§ 3. Представления полупростых алгебр

1. Оператор Казимира

Пусть представление полупростой алгебры Ли обозначим через В билинейную форму, соответствующую (определение 1 из § 2), а через V — пространство представления Пусть -тензорная алгебра над (ассоциативная) — алгебра всех эндоморфизмоз пространства Линейное отображение пространства может быть продолжено в унитарный гомоморфизм алгебры 7 в 6, который мы внозь обозначим через Обозначим через множество всех таких, что для всех таким образом, идеал алгебры (предложение 4 § 2), и из теоремы Картана следует, что прямая сумма идеала и некоторого идеала Пусть, с другой стороны, естественное линейное отображение, соответствующее форме пространства в дуальное пространство (ср. гл. III, п° 6). Это отображение может быть продолжено в унитарный гомоморфизм — мы его также обозначим через алгебры в тензорную алгебру над Пусть пространства однородных элементов степени 2 алгебр и форму В можно рассматривать как элемент пространства Так как В — гармонический элемент относительно присоединенного представления (предложение 1 § 2), то из предложений 19 и 20 гл. III, п° 11, следует, что существует один и только один элемент подпространства пространства такой, что гармонический элемент относительно присоединенного представления. Положим

Определение 1. Эндоморфизм С пространства V представления определенный нами формулой называется оператором Казимира представления

Замечание. На первый взгляд может показаться, что этот оператор зависит еще от идеала который был подчинен единственному условию, что прямая сумма Но из предложения 8 § 2 легко получаем, что этим условием идеал уже однозначно определен.

Предл ожение 1. Пусть представление полупростой алгебры Ли Оператор Казимира представления перестановочен со всеми операторами из он

принадлежит ассоциативной подалгебре эндоморфизмов пространства V представления порожденной элементами из

Пусть алгебра эндоморфизмов пространства При тех же обозначениях, что и выше, элемент принадлежащий находится в подалгебре алгебры порожденной элементами таким образом, принадлежит подалгебре алгебры порожденной что и доказывает второе утверждение. Для обозначим через деривацию алгебры продолжающую а через деривацию алгебры Покажем, что Операторы в обеих частях равенства, очевидно, являются косыми деривациями типа алгебры в алгебру (том II, гл. I, § 3, предложение 1); поэтому достаточно показать, что они одинаково действуют на элементы из Но

что и доказывает наше утверждение. Элемент гармоничен относительно присоединенного представления; поэтому для

что и доказывает первое утверждение предложения 1.

Предложение 2. Пусть представление полупростой алгебры — билинейная форма, соответствующая представлению множество всех для которых при всех Тогда ядро представления

Так как то ясно, что содержит ядро представления Так как идеал алгебры то полупрост, и тем же свойством обладает алгебра изоморфная фактор-алгебре алгебры по ядру представления (ср. предложение 6 § 2). Кроме того, алгебраическая алгебра в силу следствия предложения 9 § 2. Пусть X — элемент алгебры реплика эндоморфизма тогда принадлежит алгебре (том II, гл. II, § 14, предложение 2) и представимо в виде где Имеем

так как отсюда следует, что эндоморфизм нильпотентен (том II, теорема 17 из § 14 гл. II). Следовательно, элементы из нильпотентны, так что нильпотентная алгебра (теорема Энгеля, § 1). Если бы было то

и центр алгебры был бы отличен от следствие 4 теоремы Энгеля), невозможно, поскольку алгебра полупростая. Итак, ядро представления

Возвращаясь к обозначениям, которые употреблялись выше, мы видим, что индуцирует изоморфизм на . С другой стороны, из самого определения идеала следует, что индуцирует изоморфизм на таким образом, размерности алгебр одинаковы.

Предложение 3. Пусть представление полупростой алгебры Ли Тогда след оператора Казимира этого представления равен размерности алгебры

Пусть эта размерность. При тех же обозначениях, что и выше, из предложения 19 гл. III, п°11, следует, что Положим

тогда

что и доказывает предложение 3.

Следствие. При обозначениях предложения 3, если ненулевое представление, то его оператор Казимира не нильпотентен.

Действительно, след этого оператора отличен от 0.