§ 6. Универсальная алгебра и дифференциальные операторы

1. Леммы об ассоциативных алгебрах

Объясним ряд обозначений, которыми мы будем пользоваться в настоящем п°. Буквой мы будем обозначать ассоциативную алгебру, единичный элемент которой условимся записывать символом 1. Если то через будем обозначать векторное пространство, состоящее из линейных комбинаций элементов из с коэффициентами из основного поля алгебры Для подмножеств алгебры через будет обозначаться множество всех произведений где Эта операция умножения подмножеств алгебры , очевидно, ассоциативна; для нее существует единичный элемент, а именно подмножество алгебры Если конечная последовательность подмножеств из то произведение есть

множество произведений их где в частности, множество произведений элементов из это Если - подмножества в то, как легко видеть,

так что

Лемма 1. Пусть подмножества в такие,

и пусть

Пусть число и пусть - отображение множества в множество Если пусть обозначает число тех для которых Тогда

Обозначим через число тех пар целых чисел, заключенных между для которых мы будем доказывать лемму 1 индукцией по числу Если это число равно нулю, то функция возрастает, и тогда

Предположим, что и что лемма 1 верна для всех отображений для которых Так как не возрастает, то по меньшей мере для одного целого числа будет Пусть отображение, определенное следующими условиями: если

Пусть подстановка множества переставляющая и оставляющая другие числа в нем на месте. Если числа принадлежат то тогда и только тогда, когда С другой стороны, если предположить, что [соответственно ], то [соответственно ], за исключением случая отсюда

немедленно следует, что Положим

и

Тогда

и это множество содержится в множестве

Но

для всех Так как формула леммы, по предположению, выполняется для то она выполняется также и для Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть элементы такие, что линейные комбинации элементов Тогда каждый элемент алгебры, порожденной элементами представим в виде линейной комбинаций произведений где некоторые целые числа (При этом мы полагаем Положим

Обозначим через V векторное пространство, порожденное произведениями Тогда

из леммы 1 можно, следовательно, заключить, что для всякое произведение элементов из принадлежит пространству так что и

Так как то индукцией по легко можно убедиться в том, что для всех Так как то для всех О, и алгебра V, порожденная элементами является объединением пространств а следовательно, совпадает с

Лемма 3. Пусть подалгебры, алгебры содержащие 1. Предположим, что существуют подмножества алгебры со следующими свойствами: каждое множество является системой почти-образующих для и имеют место включения

Тогда каждый элемент алгебры V, порожденной алгебрами может быть представлен в форме суммы членов вида где

Положим

Тогда из леммы 1 следует, что если 2; формула, очевидно, верна также для Таким образом, для всех 0; отсюда непосредственно следует, что это и доказывает лемму 3.

Лемма 4. Пусть векторное подпространство в такое, что из следует Обозначим через тензорную алгебру над и через унитарный гомоморфизм совпадающий на с тождественным отображением. Дляг обозначим через пространство симметрических однородных элементов степени из Предположим, что характеристика основного поля алгебры равна 0. Тогда

Обозначим через 5 симметрическую алгебру над и пусть для всех пространства однородных элементов степени в 5 и Алгебра 5 есть где двусторонний идеал в порожденный элементами вида где х и у принадлежат №. Пусть естественное отображение на Так как характеристика основного поля равна нулю, то (предложение 6 из гл. III, п° 5). Поэтому можно положить

Пусть множество элементов вида для х и у из тогда алгебра совпадает с откуда сразу следует, что

Имеет место равенство так как по предположению то

так что

Имеем для или 1. Индукцией по отсюда получаем, что