5. Разрешимые алгебраические алгебры Ли

Через V мы обозначаем конечномерное векторное пространство над полем К характеристики 0.

Предложение 18. Пусть разрешимая подалгебра алгебры Тогда наименьшая алгебраическая алгебра содержащая также разрешима.

Производная алгебра алгебры совпадает с производной алгеброй от (том II, теорема 13 из § 14 гл. II); отсюда следует, что идеал алгебры и что фактор-алгебра абелева. Тогда из предложения 6 § 1 получаем, что алгебра разрешима.

Предложение 19. Для того чтобы подалгебра алгебры была алгебраической, необходимо и достаточно, чтобы ее радикал был алгебраической алгеброй.

Предположим сначала, что алгебраическая алгебра, и пусть — наименьшая алгебраическая подалгебра в содержащая Тогда и алгебра разрешима (предложение 18). Пусть множество тех для которых при всех следовательно, алгебраическая подалгебра в (том II, следствие теоремы 12 из § 14 гл. II). Так как идеал в то откуда следовательно, это показывает, что идеал алгебры Так как разрешимый идеал в то так что и тем самым алгебраическая алгебра.

Предположим теперь, что алгебраическая алгебра, и пусть наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая Обозначим через неприводимую алгебраическую группу, алгеброй Ли которой служит а через неприводимую алгебраическую группу, алгебра Ли которой есть Известно, что идеал (том II, теорема 13 из § 14 гл. II); отсюда следует, что нормальный делитель группы (следствие 2 предложения 11 из гл. III, п° 9). Поэтому существует рациональное представление группы с ядром (предложение 11). Ядро представления это (том II, теорема 12 из § 14

гл. II), a - алгебра Ли наименьшей алгебраической группы содержащей (том II, предложение 5 из § 9 гл. II). Алгебра изоморфна фактор-алгебре и поэтому полупростая; таким образом, это алгебраическая алгебра (следствие предложения 9 § 2 гл. IV). Пусть неприводимая алгебраическая группа, алгеброй Ли которой служит и пусть группа тех элементоз для которых Тогда алгебраическая группа, алгебра Ли которой состоит из таких что принадлежит к (том II, теорема 12 § 14 гл. II). Так как ядром представления является но алгебраическая алгебра, значит, и алгебраическая алгебра.

Предложение 20. Пусть разрешимая алгебраическая подалгебра в и пусть ее идеал, состоящий из нильпотентных элементов в Тогда есть прямая сумма идеала и абелевой алгебраической алгебры а, все элементы которой полупросты.

То, что множество нильпотентных элементоз алгебры является идеалом, вытекает из теоремы 3 § 2.

Выберем среди всех абелевых подалгебр алгебры состоящих из полупростых элементов (одна такая алгебра, а именно во всяком случае, существует), подалгебру максимальной размерности и обозначим ее через а. Из теоремы 4 § 4 гл. IV и следствия 3 предложения 4 § 4 гл. IV получаем, что присоединенное представление алгебры индуцирует полупростое представление алгебры а. Так как идеал, мы видим, что если оператор отоэражает в себя; таким образом, прямая сумма пространства и некоторого векторного пространства такого, что Но содержится в производной алгебре от а эта последняя — в (теорема 3 § 2). Так как то Пусть В — элемент из его полупростая, а нильпотентная компоненты. Элементы являются репликами В и, следовательно, принадлежат (том II, предложение 2 из § 14 гл. II). Кроме того, можно выразить полиномами от В (том II, теорема 7 из § 8 гл. I); так как эндоморфизм В перестановочен со всеми элементами из а, то с ними перестановочны также и элементы Векторное подпространство алгебры порожденное является абелевой алгеброй; сверх того, из предложения 4 § 8 гл. I (том II) вытекает, что все элементы из полупросты. Согласно нашему выбору алгебры а,

должно быть так что Но, с другой стороны, так что и, следовательно, поскольку Итак, Ясно, что значит прямая сумма Остается показать, что а — алгебраическая алгебра. Пусть А — элемент из реплика А. Тогда можно представить А в виде полинома от А (том II, предложение 3 из § 14 гл. II). Отсюда следует, во-первых (так как алгебра а абелева), что элемент перестановочен со всеми элементами из а, во-вторых (согласно предложению 4 из § 8 гл. I, том II), что он полупрост. Кроме того, в силу того же результата, все элементы векторного пространства а, порожденного а и А, полупросты. Ввиду максимальности алгебры а, отсюда вытекает, что а — й, значит, это показывает, что а — алгебраическая алгебра (том II, предложение 2 из § 14 гл. II). Предложение 20 доказано.

Замечание. Из доказательства следует, что всякая абелева подалгебра алгебры состоящая из полупростых эндоморфизмов пространства У, содержится по меньшей мере в одной алгебре а со свойствами, описанными в предложении 20.

Предложение 21. Сохраняя обозначения предложения 20, предположим, кроме того, что неприводимые алгебраические подгруппы группы алгебрами Ли которых являются соответственно а. Тогда нормальный делитель в и каждый элемент из может быть представлен одним и только одним способом в виде произведения элемента из на элемент из А. Группа А абелева, и ее элементы — полупростые автоморфизмы пространства

Заметим, что, в силу предложения алгебраическая алгебра, так что существование группы определенной в формулировке предложения 21, обеспечено. Согласно следствию 2 предложения 11 из гл. III, п° 9, эта группа — нормальный делитель в Отсюда следует, что множество произведений элементов из на элементы из А образует группу. Чтобы доказать, что эта группа совпадает со всей группой введем алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля К и обозначим через и группы, получаемые из расширением основного поля до Это — алгебраические подгруппы и их алгебрами Ли являются соответственно и (том II, предложение 2

из § 8 гл. II). Так как поле алгебраически замкнуто, то группа, порожденная и является алгебраической (том II, следствие 3 предложения 2 из § 7 гл. II), и так как то алгебра Ли этой группы есть теорема 14 из § 14 гл. II). Так как группа неприводима (том II, теорема 3 из § 5 гл. II), то группа, порожденная и есть кроме того, идеал алгебры так что нормальный делитель в следовательно, Пусть В — базис пространства V, а значит, и пространства если эндоморфизм пространства то через мы обозначим матрицу, представляющую в базисе В. Если автоморфизм расширения то можно сопоставить эндоморфизм матрица которого получается из применением к ее коэффициентам операции Отображение а очевидно, является автоморфизмом структуры кольца множества эндоморфизмов пространства Элементы из остающиеся на месте при всех автоморфизмах когда а пробегает группу Галуа 6 расширения это те и только те элементы, которые продолжают элементы из Если -алгебраическая подгруппа в то автоморфизм переставляет между собой элементы группы Действительно, условие для того, чтобы некоторый автоморфизм пространства принадлежал выражается некоторым числом алгебраических соотношений с коэффициентами из К между коэффициентами матрицы представляющей отсюда непосредственно следует, что если то и для всех После этих замечаний мы условимся в дальнейшем отождествлять эндоморфизмы пространства V с продолжающими их эндоморфизмами пространства Пусть — элемент как мы вилели, его можно представить в форме Пусть любой элемент из 6; мы имеем так что Левая часть этого равенства представляет элемент из а правая — элемент из Если нам удастся показать, что где -тождественный автоморфизм пространства то отсюда будет следовать, что Так как это справедливо для всех то мы выведем отсюда, что теорему 3 из § 5 гл. II, том II) и что Этим будет показано, что 5 принадлежит Кроме того, мы сможем заключить, что так что представление элемента из в виде с однозначно определено. Заметим, однако, что элементы из нильпотентны (предложение 10 из § 2);

отсюда следует, что при элемент нильпотентен (предложение 14). С другой стороны, всякий базис алгебры а является также базисом алгебры поэтому из предложений 1 и 4 § 8 гл. I (том II) вытекает, что элементы из полупросты. Группа содержится в ассоциативной алгебре, порожденной следствие 2 теоремы 8 из § 12 гл. II); применяя вновь предложение 4 из § 8 гл. I (том II), мы видим, что элементы группы полупросты. Итак, если то элемент полупрост, нильпотентен; это показывает, что теорема 18 из § 14 гл. II), и доказывает равенство Так как элементы группы полупросты, то тем же свойством обладают элементы А (том II, предложение 1 из § 8 гл. I). В силу предложения 12, группа А абелева, и предложение 21 доказано.

Предложение 22. Сохраняя обозначения предложений 20 и 21, предположим дополнительно, что алгебра нильпотентна. Тогда алгебра а содержится в центре алгебры и группа А — в центре группы изоморфна произведению группа А состоит из всех полупростых элементов группы

Если то оператор полупрост (следствие 3 предложения 4 из § 4 гл. IV) и нильпотентен, так как нильпотентна; таким образом, и алгебра а содержится в центре алгебры Отсюда следует, что группа А лежит в центре группы (следствие 2 предложения 12 из гл. III, п° 9). Группа изоморфна А в силу предложения 21 и ввиду того, что А принадлежит центру группы Пусть — полупростой элемент из можно написать где Элемент а полупрост и перестановочен с так как группа А лежит в центре группы если I — тождественный автоморфизм пространства V, то нильпотентный эндоморфизм (предложение 14). Из теоремы 18 § 14 гл. II (том II) следует, что так что А.

Предложение 23. Пусть неприводимая нильпотентная алгебраическая подгруппа группы такой элемент из что группа, порожденная группой и элементом нильпотентна. Тогда полупростая компонента и элемента перестановочна со всеми элементами

из принадлежат некоторой неприводимой алгебраической нильпотентной группе, содержащей

Пусть наименьшая алгебраическая группа, содержащая алгебраическая компонента единицы группы Группа нильпотентна (следствие предложения 10); поэтому и группа нильпотентна. Так как неприводима, то (действительно, алгебра Ли группы содержится в алгебре Ли группы а последняя совпадает с алгеброй Ли группы Поэтому достаточно показать, что элемент и перестановочен со всеми элементами из и что Но можно положить где нильпотентный элемент алгебры Ли группы (тол II, теорема 18 и предложение 5 из § 14 гл. II); следовательно, и

Мы видим, что все сводится к доказательству предложения 23 для случая, когда - полупростой эндоморфизм, нормальный делитель конечного индекса в группе порожденной группой и элементом Предположим, что это так. Пусть есть центр группы и пусть наименьшая алгебраическая группа, содержащая Если то лежит в центре группы отсюда следует, что лежит в центре группы (предложение 10). Положим и обозначим через алгебраическую компоненту единицы группы Для положим так что если Покажем, что если Пусть полиномиальная функция на и, равная нулю на существует полиномиальная функция О на не равная нулю в единице группы и такая, что обращается в нуль на (том II, теорема 2 из § 3 гл. II). Функции

рациональны и определены всюду на их произведение равно нулю. Поскольку вторая из этих функций следовательно, равна нулю первая. Так как это справедливо всякой полиномиальной функции, равной нулю на то Из наших предположений следует, что существует такое что Но так как элемент 5 полупростой, то и полупростой (том предложение 4 из § 8 гл. 1); отсюда следует, что принадлежит центру группы О

(предложение 22). Индукцией по мы сейчас докажем, что 5 перестановочен со всеми элементами из Это верно для поскольку так что Предположим, что наше утверждение верно для где Если то и элемент принадлежащий перестановочен с отсюда непосредственно вытекает, что так что Из этого мы сейчас выведем, что для всех и тем самым установим, что перестановочен со всеми элементами из Для этого разложим в полином на неприводимые множители тогда если Образуем характеристический полином эндоморфизма Коэффициенты этого полинома — рациональные функции от определенные всюду на и такими же функциями являются коэффициенты остатка от деления на Имеем так как отсюда следует, что для так что

Положим

где рациональные функции, определенные всюду на и не все равные нулю; можно, таким образом, предположить, что Пусть такой элемент из что ; тогда не делится ни на один полином Имеем

поэтому если наибольший общий делитель полиномов то Но делит и не делится на для каждого так как -простой корень полинома то так что Отсюда заключаем, что для всех Так как коэффициенты матрицы, представляющей в некотором базисе пространства V, суть рациональные функции от произведения которых на равны нулю, а то для всех Но группа, порожденная группой и элементом нильпотентна; поэтому существует такое

так что итак, элемент 5 перестановочен со всеми элементами из что и дока зывает предложение 23.

Следствие. Пусть нильпотентная алгебраическая подгруппа группы алгебра Ли группы элемент из Обозначим через I тождественный автоморфизм пространства V и через образ элемента при присоединенном представлении группы Тогда эндоморфизм пространства нильпотентен.

Пусть и — полупростая компонента элемента и пусть Из предложения 23 следует, что Но можно положить где нильпотентный элемент из (том II, теорема 18 и предложение 5 из § 14 гл. II); отсюда следует, что (предложение 15), так что эндоморфизм нильпотентен (предложение 14).