15. Представления групп Ли

В этом п° мы будем обозначать через группу Ли, а через ее алгебру Ли. Всякий раз, когда мы будем говорить о представлении группы мы будем под этим подразумевать представление конечной степени над полем вещественных чисел.

Пусть непрерывное представление группы Если V — пространство представления то, как нам известно,

индуцирует аналитический гомоморфизм связной компоненты единицы группы в группу (том I, предложение 1 из § XIII гл. IV). Представлению можно, следовательно, сопоставить представление алгебры дифференциал Представления (ср. том I, теор. 2 из § VI гл. IV). Если алгебраическая группа автоморфизмов векторного пространства над полем вещественных чисел и рациональное представление группы то группа Ли и дифференциал представления не зависит от того, рассматриваем ли мы как алгебраическую группу или как группу Ли. Действительно, пусть

V — пространство представления образуем произведение и отождествим, как обычно, с подпространствами этого произведения. Пусть декартово произведение тождественного представления группы [т. е. тождественного отображения и представления Пространство представления есть группа автоморфизмов вида пространства [напомним, что если — эндоморфизмы пространств соответственно, то под мы понимаем эндоморфизм пространства алгебраическая группа, и ее рациональное представление (том II, предложение 5 из § 4 гл. II). Обозначим временно через дифференциалы рациональных представлений в смысле § 9 гл. II (том II), а через дифференциалы непрерывных представлений групп Ли. Если то ограничения на Принимая во внимание лемму 1, п° 2, мы видим, что для имеет место равенство

С другой стороны, отображает на алгебру Ли группы (том II, гл. II, § 9, предложение 5); эта последняя состоит, следовательно, из всех элементов вида ( Далее, алгебра Ли группы рассматриваемая как группа Ли, состоит из элементов ( так как утверждение, аналогичное лемме 1, п° 2, очевидно, справедливо и для непрерывных представлений групп Ли. Но алгебра Ли группы одна и та же независимо от того, рассматривать ли как алгебраическую группу или как группу Ли (том следствие теоремы 7 из § 12 гл. II); отсюда непосредственней вытекает, что

Предложение 2а. Пусть непрерывное представление группы и пусть целое число 0. Тогда

тензорная (соответственно симметрическая, внешняя) степень представления непрерывное представление, и его дифференциал есть тензорная (соответственно симметрическая, внешняя) сумма представления Представление, дуальное к непрерывно, и его дифференциал — представление, дуальное к

Пусть V — пространство представления Обозначим через группу всех автоморфизмов пространства V, а через тождественное отображение группы в себя. Тогда тензорная степень представления это где есть тензорная степень представления У. Но рациональное, а потому непрерывное представление группы ; поэтому непрерывное представление и Но, как нам известно, есть тензорная сумма представления (предложение 2, п° 2); отсюда следует, что есть тензорная сумма представления Аналогичное рассуждение применимо и в других случаях, указанных в формулировке предложения 2а.

Предложение 3а. Пусть непрерывные представления группы Тогда их декартово (соответственно тензорное) произведение — непрерывное представление, а его дифференциал - декартова (соответственно тензорная) сумма представлений

Пусть пространство представления как обычно, мы отождествим пространства с подпространствами их произведения Пусть — базисы пространств тогда

— базис пространства Пусть декартово произведение представлений Если то коэффициенты матрицы, представляющей операторы в базисе В, равны либо нулю, либо коэффициентам матриц, представляющих операторы в базисах отсюда непосредственно следует непрерывность Кроме того, ограничение на есть поэтому, если то ограничение на есть так что декартова сумма представлений Утверждения относительно тензорного произведения легко выводятся из предложения 2а и уже доказанных свойств декартовых произведений.

Теорема Пусть непрерывное представление группы пространство представления подпространства пространства V, такие, что Тогда множество всех таких, что

есть замкнутая подгруппа группы алгебра Ли которой состоит из всех таких, что отображает

Группа всех автоморфизмов пространства V, таких, что

— алгебраическая и, следовательно, замкнутая в Так как представление непрерывно, то замкнутая подгруппа группы т. е. группа Ли. Пусть ее алгебра Ли. Так как то содержится в алгебре Ли группы состоящей из всех эндоморфизмов пространства V, отображающих (том II, гл. II, § 10, пример 4). Пусть, наоборот, X — элемент алгебры такой, что отображает Для вещественного В имеем

(том I, предложение 1 из § IX гл. IV). Если то при всяком откуда сразу следует, что

итак, Так как это имеет место для всех вещественных чисел В, то и теорема 1а доказана.

Следствие 1. При тех же обозначениях, что и в теореме 1а, множество всех таких, что отображает пространство в себя, есть замкнутая подгруппа группы алгебра Ли которой состоит из всех таких, что отображает в себя.

Следствие 2. При обозначениях теоремы 1а пусть некоторое подмножество пространства Группа всех таких, что для всех замкнута, и ее алгебра Ли состоит из всех таких, что при всех

Следствие 3. Сохраняя обозначения теоремы 1а, предположим, что группа связна. Для того чтобы

пространство было допустимым относительно представления необходимо и достаточно, чтобы оно было допустимым относительно

Следствие 4. При обозначениях теоремы 1а пусть группа связна. Для того чтобы представление было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы было полупростым.

Следствие 5. При обозначениях теоремы 1а пусть группа О связна. Для того чтобы элемент пространства V был инвариантом представления необходимо и достаточно, чтобы он был гармоническим относительно

Доказательства этих следствий проводятся аналогично доказательствам следствий теоремы 1, п° 9, с учетом того обстоятельства, что замкнутая подгруппа связной группы О совпадает со всей группой тогда и только тогда, когда алгебра Ли группы есть алгебра Ли группы

Замечание. Если не предполагать, что группа связна, то все же справедливо утверждение, что всякое подпространство, допустимое относительно допустимо также относительно и что каждый элемент пространства V, инвариантный относительно гармоничен относительно

Предложение 11а. Пусть непрерывное представление группы пространство представления аналитическая подгруппа группы пусть, далее, алгебра Ли группы Тогда множество всех таких, что

есть замкнутая подгруппа группы алгебра Ли которой состоит из тех для которых

Пусть автоморфизм пространства Можно найти базисы пространства V, такие, что для всякого эндоморфизма пространства V матрица, представляющая в базисе В, будет совпадать с матрицей, представляющей в базисе В Отсюда немедленно следует, что аналитическая подгруппа группы алгебра Ли которой есть таким

образом, тогда и только тогда, когда Обозначим через автоморфизм пространства эндоморфизмов пространства конечно, является непрерывным представлением группы и непрерывное представление Группа это группа всех таких, что отображает алгебру в себя; в силу следствия 1 теоремы 1а, она замкнута. Кроме того,

и если то эндоморфизм пространства эндоморфизмов пространства V [так как присоединенное представление группы Предложение 11а вытекает теперь из следствия 1 теоремы 1а.

Следствие 1. Пусть — аналитическая подгруппа группы и пусть I) — алгебра Ли группы И. Тогда нормализатор группы И в группе замкнут и его алгебра Ли состоит тех для которых

Следствие 2. Предположим, что группа связна. Для того чтобы аналитическая подгруппа группы была нормальным делителем группы необходимо и достаточно, чтобы ее алгебра Ли была идеалом алгебры

Действительно, для того чтобы нормализатором группы И была вся группа необходимо и достаточно, чтобы алгебра Ли этого нормализатора совпадала с алгеброй Ли группы

Предложение 15а. Пусть непрерывные представления группы Если связна, то коварианты представлений совпадают с ковариантами представлений

Это утверждение непосредственно вытекает из следствия 5 теоремы 1а и результатов

Следствие 1. Непрерывные представления связной группы эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны.

Это непосредственно вытекает из предложения 15а.

Следствие. 2. Пусть В — невырожденная билинейная форма над произведением пространств представлений группы Если группа связна, то и

взаимно контрагредиентны относительно В тогда и только тогда, когда взаимно контрагредиентны относительно В.

Это утверждение вытекает из предложения 15а, примененного к представлению к представлению, дуальному к и к отображению пространства V в пространство, дуальное к У, естественно соответствующему форме В.

Следствие 3. Пусть непрерывное представление группы пространство представления пространство пространства V, допустимое относительно представления Отображение, индуцированное представлением в фактор-пространстве непрерывно, и его дифференциал есть представление, индуцированное представлением в фактор-пространстве

Пусть базис пространства V, содержащий некоторый базис пространства Положим для

тогда непрерывные функции. Классы элементов образуютбазис пространства если представление, индуцированное представлением в фактор-пространстве то для имеем

Это показывает, что представление непрерывно. Для доказательства второго утверждения следствия 3 можно, очевидно, ограничиться случаем связной группы В этом случае утверждение вытекает из предложения 15а, примененного к естественному отображению пространства V на

Предложение 21а. Пусть непрерывное представление группы Тогда все простые представления, содержащиеся в представлении непрерывны. Если группа О связна, то дифференциалы этих простых представлений суть простые представления алгебры содержащиеся в

Это вытекает из предложения 15а и следствия 3 теоремы 1а.