13. Расширение основного поля

В этом п° мы будем предполагать, что -бесконечное поле, его надполе.

Если алгебра Ли над полем то, расширяя основное поле да поля мы получаем из алгебру Ли над полем (ср. том II, § 6 гл. I). Если представление алгебры то оно может быть продолжено, и притом единственным образом, в представление алгебры (том II, предложение 2 из гл. I).

Если алгебраическая группа над К, то расширением основного поля до мы получаем алгебраическую группу над полем (ср. том II, § 5 гл. II). Если алгебра Ли группы то алгебра Ли группы (том II, предложение 2 из § 8 гл. II). Всякое рациональное представление группы может быть продолжено, и притом единственным образом, в рациональное представление группы (том II, гл. II, § 5, предложение 4), и есть представление алгебры продолжающее (том II, § 9 гл. II).

Предложение 22. Пусть рациональное представление алгебраической группы над полем К, и пусть целое неотрицательное число. Тогда тензорная (соответственно симметрическая, внешняя) степень представления есть рациональное представление группы продолжающее тензорную (соответственно симметрическую, внешнюю) степень представления Представление, дуальное к продолжает представление, дуальное к

Пусть представление алгебры над полем К. Тогда тензорная (соответственно симметрическая, внешняя) сумма представления является представлением алгебры продолжающим тензорную (соответственно симметрическую, внешнюю) сумму представления Представление, дуальное к продолжает представление, дуальное к

Пусть V — пространство представления а -тензорная алгебра над Тензорную алгебру над можно отождествить с алгеброй получающейся из алгебры расширением основного поля до поля (ср. том II, § 6 гл. I). Для обозначим через автоморфизм алгебры продолжающий автоморфизм а через автоморфизм алгебры

продолжающий Очевидно, что -подкольцо кольца порожденное элементами поля К и элементами пространства Но автоморфизмы переводят элементы поля а значит и элементы поля К, в себя и индуцируют в пространстве V автоморфизм отсюда следует, что отображает алгебру в себя и продолжает Это показывает, что для каждого тензорная степень представления есть рациональное представление группы продолжающее тензорную степень представления Симметрические и внешние алгебры над пространством также отождествляются с алгебрами, получающимися из симметрических и внешних алгебр над пространством V после расширения основного поля до поля L (§ 6, гл. I, том II). Так же, как и выше, можно показать, что симметрическая и внешняя степень представления рациональные представления группы продолжающие соответственно симметрическую и внешнюю степени представления Пусть теперь V — пространство, дуальное к V, а пространство, дуальное к . В § 6 гл. I (том II) мы определили естественный изоморфизм пространства в пространство в случае конечномерного пространства V этот изоморфизм есть изоморфизм на все с помощью этого изоморфизма мы отождествим пространства и Если то один и тот же элемент поля К независимо от того, рассматриваем ли мы как элементы пространств или же как элементы и Пусть А — эндоморфизм пространства V, и пусть продолжающий его эндоморфизм пространства Тогда для

Отсюда следует, что эндоморфизм, сопряженный к эндоморфизму есть эндоморфизм пространства продолжающий эндоморфизм, сопряженный - к А. Из этого вытекает, что представление, дуальное к представлению группы есть рациональное представление, продолжающее представление, дуальное к

Утверждения относительно представлений алгебр Ли доказываются аналогичным образом.

Предложение 23. Пусть рациональные представления алгебраической группы над полем К. Декартово (соответственно тензорное) произведение

представлений продолжает декартово (соответственно тензорное) произведение представлений

Пусть представления алгебры над полем К. Декартова (соответственно тензорная) сумма представлений продолжает декартову (соответственно тензорную) сумму представлений

Утверждения относительно декартовых произведений (или сумм) очевидны. Из них и из предложения 22 вытекают утверждения о тензорных произведениях (или суммах).

Предложение 24. Пусть рациональное представление алгебраической группы над полем К (соответственно представление алгебры Ли над полем К), и пусть подпространство пространства представления допустимое относительно Тогда пространство допустимо относительно представления Ограничения представления на пространство и представление, индуцированное представлением в фактор-пространстве продолжают соответственно ограничение представления на и представление, индуцированное в фактор-пространстве

Это утверждение непосредственно выводится из результатов § 6 гл. I (том II).

Следствие. Если представление простое, то и представление простое.

Это непосредственно следует из предложения 24.

Напротив, если представление простое, то отсюда, вообще говоря, нельзя еще заключить, что представление простое. Отметим, тем не менее, что если основное поле К совершенно, то из теоремы 6 § 8 гл. I (том II) следует, что для того, чтобы представление было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы представление было полупростым.

Предложение 25. Пусть рациональное представление (соответственно представление) алгебраической группы О (соответственно алгебры Ли над полем К. Тогда инварианты (соответственно гармонические элементы относительно) представления суть линейные комбинации с коэффициентами из поля инвариантов (соответственно гармонических элементов относительно) представления

Из предложения 22 следует, что представления, сопровождающие являются продолжениями представлений,

сопровождающих Поэтому достаточно рассмотреть инвариантные или гармонические элементы, содержащиеся в пространстве где V — пространство представления Пусть базис поля над полем тогда каждый элемент записывается в виде только конечное число элементов отлично от нуля. Если представление группы и если то

Следовательно, если инвариант, то для всех так что все — инварианты представления Аналогично если представление алгебры Ли то для всех имеем

Следовательно, если гармонический элемент, то для всех гармонические элементы относительно представления

Следствие. Пусть рациональные представления (соответственно представления) алгебраической группы (соответственно алгебры Ли) над полем К. Тогда коварианты представлений и являются линейными комбинациями с коэффициентами из ковариантов представлений

Пусть пространства представлений и пусть V — пространство, дуальное к Мы отождествили пространство линейных отображений пространства V в пространство V с пространством Равным образом пространство линейных отображений в отождествляется -пространством где пространство, дуальное причем может быть отождествлено с Пространство отождествляется также с пространством, получающимся из расширением основного поля, и легко видеть, что отождествление и согласовано с отождествлением и Пусть представления, дуальные к Представление [соответственно ] совпадает с [соответственно с ] в силу предложений 22 и 23. Следствие вытекает теперь из предложения 25 и из выводов п° 10,

Предложение 26. Пусть рациональные представления (соответственно представления) алгебраической группы (соответственно алгебры Ли) над полем К. Представления эквивалентна тогда и только тогда, когда эквивалентны представления

Для того чтобы два представления были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы существовал ковариант этих двух представлений, являющийся взаимно однозначным отображением одного пространства на другое. Пусть пространства представлений и каждое линейное отображение пространства продолжается, и притом единственным образом, в линейное отображение пространства в если - ковариант представлений то ковариант представлений если -изоморфизм V на то изоморфизм на Это показывает, что условие предложения необходимо. Пусть теперь базис пространства ковариантов представлений и из следствия предложения 25 вытекает, что образуют базис пространства ковариантов представлений и Предположим, что эквивалентны; тогда существует ковариант этих двух представлений, являющийся изоморфизмом на Отсюда, во-первых, вытекает» что пространства одинаковой размерности. Пусть базисы пространств если элементы поля то определитель матрицы, представляющей линейное отображение в базисах может быть представлен в виде полинома от Этот полином не равен тождественно нулю, так как если

Так как К — бесконечное поле, то найдутся элементы а поля К, для которых Если теперь положить то ковариант представлений и изоморфизм пространства V на V, что и показывает, что эквивалентны.

Предложение 27. Пусть рациональные представления, (соответственно представления) алгебраической

группы G (соответственно алгебры Ли ) над полем К, и пусть В — невырожденная билинейная форма над произведением пространств представлений Для того чтобы были взаимно контрагредиентны относительно необходимо и достаточно, чтобы и были контрагредиентны относительно билинейной формы над продолжающей форму В.

Нам известно, что форма невырождена (том II, предложение 1 из § 6 гл. I). Пусть V — пространство, дуальное к Очевидно, что линейное отображение естественно соответствующее форме есть отображение которое продолжает линейное отображение пространства естественно соответствующее форме В. Для того чтобы (соответственно и были контрагредиентны относительно необходимо и достаточно, чтобы (соответственно было ковариантом представлений [соответственно где представления, дуальные к и ясно, что ковариант представлений тогда и только тогда, когда ковариант представлений и

Предложение 28. Пусть представление алгебры Ли над полем К, и пусть подмножество пространства V представления Пусть подалгебра алгебры состоящая из тех для которых при всех Тогда множество всех для которых при всех совпадает с алгеброй

Совершенно ясно, что множество, о котором идет речь, содержит Пусть, с другой стороны, X — какой-нибудь элемент этого множества. Если -базис поля над К (I— некоторое множество индексов), то можно написать

где элементы алгебры среди которых только конечное число Если то

и элементы принадлежат пространству все они равны нулю, так что все принадлежат алгебре алгебре

Предложение 29. Предположим, что К — поле характеристики 0. Пусть рациональное представление алгебраической группы над полем подмножество пространства V представления (соответственно Н) - группа элементов из G (соответственно из таких, что [соответственно ] для всех Тогда алгебраическая компонента единицы группы получается из алгебраической компоненты единицы группы при расширении основного поля до поля

Пусть алгебра Ли группы Тогда алгебра Ли 1) (соответственно группы (соответственно есть множество всех (соответственно таких, что [соответственно для всех (следствие 2 теоремы 1, п° 9). Из предложения 28 следует, что Но если алгебраическая компонента единицы группы то алгебра Ли группы Но есть и группа неприводима (том II, теорема 3 из § 5 гл. II). Так как имеют одну и ту же алгебру Ли, то алгебраическая компонента единицы группы (том II, гл. II, § 12, следствие 1 теоремы 8).

Замечание. Из предложения 29 легко усмотреть, что нормальный делитель конечного индекса в группе Но не следует думать, что всегда Действительно, возьмем в качестве основного поля К поле вещественных чисел, и пусть V — векторное пространство размерности 1 над . В качестве возьмем группу в качестве третью симметрическую степень отображения, дуального тождественному отображению на Пусть -элемент базиса пространства тогда -труппа тех элементов из для которых полиномиальная функция над пространством V является инвариантом; эта группа сводится к единичному элементу. Возьмем теперь в качестве поле комплексных чисел. Тогда группа состоит из трех операторов из переводящих где пробегает кубические корни из единицы. Мы видим, что группы различны.