2. Тензорные, симметрические и внешние степени

Пусть представление группу пространство представления Образуем тензорную алгебру симметрическую алгебру 5 и внешнюю алгебру А над пространством Для автоморфизм пространства V можно продолжить в автоморфизмы и алгебр и А соответственно. Если элементы группы то автоморфизмы алгебры которые совпадают друг с другом на пространстве V, а следовательно, вообще совпадают. Таким образом, есть представление. Аналогично мы заключаем, что и А — также представления. Алгебры градуированные алгебры; для целого неотрицательного

обозначим через пространства однородных элементов степени в алгебрах Для автоморфизмы и однородны степени 0; обозначим через ограничения автоморфизмов на пространства соответственно. Представления группы называются тогда соответственно тензорной степенью, симметрической степенью и внешней степенью представления

Пусть представление алгебры Ли Если то эндоморфизм пространства V представления может быть продолжен в деривации алгебр соответственно. Пусть —элементы алгебры элементы основного поля алгебры операторы

являются тогда деривациями алгебры отображающими пространство V на следовательно, тождественно равны нулю. Подобным же образом мы убеждаемся в том, что

Кроме того, однородные операторы степени 0; обозначим через их ограничения на пространства соответственно. Представления алгебры называются соответственно тензорной суммой, симметрической суммой и внешней суммой представления Заметим, что так как алгебра А — конечной размерности, то отображение а есть также представление алгебры оно называется полной внешней суммой представления

Алгебры являются фактор-алгебрами алгебры Т: именно, где идеал алгебры порожденный элементами вида для х и у из V, а — идеал, порожденный элементами для При таких же обозначениях, как и выше, ясно, что и при отображают каждый из идеалов и в себя, что и автоморфизмы, получающиеся из автоморфизма переходом соответственно к фактор-алгебрам и , и что и деривации, индуцированные соответственно в фактор-алгебрах

Предложение 2. Пусть рациональное представление некоторой алгебраической группы и пусть — целое число Тогда тензорная (соответственно симметрическая, внешняя) степень представления также является рациональным представлением, и его дифференциал есть тензорная (соответственно симметрическая, внешняя) сумма дифференциала представления

Пусть В — базис пространства V представления тогда элементы где пробегает последовательности из элементов множества В, образуют базис пространства, которое мы выше обозначили через Для имеем

Отсюда следует, что коэффициенты матрицы, представляющей автоморфизм в базисе выражаются полиномами от коэффициентов матрицы, представляющей в базисе это показывает, что — рациональное представление. Для доказательства второго утверждения установим сперва следующую лемму:

Лемма 1. Пусть рациональное представление некоторой алгебраической группы автоморфизмов векторного пространства пространство представления — подпространство пространства V, допустимое относительно Для пусть ограничение автоморфизма на подпространство тогда рациональное представление. Если X принадлежит алгебре группы то ограничение

Мы можем предположить, что неприводимая группа. Пусть базис пространства V, содержащий базис пространства Если то

при этом рациональные функции на для

что и показывает, что рациональное представление. Каждая функция есть след на рациональной функции

определенной на всем пространстве эндоморфизмов пространства кроме того, можно предположить, что если Отсюда вытекает, что след на группе такого рационального отображения пространства 6 в пространство эндоморфизмов пространства V, что отображает пространство V в себя, если элемент из 6, в котором отображение определено. Если определено, то пусть ограничение эндоморфизма на Очевидно, что отображение может быть продолжено в рациональное отображение пространства в пространство эндоморфизмов пространства (При этом может случиться, что отображение определено в точках, в которых отображение не определено.) Пусть -единичный элемент группы тогда определены в точке Из определений следует, что при отображение является ограничением отображения на Но если то

что и доказывает лемму 1.

Вернемся теперь к доказательству предложения 2. Пусть некоторое целое, число Обозначив, как и раньше, через пространство однородных элементов степени алгебры положим Если и эндоморфизм X принадлежит алгебре Ли группы то через мы обозначим ограничение на автоморфизма алгебры продолжающего а через ограничение на деривации алгебры продолжающей Размерность пространства конечна; в силу леммы 1, достаточно убедиться, что дифференциал представления которое, очевидно, рационально. Но на пространстве можно определить структуру алгебры следующим образом. Пусть -идеал алгебры порожденный ясно, что есть сумма пространств для так что -прямая сумма пространств и Естественное отображение на фактор-алгебру взаимно однозначно отображает на обратное отображение позволяет перенести на пространство структуру алгебры Легко видеть, что операторы автоморфизмы так определенной алгебры; отсюда следует, что операторы -деривации алгебры (том II, пример 2 из § 10 гл. II). Но алгебра порождается пространством и своим

единичным элементом, и для ограничение эндоморфизма на V равно (лемма 1); таким образом, единственная деривация алгебры продолжающая очевидно, эта деривация совпадает с Этим заканчивается доказательство предложения 2 для случая тензорных степеней и сумм. Аналогичным образом проводится доказательство для случая симметрических и внешних степеней и сумм.