2. Нильпотентные группы

Определение 3. Пусть группа. Мы будем называть центральным множеством группы целое неотрицательное) и обозначать через подмножество группы определенное индуктивно следующим образом: сводится к единице группы для есть множество всех таких, что для всех

Предложение 6. Пусть группа. Каково бы ни было есть нормальный делитель в Если то содержит и фактор-группа является центром группы

Наши утверждения справедливы для Предположим, что они верны для некоторого Пусть элементы группы классы Тогда класс элемента есть таким образом, для того чтобы принадлежал необходимо и достаточно, чтобы были перестановочны. Отсюда мы заключаем, что множество состоит из всех элементов группы классы которых содержатся в центре группы Так как этот центр является нормальным делителем группы то отсюда непосредственно следует, что наши утверждения верны для

центральное множество группы является подгруппой группы оно называется также центром группы

Предложение 7. Пусть группа, И — ее подгруппа. Для целого группа содержит Если нормальный делитель, то содержит образ группы при естественном гомоморфизме на

Наши утверждения очевидны для Предположим, что они верны для некоторого и пусть 5 — элемент из Если то принадлежит если то находится также в значит, в откуда следует, что Предположим теперь, что -нормальный делитель. Если то элемент принадлежит и класс этого элемента содержится, следовательно, в Отсюда непосредственно получается, что класс

элемента 5 лежит в Таким образом, наши утверждения доказаны для

Определение 4. Группа называется нильпотентной, если существует для которого

Предложение 8. Пусть нильпотентная группа. Тогда всякая ее подгруппа нильпотентна. Если - гомоморфизм группы в произвольную группу, то нильпотентна.

Так как группа изоморфна некоторой фактор-группе группы то предложение 8 непосредственно вытекает из предложения 7.

Предложение 9. Для того чтобы группа была нильпотентной, необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная последовательность ее подгрупп со следующими свойствами: для содержится в и из условий следует группа сводится к единице группы

Условие, очевидно, необходимо, так как если для некоторого , то можно положить Предположим, наоборот, что условие выполнено. Покажем, что Это верно для предположим, что это верно для некоторого Если то

откуда и наше утверждение доказано для Отсюда следует, что таким образом, группа нильпотентна.