14. Рациональные представления алгебр Ли

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем характеристики алгебраическая подалгебра алгебры Ли и неприводимая алгебраическая группа, алгеброй Ли

которой служит Представление алгебры Ли называется рациональным, если оно является дифференциалом рационального представления группы

Предложение 30. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем К характеристики и алгебраическая подалгебра алгебры Тогда тождественное отображение в есть рациональное представление алгебры присоединенное представление алгебры также рациональное представление. Пусть рациональное представление алгебры Тогда всякое представление, эквивалентное представлению рационально и для каждого целого неотрицательного тензорные, симметрические и внешние суммы представления рациональные представления. Представление, дуальное к также рационально. Если допустимое подпространство пространства представления то ограничение на и представление, индуцированное в фактор-пространстве рациональные представления. Если надполе поля алгебра Ли, получающаяся из расширением основного поля до то представление алгебры продолжающее рационально. Наконец, если рациональные представления, то их декартовы и тензорные суммы — рациональные представления.

Пусть алгебраическая группа, алгеброй Ли которой служит Тождественное отображение алгебры конечно, есть дифференциал тождественного отображения группы в ; присоединенное представление алгебры дифференциал присоединенного представления группы которое также рационально (том II, предложение 7 из § 9). Пусть рациональное представление алгебры Согласно предложению всякое эквивалентное ему представление рационально, тензорные, симметрические и внешние суммы представления рациональны в силу предложения 2, п° 2. Если где рациональное представление группы то, как мы видели, представление, дуальное к также рационально и его дифференциал — представление, дуальное к которое, таким образом, рационально (п° 6). Если допустимо относительно то оно также допустимо относительно (следствие 3 теоремы 1, п° 9); ограничение на представления рационально, в силу леммы 1, п° 2, а представление, индуцированное представлением в фактор-пространстве в силу леммы 3, п° 12. В § 9 гл. II

(том II) мы видели, что представление алгебры продолжающее есть дифференциал рационального представления группы (получающейся из расширением основного поля до продолжающего представление таким образом, рациональное представление. Два последних утверждения предложения 30 следуют из предложения 3, п° 3, и предложения 4, п° 4.

Предложение 31. Пусть рациональное представление алгебраической алгебры Ли над полем характеристики 0, и пусть пространство представления Тогда алгебра алгебраическак подалгебра алгебры и ядро представления алгебраическая подалгебра алгебры

Пусть неприводимая алгебраическая группа, алгеброй Ли которой служит и пусть рациональное представление такое, что Тогда алгебра Ли наименьшей алгебраической группы, содержащей группу (том II, предложение 5 из § 9 гл. II), и ядро представления алгебра Ли ядра представления которое, по теореме 12 из § 14 гл. II (том II), есть алгебраическая подгруппа группы

Следствие 1. Если, при обозначениях предложения алгебраическая подалгебра алгебры то алгебраическая алгебра.

При обозначениях доказательства предложения 31 пусть, кроме того, -неприводимая алгебраическая подгруппа группы алгеброй Ли которой служит §. Ясно, что ограничение на I) есть дифференциал ограничения на и потому рационально.

Следствие 2. При обозначениях предложения 31 алгебра образ алгебры при присоединенном представлении — является, алгебраической подалгеброй алгебры

Это следует из предложений 30 и 31.