2. Дифференциальные операторы

Пусть неприводимая алгебраическая группа над полем К характеристики 0, и пусть алгебра Ли группы Обозначим через поле рациональных функций над Пусть множество дериваций структуры алгебры над пусть, с другой стороны, — множество операторов умножения в [если то оператор умножения на а есть отображение поля в себя]. Дифференциальными операторами над называются элементы алгебры, порожденной множествами в алгебре эндоморфизмов структуры векторного пространства над К. Таким образом, множество дифференциальных операторов образует ассоциативную алгебру 2 над К. Ясно, что множество подполе алгебры 2, так что 2 можно рассматривать как векторное пространство над (но его нельзя рассматривать как алгебру над так как, вообще говоря, не принадлежит к центру алгебры 2). Как известно, подпространство векторного пространства 2 над полем размерность которого равна степени трансцендентности поля над т. е. размерности алгебры g (Бурбаки, Алгебра, гл. V, теорема 2 из § 9 п° 3).

С другой стороны, каждому мы сопоставили элемент из (том II, § 8 гл. II), определенный следующим образом. Пусть V — то векторное пространство, для которого элементы группы автоморфизмы; пусть пространство эндоморфизмов пространства — линейная функция на — ее ограничение на подмножество пространства так что Тогда и — ограничение на линейной функции и Отображение алгебры -линейно, и имеет место равенство

Пусть - базис алгебры и пусть Если конечная последовательность целых неотрицательных чисел, то положим

[при этом, разумеется, представляет собой тождественный автоморфизм поля Мы хотим показать, что (для всех конечных последовательностей ) образуют базис векторного пространства 2 над полем

Так как линейно независимы, то существуют линейные функции над такие, что Пусть ограничение функции на и пусть Если -тождественный автоморфизм пространства V (т. е. единица группы то Следовательно, определитель не равен нулю и существуют такие элементы при которых

Для всякого пусть оператор умножения на положим

тогда Пусть — множество всех конечных последовательностей неотрицательных целых чисел; для положим

Введем букв и обозначим через операцию взятия частной производной по в алгебре полиномов Положим для

Так как деривация, то для имеет место равенство

так что для всех

Пусть отображение 5 в такое, что за исключением конечного числа элементоз но по крайней мере для одного мы покажем, что

Существует такой элемент что для всех для которых Имеем если или же если между тем как есть некоторый элемент из К. Следовательно,

что и доказывает наше утверждение. Итак, элементы линейно независимы над полем В частности, это имеет место для а значит, и для Так как размерность пространства равна то образуют базис для 3), так же как и в частности, элементы являются линейными комбинациями от с коэффициентами из

Для всякого множества мы обозначим через пространство линейных комбинаций элементов из с коэффициентами из поля К.

Пусть через мы обозначим множество тех для которых Пусть А — множество, состоящее из тождественного автоморфизма пространства и из Имеем

Действительно, пусть так как деривация, то

что и доказывает наше утверждение. Из леммы (примененной для вытекает, таким образом, что

Но откуда Пусть множество, содержащее только тождественный автоморфизм пространства и пусть тогда

Обозначим через пространство линейных комбинаций с коэффициентами из элементов для Используя еще раз лемму 1, мы видим, что

Но заведомо содержится в Следовательно,

Так как то отсюда выводим, что

Пусть подобным же образом — пространство линейных комбинаций с коэффициентами из элементов для Аналогичным рассуждением относительно элементов вместо мы получаем

Но так как элементы линейно независимы, то размерность пространства а значит, размерность равна числу элементов Так как это справедливо для всех то

линейно независимы относительно С другой стороны, ясно, что

мы видим, что элементы действительно образуют базис для структуры векторного пространства над

Пусть элемент Мы сопоставили ему автоморфизм поля определенный следующим образом: при функция а определена в точке если а определена в этом случае Если то деривация алгебры перестановочна с автоморфизмом [см. в томе II формулу (4) из § 8 гл. II]. Будем называть вообще инвариантными справа те дифференциальные операторы группы которые перестановочны со всеми автоморфизмами вида Ясно, что такие дифференциальные операторы образуют подалгебру алгебры всех дифференциальных операторов. Покажем, что элементы образуют базис для алгебры дифференциальных операторов, инвариантных справа. Заметим сначала, что если то имеет место равенство

так как автоморфизм поля Если

— дифференциальный оператор, инвариантный справа, то для имеем

так как автоморфизм перестановочен с операторами Так как элементы линейно независимы относительно поля то

для всех откуда Так как это верно для всех то ясно, что принадлежит К, что и доказывает наше утверждение.

Предложение 1. Пусть алгебра Ли над полем характеристики базис алгебры - универсальная

алгебра над Элементы целые неотрицательные числа, причем обозначает единицу алгебры образуют базис алгебры Если алгебра Ли неприводимой алгебраической группы то алгебра изоморфна алгебре дифференциальных операторов, инвариантных справа, над полем рациональных функций над

Алгебра допускает точное представление. Таким образом, не ограничивая общности, можно предположить, что подалгебра алгебры где V — конечномерное векторное пространство. Пусть наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая универсальная алгебра над неприводимая алгебраическая группа, для которой алгебра Ли. Каждому можно сопоставить инвариантную справа деривацию алгебры рациональных функций над группой (см. выше). Отображение алгебры в алгебру инвариантных справа дифференциальных операторов алгебры линейно, и для из имеем

Это отображение может быть продолжено в унитарный гомоморфизм алгебры их в алгебру который мы вновь обозначим через Мы видели, что порождается своим единичным элементом и элементами из следовательно, С другой стороны, тождественное отображение алгебры можно продолжить в унитарный гомоморфизм алгебры Элементы можно включить в некоторый базис алгебры положим Выше мы видели, что произведения любые целые числа образуют базис для С другой стороны, из леммы 2 сразу следует, всякий элемент из может быть представлен в виде линейной комбинации произведений целые числа 0]. Имеем

линейно независимы в Отсюда следует, во-первых, что линейно независимы в во-вторых, что отображение есть изоморфизм алгебры на некоторую подалгебру алгебры Если сама является алгеброй Ли некоторой неприводимой алгебраической группы то можно предположить, что и тогда изоморфизм

алгебры на алгебру инвариантных справа дифференциальных операторов алгебры

Замечание 1. Если алгебра Ли некоторой связной группы Ли то можно определить понятие инвариантного справа дифференциального оператора в алгебре аналитических функций (или функций класса над и доказать, что изоморфна алгебре инвариантных справа дифференциальных операторов этой алгебры.

Замечание 2. Можно также определить понятие инвариантного слева дифференциального оператора поля рациональных функций над неприводимой алгебраической группой над полем характеристики и показать, что унизерсальная алгебра алгебры Ли группы изоморфна также алгебре дифференциальных операторов, инвариантных слева.

Пусть алгебра Ли над полем характеристики универсальная алгебра над симметрическая, а -тензорная алгебра над Для целого числа через обозначим пространство однородных элементов степени из 5, а через пространство однородных степени симметрических элементов из Естественное отображение алгебры на индуцирует изоморфизм векторного пространства 6 на (предложение 6 гл. пусть — обратное к нему отображение; это, следовательно, изоморфизм на С другой стороны, фактор-алгебра алгебры пусть естественное отображение на Обозначим через линейное отображение алгебры 5 в определенное формулами

и только конечное число элементов отлично от нуля). Будем называть отображение естественным отображением алгебры Если алгебра не абелева, то не является гомоморфизмом алгебр.

Предложение 2. Пусть алгебра Ли над полем характеристики — симметрическая алгебра над естественное отображение алгебры в универсальную алгебру над Тогда отображение есть изоморфизм структуры векторного пространства на структуру

векторного пространства Если то пусть деривация алгебры 5, продолжающая линейное отображение алгебры в себя. Тогда для всех

Для целого неотрицательного числа через мы обозначим векторное пространство, порожденное в произведениями элементов из (если то пространство, порожденное единичным элементом алгебры При тех же обозначениях, что и выше, из леммы 4 непосредственно следует, что

Пусть - базис алгебры Тогда из леммы 1 и предложения 1 вытекает, что те элементы вида (произведения берутся в алгебре для которых образуют базис пространства размерность этого последнего пространства, таким образом, равна числу систем из неотрицательных целых чисел, сумма которых Но это число равно также размерности пространства отсюда мы заключаем, что индуцирует изоморфизм на Ясно, что

таким образом, индуцирует изоморфизм векторного пространства алгебры 5 на Для доказательства второго утверждения предложения 2 мы воспользуемся обозначениями, введенными выше; кроме того, обозначим через деривацию алгебры продолжающую Положим где двусторонние идеалы алгебры тогда деривация 5, индуцированная при переходе в фактор-пространство С другой стороны, каждое из пространств отображается в себя оператором (следствие предложения 5

гл. Отсюда можно заключить, что

для всех Отображения

являются, очевидно, косыми деривациями типа алгебры в алгебру Эти деривации совпадают на следовательно, тождественны. Отсюда мы заключаем, что отображение

— деривация алгебры индуцированная деривацией при переходе к фактор-алгебре Отсюда непосредственно вытекает последнее утверждение предложения 2.

При обозначениях предложения 2 отображение не является представлением алгебры (если так как пространство 5 бесконечномерно. Но если какое-нибудь целое число и если обозначить для через ограничение отображения на пространство однородных элементов степени из 5, то отображение есть представление, а именно симметрическая сумма присоединенного представления алгебры Для того чтобы элемент из 5 переводился в нуль операторами для всех необходимо и достаточно, чтобы для каждого однородная компонента степени элемента была гармонична относительно Мы будем говорить, что такие элементы гармоничны относительно присоединенного представления. Они, очевидно, образуют подалгебру алгебры 5.

Предложение 3. При тех же обозначениях, что и в предложении 2, образ при отображении алгебры элементов из 5, гармонических относительно присоединенного представления, есть центр алгебры

Это утверждение немедленно следует из предложения 2 и из того факта, что центр алгебры состоит из всех ее элементов, перестановочных со всеми элементами из