3. Равенство рангов

Предложение 10. Пусть элемент из Множество элементов, сопряженных в О элементам множества плотно в О (в смысле топологии Зариского). Если поле К алгебраически замкнуто, то множество густо.

Пусть пространство эндоморфизмов пространства Для обозначим через автоморфизм пространства рациональное представление группы есть множество эндоморфизмов пространства для всех предложение 6 из § 9 гл. II). Группа неприводима (том II, предложение 7 из § 6 гл. II), но не обязательно алгебраична; ее алгебра Ли есть предложение 5 из § 9 гл. II). Для ограничение на есть Так как множество есть неприводимая алгебраическая группа, то оно густо; отсюда сразу следует, что множество неприводимо и густо. Множество является орбитой множества относительно Следовательно, неприводимо (предложение 2 § 2) и густо, если поле К алгебраически замкнуто (предложение 3 § 2). Найдем его размерность. Если то направляющее пространство множества в точке есть (лемма 2 и предложение 1 § 2). Из следствия предложения 2 § 2 вытекает существование относительно открытого непустого подмножества группы обладающего следующим свойством: если то простая точка на и направляющее пространство множества в точке есть

Для имеем

откуда следует, что

Существует относительно открытое непустое подмножество такое, что для всех эндоморфизм индуцирует автоморфизм в пространстве определенном в предложении 8 (следствие 2 предложения 8). Множество непусто (предложение 8 § 1). Если элемент этого множества, то пространство содержит и пространство

содержит пространство размерность которого равна размерности алгебры следовательно, размерности группы Так как простая точка на то размерность по меньшей мере равна размерности и из предложения 14 § 1 следует, что плотно в

Следствие. Множество элементов из таких" что точка регулярна, непусто и относительно открыто в смысле топологии Зариского).

Множество элементов, сопряженных к элементам из плотно в О и имеет поэтому непустое пересечение с множеством регулярных элементов, которое относительно открыто в О (предложение 6). Так как элемент, сопряженный к регулярному элементу, сам регулярен, то множество непусто. Ясно, что относительно открыто в

Предложение 11. Пусть группа Картана группы алгебраическая компонента единицы в Тогда для всех и существует элемент из такой, что

Если индуцирует нильпотентный эндоморфизм алгебры Ли группы (следствие предложения 23 из § 3 гл. V); следовательно, Для оператор отображает в себя. Пусть эндоморфизм пространства индуцированный эндоморфизмом при переходе в фактор-пространство Тогда рациональное представление группы для есть эндоморфизм, индуцированный эндоморфизмом при переходе в фактор-алгебру Алгебра алгебра Картана в (предложение 5) и совпадает со своим нормализатором в Следовательно, если -элемент из не принадлежащий то по крайней мере для одного элемент не содержится в Таким образом, если -отличный от элемент из то существует такой, что эндоморфизм не аннулирует элемент У. Используя предложение 8 из § 1 гл. V и учитывая, что алгебра нильпотентна, мы видим, что существует такой элемент что автоморфизм векторного пространства Пусть наименьшая алгебраическая группа, алгебра Ли которой содержит элемент X Имеем и представление индуцирует рациональное представление группы Построим ряд Жордана-Гёльдера пространства относительно представления Пусть — представление группы индуцированное в фактор-пространстве ограничением на Представления являются простыми представлениями группы Кроме того, есть эндоморфизм, индуцированный ограничением на в фактор-пространстве (см. предложение 21 из гл. III, п° 12). Так как определитель эндоморфизма

отличен от нуля, то определитель эндоморфизма также отличен от нуля. Так как то по меньшей мере для одного элемента автоморфизм отличен от тождественного автоморфизма пространства Заметим теперь, что группа абелева. Действительно, ее элементы могут быгь записаны в виде полиномов от X с коэффициентами из поля К (том II, теорема 10 из § 13 гл. II). Таким образом, олератор перестановочен с операторами из С помощью леммы Шура (следствие 1 предложения гл. III, п° 10) можно убедиться в том, что автоморфизм пространства С помощью следствия предложения 3 § 3 мы видим, что имеется элемент для которого все операторы — — автоморфизмы. Если теперь тождественный автоморфизм пространства то автоморфизм. Из предложения 1 § 3 видно, что кратность нуля оператора самое большее равна размерности алгебры (равной разности между размерностями пространств Так как размерность алгебры равна кратности нуля оператора и так как эта алгебра содержит то так что Предложение 11 доказано.

Теорема 1. Ранг группы О равен рангу алгебры

Пусть X — регулярный элемент из Тогда есть алгебра Картана алгебры (предложение 9), и размерность этой алгебры равна рангу алгебры С другой стороны, есть алгебра Ли некоторой группы Картана группы О (предложение 5). Пусть алгебраическая компонента единицы в и пусть 5 — такой элемент из что {предложение 11). Размерность группы равна кратности нуля эндоморфизма и не меньше ранга группы О, так что С другой стороны, имеем так как Из следствия предложения 10 вытекает, что содержит регулярный элемент из О. Мы имеем (предложение 11), и размерность группы равна Итак, так что

Следствие 1. Пусть произвольная группа Картана группы О. Размерность группы равна рангу группы О. Алгебраическая компонента единицы в содержит по меньшей мере один регулярный элемент группы О, и если регулярный элемент, содержащийся в то

Множество элементов, сопряженных в О к элементам из плотно в О (в смысле топологии Зариского).

Существует элемент такой, что (предложение 11). Так как то и из следствия предложения 10 вытекает, что содержит регулярный элемент. Если 5 — регулярный элемент, содержащийся в (предложение 11). Так как то размерность группы не меньше ранга группы Так как то из того, что регулярный элемент, следует, что размерность группы не больше ранга группы Значит, размерность группы равна рангу группы Поскольку группы неприводимы, отсюда следует, что Так как то из предложения 10 вытекает, что множество элементов, сопряженных к элементам из плотна в

Следствие 2. Размерность каждой алгебры Картана алгебры равна рангу

Это утверждение вытекает из следствия 1 и из того, что всякая алгебра Картана алгебры есть алгебра Ли некоторой группы Картана группы (предложение 5).