2. Группы Картана компактных групп

Предложение 2. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел и компактная подгруппа группы Тогда алгебраическая группа.

Введем в рассмотрение представляющее кольцо о группы это кольцо функций на порожденное вещественными или комплексными постоянными и коэффициентами всех матричных непрерывных представлений группы (ср. том I, гл. VI, § VII, определение 1). Выбирая базис в V, элементы группы можно представить в виде матриц с вещественными коэффициентами; пусть коэффициенты матрицы, представляющей элемент Обозначив через С поле комплексных чисел, имеем том I, гл. VI, предложения 2 и 3; заметим, что представление совпадает со своим комплексно сопряженным представлением]. Пусть элемент наименьшей алгебраической подгруппы содержащей и пусть коэффициенты матрицы, представляющей Если полином от переменных с вещественными коэффициентами, для которого

то также

Это утверждение также справедливо, если полином с комплексными коэффициентами, так как можно положить где полиномы с вещественными коэффициентами, и мы будем иметь

поскольку функции принимают только вещественные значения. Таким образом, существует гомоморфизм кольца в С, отображающий каждую на Если какой-нибудь элемент кольца о, где -полином с комплексными коэффициентами, то функция комплексно сопряженная к есть где полином, получающийся из заменой коэффициентов комплексно сопряженными. Отсюда следует, что являются комплексно сопряженными. Из предложения гл. VI тома I вытекает теперь, что что и доказывает предложение 2.

Предложение 3. Пусть компактная связная группа Ли. Тогда группы Картана группы связны, каждая связная абелева подгруппа группы содержится в некоторой группе Картана.

Известно, что допускает непрерывное точное представление матрицами (том I, теорема 4 из гл. VI); следовательно, она изоморфна компактной связной подгруппе группы где V — конечномерное векторное пространство над полем комплексных чисел. Если V — векторное пространство над полем вещественных чисел, получающееся из V ограничением основного поля, то изоморфна подгруппе группы Итак, мы можем предположить, что тогда группа алгебраична (предложение 2) и неприводима (лемма 2). Пусть ее алгебра Ли; эта алгебра редуктивна (предложение 7 из § 4 гл. IV). Следовательно, она является прямой суммой своего центра и своей производной алгебры , которая полупроста (предложение 1 из § 4 гл. IV). Из предложения 3 § 4 вытекает, что алгебры Картана алгебры являются суммами центра и алгебр Картана алгебры Эти последние абелевы (теорема 3 § 4); это показывает, что алгебры Картана алгебры дабешевы. Если группа Картана группы то неприводимая алгебраическая группа (теорема 2 § 4), алгебра Ли которой абелева; следовательно, группа абелева (следствие 2 предложения 12 гл. Группа замкнута в О и поэтому компактна; тем же свойством обладает связная компонента единичного элемента Таким образом, алгебраическая группа (предложение 2); так как она имеет ту же алгебру Ли, что и то она совпадает с это показывает, что группы Картана группы связны. Если А — связная

абелева подгруппа группы О, то ее замыкание обладает теми же свойствами. Для доказательства того, что А содержится в группе Картана, мы, следовательно, можем ограничиться рассмотрением случая, когда группа А замкнута. Установим для этого следующую лемму:

Лемма 3. Если алгебра Ли компактной подгруппы группы где V — конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, то все элементы алгебры полупросты.

Предложение 2 показывает, что алгебраическая алгебра; если, следовательно, то нильпотентная компонента элемента X принадлежит (том II, предложения 2 и 3 из § 14 гл. II). Достаточно поэтому показать, что не содержит нильпотентных элементов, отличных от 0. Пусть отличный от нильпотентный элемент алгебры Элементы вида где вещественные числа, образуют алгебраическую и тем самым замкнутую группу и если то отображение полиномиальная и потому непрерывная функция на (предложение 14 из § 3 гл. V). Так как эта функция не ограничена, то группа не компактна; так как она замкнута, то она не содержится ни в какай компактной группе.

Пусть теперь а — алгебра Ли группы Элементы алгебры а полупросты и перестановочны друг с другом, так как группа А абелева; следовательно, а содержится в алгебре Картана алгебры (предложение 18 § 4). Так как группа А связна, то она содержится в группе Картана группы

Предложение 4. Если связная компактная группа Ли, то все группы Картана группы сопряжены между собой в

Здесь, как и в доказательстве предложения 3, мы можем предположить, что подгруппа группы где V— конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел. Так как группа компактна, то существует положительно определенная квадратичная форма на V, инвариантная относительно (том I, теорема гл. VI). Следовательно, мы можем выбрать такой базис странства V, что матрицы, представляющие операторы из вэтом базисе, будут ортогональными. Пусть — векторное пространство, получаемое из V расширением основного поля до

поля С комплексных чисел. Группа алгебраична и неприводима; при расширении основного поля из нее получается неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства Элементы образуют базис пространства ; покажем, что матрицы представляющие элементы группы в этом базисе, ортогональны (комплексно). Если - единичная матрица, то каждый коэффициент матрицы есть полиномиальная функция на равная нулю на следовательно, она тождественно обращается в нуль на что и доказывает наше утверждение. Элементы 5 группы для которых матрица унитарна, суть элементы, для которых матрица вещественна; это элементы группы Из леммы 2 § IX гл. VI тома I следует теперь, что каждый элемент группы можно представить, и притом единственным образом, в виде где между тем как такой элемент из для которого положительно определенная эрмитова матрица. Так как матрица ортогональна, то где матрица, комлексно сопряженная к

Пусть теперь и — группы Картана группы Тогда — группы Картана группы (предложение 22 из § 4); они сопряжены в (теорема 4 из § 4). Пусть теперь 5 — такой элемент группы что Воспользуемся снова леммой 2 из гл. VI тома мы видим, что каждый элемент группы представим, и притом единственным образом, в виде произведения где положительно определенная эрмитова матрица. Кроме того, поскольку группа абелева, то же можно сказать и о группе так что элементы перестановочны. Итак, мы имеем для всех Покажем, что может содержаться в компактной подгруппе группы только в том случае, если единичный элемент. Элементы матриц, представляющих элементы компактной группы в базисе являются, очевидно, ограниченными функциями на группе. Если, следовательно, принадлежит компактной группе, то элементы матриц ограничены. Но так как принадлежит компактной группе, то элементы матриц ограничены; следовательно, то же самое можно сказать и об элементах матриц Так как положительно определенная эрмитова матрица,

то существует такая обратимая матрица что есть диагональная матрица, элементы главной диагонали которой суть вещественные числа обозначим их через Так как элементы матриц ограничены, то для каждого множество функций ограничено, что возможно только тогда, когда Итак, единичная матрица и единичный элемент. Далее, каждый элемент группы принадлежит компактной группе; но тогда и принадлежит компактной группе, так что таким образам, Пусть элемент группы Тогда вещественная матрица, и вещественна также матрица поскольку . Следовательно,

и матрица перестановочна с Положим где положительно определенная эрмитова матрица, такая, что Тогда перестановочен со всеми элементами группы Но пусть элемент из и пусть тогда С другой стороны, матрица унитарна; следовательно, также положительно определенная эрмитова матрица. Можно положить

где матрицы эрмитовы (том I, предложение 5 из § IV, гл. I), и мы имеем так что таким образом, элемент перестановочен со всеми элементами группы Отсюда следует, что что и доказывает предложение 4.

Предложение 5. Пусть компактная связная группа Ли, и пусть группа Картана группы Тогда каждый элемент группы сопряжен с некоторым элементом группы

Пользуясь результатом предложения 4, мы видим, что достаточно показать, что каждый элемент группы содержится в некоторой ее группе Картана. Как и в доказательстве предложения 3, можно предположить, что есть подгруппа группы -конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел. Тогда алгебраическая группа.

Пользуясь теоремой 18 и предложением 5 из § 14 гл. II (том II), мы видим, что каждый элемент может быть записан в виде где полупростой элемент из элемент вида где нильпотентный элемент алгебры Ли группы Но, согласно лемме Таким образом, элемент 5 полупрост и, в силу теоремы 2 § 4, принадлежит некоторой группе Картана.

Замечание. При изучении свойств компактных групп Ли мы неоднократно пользовались теоремой Петера-Вейля, утверждающей существование точного линейного представления группы При желании можно обойтись и без этой теоремы, используя присоединенную группу группы которая является линейной компактной связной группой, и пользуясь также леммой 1, сводящей изучение групп Картана группы к изучению групп Картана ееприсоединенной группы.