8. Полярные формы

Пусть V — конечномерное векторное пространство, V — дуальное к нему пространство, тензорные алгебры соответственно над целое число пространства однородных элементов степени в Пусть В — естественная билинейная форма на тогда естественное продолжение С формы В на невырожденная билинейная форма. Так как пространства конечномерны, то эта билинейная форма определяет естественный изоморфизм пространства на пространство, дуальное к Но, с другой стороны, всякая линейная форма на определяет полилинейную форму над декартовым произведением пространств, изоморфных V, и обратно; таким образом, мы имеем естественный изоморфизм пространства на пространство - линейных форм над Если элементы из линейные функции на V, то имеем

Наш изоморфизм относит, как мы видим, элементу пространства - линейную функцию

на с помощью этого изоморфизма мы будем впредь отождествлять пространства Пусть пространство симметрических элементов из после отождествления эти элементы совпадают с линейными симметрическими формами, т. е. с такими формами, значение которых не изменяется при любой перестановке аргументов. Обозначим через симметрическую алгебру над пространством через естественное отображение на а через пространство однородных элементов степени алгебры 5. Предполагая основное поле бесконечным, получаем, что алгебра совпадает с алгеброй

полиномиальных функций над Пусть теперь мультилинейная форма на покажем, что полиномиальная функция есть отображение

В этом достаточно убедиться в случае, когда функция имеет вид

Но совпадает с тождественным отображением на и так как, кроме того, гомоморфизм, то

где произведение в правой части взято в алгебре 5; отсюда следует наше утверждение. Предположим теперь, что характеристика основного поля равна нулю. Тогда, как мы знаем, гомоморфизм индуцирует изоморфизм пространства пространство Отсюда следует, что для каждой однородной полиномиальной функции степени на V существует одна и только одна симметрическая полилинейная форма на такая, что при всех Функция называется полярной формой функции Например, для функцию можно определить формулой

Предположим теперь, что V — пространство какого-то представления некоторой группы О (или же алгебры Ли ). Обозначим через дуальное представление, а через тензорную степень (соответственно тензорную сумму) представления пространство следовательно, совпадает с Пусть есть линейная функция на, Если представление группы и если то преобразует в функцию

Если представление алгебры Ли и если переводит функцию в функцию

где мы положили при

Обозначим теперь через симметрическую степень (соответственно симметрическую сумму) представления Если представление группы О и если то ограничение на автоморфизма алгебры 5, продолжающего Отсюда следует, что если то образом функции при является функция

Если представление алгебры Ли и если то есть ограничение на деривации алгебры продолжающей Отсюда вытекает, что для образ элемента при отображении есть функция

Таким образом, мы получили следующий результат:

Предложение 10. Пусть рациональное представление алгебраической группы пространство этого представления, неотрицательное целое число и пространство однородных полиномиальных функций степени над Для пусть автоморфизм пространства относящий каждой функции этого пространства функцию

Тогда рациональное представление группы и если эндоморфизм X принадлежит алгебре Ли этой группы, то относит каждой функции функцию