4. Алгебры Ли, состоящие из нильпотентных эндоморфизмов

В этом обозначает конечномерное векторное пространство над полем К характеристики 0.

Напомним, что если X — нильпотентный эндоморфизм пространства V, то ему можно сопоставить автоморфизм пространства V: если тождественный автоморфизм пространства показатель, для которого то

Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Полиномиальными функциями на мы называем ограничения на полиномиальных функций над пространством эндоморфизмов пространства полиномиальные функции на группе образуют кольцо, которое мы обозначаем через

Предложение 14. Пусть алгебра Ли, состоящая из всех нильпотентных эндоморфизмов пространства Тогда алгебраическая алгебра; пусть неприводимая алгебраическая группа, для которой алгебра Ли. Если I — тождественный автоморфизм пространства V и если какой угодно элемент из то эндоморфизм нильпотентен. Пусть базис алгебры каждый элемент из может быть записан, и притом единственным образом, в виде Функции принадлежат кольцу полиномиальных функций на они алгебраически независимы относительно поля

Если то элементы вида образуют алгебраическую группу, алгебра Ли которой есть одномерное пространство, порожденное, элементом X (предложение 1 из § 13 гл. II, том II); с помощью предложения 2

из § 14 гл. II (том II) можно убедиться сначала в том, что всякая реплика эндоморфизма X имеет форму и затем в том, что алгебраическая алгебра. Тождественное отображение в является представлением алгебры пусть ряд Жордана — Гёльдера пространства V, рассматриваемого как пространство представления Так как все простые представления, содержащиеся в являются нулевыми представлениями (следствие 2 теоремы Энгеля, § 1 гл. IV), то всякий элемент X из отображает в

Используя теорему 1 из гл. III, п° 9, мы видим, что группа G, крторая неприводима, содержится в группе автоморфизмов 5 пространства V, обладающих следующим свойством: если любой индекс между то

Отсюда непосредственно следует, что для элемент нильпотентен; более точно, Положим

тогда и порождает алгебру Ли наименьшей алгебраической группы, содержащей 5 (том II, предложение 5 из § 14 гл. II). Отсюда сразу вытекает, что Кроме того, единственный нильпотентный эндоморфизм X пространства V, для которого Действительно, предположим, что тогда

для всех целых неотрицательных Но если представить эндоморфизм матрицей относительно некоторого базиса пространства V, то коэффициенты этой матрицы будут полиномами от Эти полиномы равны нулю для всех целых неотрицательных чисел и потому равны нулю тождественно. Таким образом,

для всех так что Но элементы вида [соответственно для образуют алгебраическую группу, алгебра Ли которой порождается элементом X [соответственно элементом отсюда следует, что где а — скаляр. Покажем, что , если

Действительно, существует вектор пространства V, такой, что

но

отсюда следует, что элементы х и у линейно независимы. Имеем

откуда Из выражения для данного выше, вытекает, что если мы положим

то коэффициенты будут принадлежать Обратно, формула показывает, что коэффициенты матрицы, представляющей элемент в некотором базисе пространства выражаются полиномами от таким образом,

Степень трансцендентности поля отношений кольца равна размерности группы т. е. равна размерности алгебры отсюда следует, что алгебраически независимы.

Замечание. Мы установили, что если то единственный нильпотентный эндоморфизм X пространства V (принадлежащий или не принадлежащий алгебре для которого

Следствие 1. При тех же обозначениях, что и в предложении 14, всякая алгебраическая подгруппа группы неприводима.

Пусть алгебраическая компонента единицы группы алгебра Ли группы и — элемент группы Так как группа конечна, то существует целое число такое, что Можно положить где и но мы также имеем откуда значит, что и показывает, что

Следствие 2. Сохраняя обозначения предложения 14, предположим дополнительно, что -поле вещественных чисел (соответственно поле С комплексных чисел). Тогда

группа замкнута, связна, односвязна и гомеоморфна пространству (соответственно ). Центр группы связная группа.

Так как центр группы алгебраическая группа, то второе утверждение вытекает из первого и из следствия 1. Чтобы доказать первое утверждение, заметим, что отображение

есть гомеоморфизм на (соответственно как это сразу следует из предложения 14; итак, группа связна и односвязна. Если то тогда и только тогда, когда (где и эндоморфизм

принадлежит алгебре Действительно, предположим, что эти условия выполнены; тогда в силу предложения 5 § 14 гл. II (том II), откуда Но отображения группы в пространство эндоморфизмов пространства V непрерывны; как подпространство пространства замкнуто в 6; отсюда следует, что группа замкнута.

Предложение 15. При таких же обозначениях, как в предложении 14, пусть, кроме того, представление алгебры такое, что все элементы из нильпотентны. Тогда дифференциал некоторого рационального представления группы для имеем

алгебраическая группа.

Пусть пространство представления Напомним, что если эндоморфизмы соответственно пространств то через обозначается эндоморфизм пространства Для положим

тогда представление алгебры над пространством и все элементы из нильпотентны. Каждое записывается, и притом единственным образом, в виде где положим Отображение группы на алгебру рационально; отображение

линейно, а отображение алгебры в пространство эндоморфизмов пространства рационально. Таким образом, рациональное отображение группы в пространство эндоморфизмов пространства Алгебра является алгеброй Ли некоторой алгебраической подгруппы группы причем состоит из операторов вида следовательно, рациональное отображение Покажем, что оно является представлением. Отождествим, как обычно, с подпространствами их произведения Ясно, что если отображает каждое из пространств в себя, и что ограничения этого отображения на суть соответственно Отсюда следует, что элементы отображают пространства в себя. Кроме того, единственный элемент из оставляющий все элементы из V на месте, есть единица группы Действительно, если оставляет все элементы V на месте, то тождественный автоморфизм пространства V, откуда (предложение 14) и, следовательно, Так как - группа, то из этого вытекает, что два элемента из имеющие одно и то же ограничение на V, совпадают. Если - элемент из то ограничение элемента на V есть Пусть элементы из тогда ограничения и на V равны следовательно, эти элементы созпадают. Это показывает, что представление. Пусть ограничение на тогда ясно, что рациональное представление группы Пусть X — элемент из так как для всякого ограничение элемента на V есть то ясно, что ограничение оператора на V есть Так как принадлежит алгебре Ли группы то и ограничение элемента на есть отсюда следует, что Как нам уже известно,

для всех Алгебра является алгеброй Ли алгебраической группы состоящей из элементов вида Таким образом, это показывает, что алгебраическая группа.

Предложение 16. При обозначениях предложения 14 пусть какое-нибудь рациональное представление группы Тогда элементы алгебры нильпотентны.

Пусть X — элемент из Введем кольцо формальных рядов от переменной с коэффициентами из поля К, поле отношений кольца и подполе поля состоящее из рациональных функций от Пусть и группы, получаемые из расширениями основного поля К соответственно до Тогда может быть продолжено в рациональные представления и групп и и ясно, что является продолжением Так как эндоморфизм X нильпотентен, то принадлежит группе С другой стороны, если то

(том II, теорема 9 из § 12 гл. II). Пусть пространство представления Так как то принадлежит где пространство, получаемое из расширением основного поля до Таким образом,

Отсюда мы сможем заключить, что нильпотентный эндоморфизм. Выберем базис В в пространстве он будет также базисом в пространствах и и пусть матрица, представляющая в базисе В. Тогда коэффициенты принадлежат и кольцу и полю Если коэффициент при Тк в формальном ряде любое целое число то матрицей, представляющей в базисе будет Поэтому достаточно показать, что полиномы. Пусть оператор дифференцирования по в если пространство эндоморфизмов пространства а следовательно, аналогичное пространство для то оператору мы сопоставим деривацию ассоциативной алгебры пусть базис в тогда

кроме того,

(ср. том II, § 11 гл. II). Ясно, что матрица, представляющая в базисе будет матрицей Следовательно, выражаются линейными комбинациями с постоянными коэффициентами элементов Предположим теперь на время, что не все рациональные функции

полиномы. Тогда существует алгебраическое расширение К поля К, в котором по крайней мере один из этих элементов имеет полюс, скажем, в Предположим, что все или не имеют полюса в или же имеют полюсы порядка а одна из этих функций, например имеет в полюс порядка Так как то производная имеет в точке полюс порядка и мы пришли к противоречию, так как эта функция — линейная комбинация с постоянными коэффициентами функций Предложение 16 доказано.

Замечание. Если - поле вещественных (или комплексных) чисел, то, вообще говоря, существуют непрерывные представления группы такие, что не все элементы из нильпотентны; такие представления не являются рациональными.

Предложение 17. При обозначениях предложения 14 существует базис алгебры со следующим свойством: если то элементы с индексами образуют базис подалгебры алгебры и для идеал Если это условие выполнено, то всякий элемент из записывается, и притом единственным образом, в виде

Функции принадлежат

Пусть ряд Жордана — Гёльдера алгебры рассматриваемой как пространство своего присоединенного представления. Тогда пространства идеалы алгебры Из теоремы Энгеля (§ 1 гл. IV) и из следствия 2 этой теоремы вытекает, что размерность равна — так что Для пусть элемент из не принадлежащий алгебра порождается (как векторное пространство) пространством и элементом и совокупность образует базис в с требуемыми свойствами. Доказательство других утверждений предложения 17 мы проведем с помощью индукции по размерности алгебры Для доказывать нечего; предположим, что и что предложение 17 верно для алгебр размерности Пусть неприводимая алгебраическая подгруппа группы G,

алгебра Ли которой есть эта подгруппа — нормальный делитель группы G (следствие 2 предложения 11 из гл. III, п° 9). Следовательно, существует рациональное представление группы с ядром G (предложение 11). Тогда ядром представления является теорема 12 из § 14 гл. II). Из предложений 15 и 16 вытекает, что алгебраическая группа и что

( элементы из К); этот элемент также равен Таким образом,

где Кроме того, если элемент, для которого

при то элемент принадлежит группе и, следовательно, может быть представлен в виде Из предложения 14 видно, что это возможно только в случае Таким образом, всякий элемент записывается одним и только одним способом в виде их где Кроме того, если то их и из предложения 14 следует, что функция принадлежит Размерность алгебры равна ; поэтому из предположения индукции следует, что всякий элемент записывается, и притом только одним способом, в виде

где Для положим

Так как функция принадлежит по, что коэффициенты матрицы, представляющей в некотором базисе пространства V, являются

значениями в точке полиномиальных функций на Из того, что функции принадлежат мы заключаем, что функции принадлежат Если — такие элементы поля что

то

отсюда вытекает прежде всего, что затем — что

откуда для Наконец, ясно, что коэффициенты матрицы, представляющей в некотором базисе пространства V, выражаются полиномами от если определить функции как в формулировке предложения 17, то отсюда следует, что

откуда

Замечание 1. Точно так же можно установить, что каждый элемент записывается, и притом только одним способом, в виде

с что все функции при этом принадлежат и что

Кроме того, так как степень трансцендентности поля отношений кольца относительно К равна размерности группы то элементы алгебраически независимы, так же как и

Замечание 2. Если идеалы в причем то существует ряд Жордана — Гёльдера алгебры содержащий идеалы Это показывает, что существует базис алгебры обладающий свойством, сформулированным в предложении 17, и такой, что для каждого содержит базис идеала образованный

последними элементами последовательности где Можно доказать, что это утверждение остается справедливым при более слабом предположении, что — подалгебры алгебры