§ 5. Алгебраические полупростые группы

Определение 1. Алгебраическая группа над полем характеристики называется полупростой (соответственно редуктивной), если ее алгебра Ли полупростая (соответственно редуктивная).

Если полупростая алгебраическая неприводимая группа, то из теоремы Вейля и из следствия 4 теоремы 1 гл. III, п° 9, непосредственно вытекает, что все рациональные представления группы полупростые. Мы покажем, что это утверждение остается верным, если не предполагать, что неприводима. Докажем для этого следующее утверждение:

Предложение 1. Пусть группа, представление конечной степени группы над полем характеристики нормальный делитель группы ограничение представления на Если представление полупростое, то тем же свойством обладает и представление Если, кроме того, предположить, что конечная группа, и если известно, что представление полупростое, то отсюда следует, что и представление полупростое.

Пусть V — пространство представления Тогда группа подгруппа группы нормальный делитель группы Кроме того, если конечная группа, то тем же свойством обладает и группа Это показывает, что можно ограничиться рассмотрением случая, когда подгруппа группы и тождественное отображение группы в В дальнейшем мы будем предполагать, что мы рассматриваем именно этот случай.

Предположим сначала, что представление полупростое. Тогда эквивалентно декартову произведению некоторого числа простых представлений Если обозначить через ограничение на то эквивалентно декартову произведению представлений если эти последние полупросты, то, очевидно, и будет полупростым. Итак, мы видим, что можно все свести к рассмотрению того случая, когда, кроме уже сделанных предположений, выполняется условие, что представление простое. Так как пространство

V — конечной размерности не равной 0, то в V всегда можно найти подпространство минимальное среди отличных от подпространств, допустимых относительно тогда ограничение на простое представление. Если то пространство

допустимо относительно так как для имеем принадлежит к так что Кроме того, отображение есть изоморфизм пространства на Если подпространство пространства допустимое относительно то подпространство пространства как и выше, мы убеждаемся, что оно допустимо относительно отсюда вытекает, что совпадает или с или с что ограничение представления на просто. Пространство

очевидно, отображается в себя операторами из и оно отлично от так как просто, то Таким образом, пространство V представимо в виде суммы подпространств, допустимых относительно в которых индуцируются простые представления группы отсюда следует, что представление полупростое (том II, теорема 5 из § 8 гл. I).

Предположим теперь, что группа конечна и что представление полупростое. Мы покажем, что для доказательства полупростоты можно ограничиться случаем, когда неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства Заметим сначала, что если какая-нибудь группа автоморфизмов пространства наименьшая алгебраическая группа, содержащая то одни и те же подпространства допустимы как относительно операторов группы так и относительно операторов группы это следует из того, что совокупность всех автоморфизмов, отображающих в себя некоторое подпространство пространства V, является алгебраической группой, и из того, что пересечение алгебраических групп — всегда алгебраическая группа. Итак, пусть наименьшая алгебраическая группа, содержащая тогда тождественное отображение группы полупростое. Покажем, что нормальный делитель конечного индекса группы порожденной Если то отображение группы на себя переводит группу в себя, а всякую алгебраическую группу — опять в алгебраическую группу. Следовательно, это показывает, что группа, порождаемая есть (множество произведений элементов из на элементы из и содержит в качестве нормального

делителя; группа изоморфна а группа содержит так что группа конечна. В силу предложения 3 § 3 гл. II (том II), отсюда вытекает, что алгебраическая группа; это, очевидно, наименьшая алгебраическая группа, содержащая группу Таким образом, для того чтобы доказать полупростоту представления достаточно убедиться в том, что тождественное отображение в полупростое представление. Пусть алгебраическая компонента единицы группы будучи группой конечного индекса в следовательно, в является также алгебраической компонентой единицы группы Кроме того, из первого утверждения предложения 1 вытекает, что тождественное отображение группы в полупростое представление. Это показывает, что можно ограничиться случаем, когда неприводимая алгебраическая группа. Предположим, что это так. Мы сейчас покажем, что для всякого внешняя степень представления есть полупростое представление. Используя следствие 4 теоремы 1 гл. III, п° 9, мы видим, что достаточно показать, что дифференциал представления полупрост. Но есть внешняя сумма представления алгебры Ли группы полупросто (следствие 4 теоремы 1 гл. III, п° 9); тогда и представление полупростое, в силу следствия 1 предложения 4 § 4.

Обозначим через некоторое подпространство в V, допустимое относительно Пусть буквы имеют тот же смысл, что и в лемме 3 § 3. Если то есть ограничение на автоморфизма алгебры продолжающего Так как 5 отображает пространство в себя, то где определитель ограничения 5 на Отображение есть гомоморфизм группы в мультипликативную группу К отличных от элементов из кроме того, очевидно, — рациональная функция на Установим теперь следующую лемму, являющуюся обобщением утверждения о представлениях групп, аналогичного предложению 2 § 4:

Лемма 1. Пусть груша автоморфизмов конечномерного векторного пространства над некоторым полем К, и пусть у — гомоморфизм группы в мультипликативную группу К отличных от элементов из Предположим, что

тождественное отображение группы в полупростое представление. Тогда пространство прямая сумма пространства тех для которых при всех и векторного пространства порожденного элементами вида для всех Если подгруппа группы содержащая в качестве нормального делителя, и если можно продолжить в гомоморфизм у группы в К, то пространства допустимы относительно операторов из

Мы установим сперва второе утверждение. Пусть элемент из элемент из элемент из Тогда

поскольку Так как группа К абелева, то - так:что . Пусть теперь имеем

что можно также записать в виде

показывающем, что этот элемент принадлежит В частности, пространства отображаются в себя операторами из Из наших предположений следует, что имеют место прямые разложения

где подпространства пространства отображаемые в себя операторами из Пусть элемент из если то элемент находится в (так как ), а также в в силу определения этого пространства; значит, этот элемент равен нулю, откуда а это показывает, что Пусть элемент из и пусть

так что элемент принадлежит значит,

Но имеет место равенство

Поэтому из включений вытекает, что и лемма 1 доказана,

После этого отступления вернемся к доказательству предложения 1. Лемму 1 мы применим к случаю Тогда видно, что -прямая сумма пространства тех элементов для которых при всех и пространства порожденного элементами для кроме того, пространства допустимы относительно Пусть представление, получающееся из представления группы ограничением на покажем, что полупростое представление. Положим для

тогда — представление группы ядро которого содержит Если то зависит только от класса 5 элемента Положим тогда представление конечной группы Но, как известно, всякое представление конечной степени над полем характеристики конечной группы есть полупростое представление (ср. Ван дер Варден, Современная алгебра, том II, § 125); итак, полупростое представление, и тем же свойством, очевидно, обладает Но подпространства пространства допустимые относительно допустимы также относительно и наоборот; поэтому полупростое представление.

Из определения следует, что принадлежит и что одномерное пространство, порожденное допустимо относительно и тем самым относительно Итак, пространство прямая сумма пространства, порожденного элементом и некоторого пространства допустимого относительно а следовательно, и относительно Положим тогда прямая сумма пространства, порожденного элементом и пространства и допустимо относительно

Используя лемму 3 § 3, сопоставим пространству подпространство пространства V так, чтобы V разлагалось в прямую сумму пространств Мы сейчас покажем, что допустимо относительно Пусть у — элемент из нам нужно показать, что для каждого элемент и принадлежит пространству Пусть автоморфизм пространства продолжающий Так как то и можно положить где и откуда Так как то откуда поскольку допустимо относительно и

покольку ограничение на Итак, пространство опустимо относительно представления существование этого пространства доказывает предложение 1.

Теорема За. Всякое рациональное представление алгебраической полупростой группы есть полупростое представление.

Пусть алгебраическая компонента единицы в полупростой алгебраической группе Так как представления алгебры Ли группы полупросты, то тем же свойством обладают рациональные представления группы (следствие 4 теоремы 1 гл. III, п° 9); поэтому, в силу предложения 1, и рациональные представления группы полупросты.

Теорема 3 6. Пусть группа Ли, алгебра Ли которой полупроста и которая обладает только конечным числом связных компонент. Тогда всякое непрерывное представление конечной степени группы над полем вещественных или комплексных чисел полупросто.

Предложение 1 показывает, что можно ограничиться случаем, когда группа связна. Непрерывные представления конечных степеней группы над полем вещественных чисел полупросты, в силу следствия 4 теоремы 1а гл. III, п° 15. Пусть теперь непрерывное представление конечной степени группы над полем комплексных чисел, и пусть V — пространство Обозначим через векторное пространство над полем вещественных чисел, получаемое из V ограничением основного поля до Всякий автоморфизм пространства V является также автоморфизмом пространства и представление определяет непрерывное представление конечной степени группы над полем вещественных чисел; мы знаем, что это последнее представление — полупростое. Обозначим теперь через векторное пространство над полем С комплексных чисел, получаемое из расширением основного поля до С [если V — пространство размерности то размерность пространства равна Всякий автоморфизм пространства продолжается одним и только одним способом в автоморфизм пространства для обозначим через автоморфизм пространства продолжающий ; ясно, что отображение есть представление группы над полем С. В силу теоремы 6 из § 8 гл. I (том II), это

представление полупростое. Пусть - базис пространства если мы положим где произведение элемента на в векторном пространстве V, то элементы образуют базис пространства а значит, и пространства Существует линейное отображение пространства на V, переводящее Пусть А — эндоморфизм пространства обозначим через эндоморфизм пространства продолжающий эндоморфизм пространства к Тогда ясно, что в частности, для имеем

Отсюда следует, что ядро отображения допустимо относительно и что эквивалентно представлению, индуцированному в фактор-пространстве Таким образом, представление полупростое.

Замечание. Приведенное нами рассуждение устанавливает следующий результат: пусть какое угодно представление конечной степени некоторой группы над полем пространство векторное пространство, получаемое из V ограничением основного поля до пусть представление группы над полем возникающее из представления если его рассматривать как гомоморфизм группы Если представление полупростое, то тем же свойством обладает

Теорема 4а. Пусть рациональное представление неприводимой алгебраической редуктивной группы Для того чтобы представление было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы для каждого элемента из центра группы оператор был полупростым автоморфизмом пространства представления

Необходимость условия вытекает из леммы 1 § 4. Обозначим через алгебраическую компоненту единицы в группе алгебраическая группа в силу предложения 12 гл. III, п° 9) и предположим, что все элементы из полупростые. Тогда из следствия предложения 2 § 8 гл. I (том II) вытекает, что индуцирует полупростое представление группы Но алгебра Ли группы является центром алгебры Ли группы (следствие 2 предложения 12 гл. III, п° 9); таким образом, индуцирует полупростое представление алгебры (следствие 4

теоремы 1 гл. III, п° 9). Отсюда мы заключаем, что представление полупростое (следствие 2 теоремы 4 § 4), так что и представление? полупростое (следствие теоремы 1 гл.

Теорема 4 6. Пусть связная группа Ли, алгебра Ли которой редуктивна. Для того чтобы непрерывное представление конечной степени группы над полем вещественных или комплексных чисел было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы для всякого элемента центра группы оператор был полупростым автоморфизмом пространства представления

Необходимость условия вытекает из леммы 1 § 4. Предположим теперь, что условие выполнено. Пусть связная компонента единицы в центре группы тогда индуцирует полупростое представление группы (том II, следствие предложения 2 § 8 гл. I). Предположим сначала, что представление группы над полем вещественных чисел; тогда индуцирует полупростое представление алгебры Ли группы (следствие 4 теоремы 1а гл. III, п° 15). Но -центр алгебры Ли группы (том I, предложение 3 из гл. IV); таким образом, представление полупростое (следствие 2 теоремы 4 § 4) и тем же свойством обладает (следствие 4 теоремы 1а гл. III, п° 15). Предположим теперь, что представление над полем комплексных чисел. Пусть V — пространство этого представления, и пусть векторное пространство, получаемое из V ограничением основного поля до поля Покажем, что всякий полупростой эндоморфизм А пространства К остается полупростым, если его рассматривать как эндоморфизм пространства По предположению, существует полином с комплексными коэффициентами, который взаимно прост со своей производной и для которого (том II, предложение 5 из § 8 гл. I). Пусть -полином, получаемый из заменой коэффициентов комплексно сопряженными, и пусть наименьшее общее кратное полиномов Имеем и если предположить, что коэффициент при старшем члене в равен 1, то полином с вещественными коэффициентами. Ясно, что все корни полинома в поле комплексных чисел просты; таким образом, А — полупростой эндоморфизм пространства (предложение 5 из § 8 гл. I). Пусть представление группы получаемое, если рассматривать как отображение группы в если элемент центра группы то согласно только что доказанному

полупростой автоморфизм. Итак, представление полупростое, а это доказывает полупростоту представления (ср. замечание после доказательства теоремы 36).

Предложение 2. Пусть полупростые представления конечной степени некоторой группы над одним и тем же полем характеристики 0. Тогда декартово и тензорное произведения представлений также будут полупростыми представлениями.

Рассуждая, как в доказательстве предложения 4 § 4, легко установить следующее: декартово произведение представлений полупросто, и для доказательства полупростоты их тензорного произведения достаточно показать, что если полупростое представление конечной степени группы целое неотрицательное число, то тензорная степень представления также полупростое представление. Пусть V — пространство представления можно положить где есть тензорная степень представления группы определенная тождественным отображением этой группы в Таким образом, можно ограничиться случаем, когда О — подгруппа группы тождественное отображение О в Пусть тогда О — наименьшая алгебраическая группа, содержащая группу О. Обозначим через тензорную степень тождественного представления группы на себя; тогда есть ограничение на через мы обозначим ограничение на Пусть пространство представления если подпространство пространства то совокупность автоморфизмов пространства отображающих в себя, образует алгебраическую подгруппу группы С другой стороны, -рациональное представление, откуда следует, что множество всех таких, что отображает пространство в себя, образует алгебраическую группу Ни. Если допустимо относительно то Ни содержит а следовательно, и таким образом, подпространства пространства допустимые относительно представления группы О и относительно представления группы О, — одни и те же. Применяя этот промежуточный результат к случаю мы видим, что тождественное отображение группы есть полупростое представление. Мы видим, что при доказательстве полупростоты представления можно ограничиться случаем, когда группа О — алгебраическая. Пусть тогда - алгебраическая компонента единицы группы так как группа

конечна, то достаточно показать, что ограничение представления на полупросто (предложение 1). Кроме того, из упомянутого предложения следует, что тождественное отображение группы в есть полупростое представление. Итак, можно ограничиться рассмотрением неприводимой алгебраической группы Пусть тогда алгебра Ли этой группы. Из следствия 4 теоремы 1 гл. III, п° 9, вытекает, что тождественное отображение алгебры есть полупростое представление. Дифференциал представления есть тензорная сумма представления (предложение 4 гл. III, п° 4) и, следовательно, полупростое представление (предложение 4 § 4). Из следствия 4 теоремы 1 гл. III, п° 9, вытекает, что представление полупростое.

Следствие 1. Пусть полупростое представление конечной степени некоторой группы над полем характеристики 0. Тогда все представления, сопровождающие также полупростые.

Доказательство аналогично доказательству следствия 1 предложения 4 § 4.

Следствие 2. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем характеристики и пространство эндоморфизмов пространства Пусть подгруппа группы такая, что тождественное отображение группы есть полупростое представление Тогда представление группы сопоставляющее всякому автоморфизм пространства полупросто.

Действительно, это представление эквивалентно представлению где представление, дуальное и следствие 2 вытекает из предложения 2 и следствия 1.

Следствие 3. При обозначениях следствия 2 пусть полупростой элемент из Тогда автоморфизм пространства полупростой.

Достаточно применить следствие 2 к случаю циклической группы, порожденной элементом 5.