. Если группа Ли, то аналитическая подгруппа группы так как производная алгебра от то есть не что иное, как коммутант группы (том I, гл. IV, § XII), группа абелева, так что разрешима. Предположим теперь, что алгебра нильпотентна. Доказательство нильпотентности группы мы проведем индукцией по размерности алгебры Если то группа будучи неприводимой (соответственно связной), совпадает со своим единичным элементом. Предположим, что наше утверждение доказано для групп размерностей где Пусть с — центр алгебры он является алгеброй Ли алгебраической (соответственно связной) компоненты С единицы в центре группы (ср. следствие 2 предложения 12 из гл. III, п° 9, и том I, предложение 3 из гл. IV). Так как алгебра нильпотентна, то с (следствие 4 теоремы Энгеля из § 1 гл. IV), и размерность алгебры меньше Если группа алгебраическая, то существует рациональное представление группы с ядром пусть наименьшая алгебраическая группа, содержащая Группа неприводима (том II, предложение 3 из § 4 гл. II); ее алгебра Ли есть (том II, предложение 5 из § 9 гл. II), и ядром представления служит с (том II, теорема 12 из § 14 гл. II). Таким образом, алгебра изоморфна алгебре которая нильпотентна (предложение 1 из § 1 гл. IV). Из предположения индукции следует, что группа нильпотентна. Тогда и группа нильпотентна (предложение 8), нильпотентна также Если группа Ли, то группа С замкнута в и алгебра Ли группы изоморфна (том I, предложение 1 из § VII

гл. IV); отсюда следует, что нильпотентна. Но легко видеть, что группа совпадает с группой Если таково, что то и группа нильпотентна. Предложение 13, таким образом, доказано.