2. Теорема Вейля

Теорема 3 (теорема Вейля). Каждое представление полупростой алгебры Ли — полупростое представление.

Мы будем говорить, что представление алгебры Ли обладает свойством когда выполнено следующее условие: если одномерное подпространство пространства V представления допустимое относительно и если то найдется допустимое подпространство пространства V, не содержащее пространства Ясно, что всякое полупростое представление обладает свойством

На первом этапе доказательства теоремы 3 мы установим, что всякое представление полупростой алгебры Ли обладает

свойством Пусть -пространство представления некоторое его допустимое подпространство размерности 1. Пусть элемент базиса пространства тогда для имеем где скаляр, равный следу ограничения на Покажем, что Это вытекает из следующей леммы:

Лемма 1. Если представление алгебры то для всех элементов X производной алгебры алгебры если полупростая алгебра, то для всех

Для из имеем

что доказывает первое утверждение; второе утверждение следует из первого, если вспомнить, что в случае полупростой алгебры она равна (предложение 9 § 2).

Вернемся теперь к введенным выше обозначениям и обозначим через С оператор Казимира представления Если нулевое представление, то оно, конечно, обладает свойством Во всех остальных случаях оператор Казимира не нильпотентен (следствие предложения 3). Положим каждое есть подпространство в Пространство V конечномерно, так что существует индекс такой, что для Положим тогда Как известно, оператор С перестановочен со всеми элементами из (предложение 1); поэтому, если то

так что все пространства (в частности, допустимы. Очевидно, что так как конечномерно, то ни один элемент из не переводится оператором С в нуль. С другой стороны, С принадлежит ассоциативной алгебре эндоморфизмов пространства V, порожденной множеством (предложение 1), а элементы из аннулируют следовательно, откуда Итак, и представление обладает свойством

Лемма 2. Пусть представление алгебры Ли а

V — пространство представления Предположим, что для всех допустимых подпространств пространства V представление, индуцированное в фактор-пространстве

обладает свойством Тогда, если одномерное допустимое подпространство пространства V, то в V существует допустимое подпространство такое, -прямая сумма подпространств

Среди всех допустимых подпространств пространства V, не содержащих (такие существуют, например выберем одно, скажем максимальной размерности. Тогда подпространство пространства одномерно и допустимо относительно представления индуцированного представлением в пространстве Если подпространство в допустимое относительно то можно написать где подпространство в V, содержащее очевидно, допустимое относительно Если теперь то так что Но так как обладает свойством мы заключаем, что откуда Так как одномерно и не содержится в то — прямая сумма подпространств

Лемма 3. Пусть V — векторное пространство конечной размерности его подпространство размерности внешняя алгебра над внешняя алгебра над (которую мы отождествим с подалгеброй алгебры пространства однородных элементов степени целое неотрицательное число) соответственно алгебр и пусть отличный от элемент из Предположим, что прямая сумма одномерного пространства, порожденного элементом и некоторого векторного пространства Пусть пространство, образованное такими что для всех Тогда пространство V — прямая сумма пространств

Пусть линейная функция на равная 1 в точке и на Как известно, размерность равна пусть базис этого пространства. Для того чтобы элемент у из V принадлежал необходимо и достаточно, чтобы размерность пространства таким образом, Наше утверждение будет доказано, если мы установим, что Пусть элемент из отличный от 0.

Тогда найдется базис пространства такой,

что Имеем отличный от элемент пространства но это пространство одномерно, так что отличное от скалярное кратное элемента и не принадлежит что и доказывает, что

Лемма 4. Пусть представление алгебры Ли Пусть V — пространство представления внешняя алгебра над пространство однородных элементов степени алгебры (где целое внешняя сумма представления Предположим, что (для всех выполнено следующее условие: если одномерное подпространство в допустимое относительно то прямая сумма и некоторого подпространства, допустимого относительно Тогда представление полу простое.

Пусть подпространство в V, допустимое относительно Обозначим через размерность а через внешнюю алгебру над которую мы отождествим с подалгеброй алгебры Пусть а — полная внешняя сумма представления если то деривация алгебры продолжающая Так как отображает пространство в себя, то отображает в себя алгебру и пространство которое одномерно и допустимо относительно Но тогда пространство можно представить в виде прямой суммы и некоторого пространства Ну допустимого относительно . С помощью результата леммы 3 пространству можно сопоставить в V подпространство такое, что V — прямая сумма пространств Покажем, что допустимо относительно Пусть у — элемент из элемент из Если то -деривация алгебры так что

Но мы знаем, что пространство допустимо относительно . С другой стороны, принадлежит пространству допустимому относительно а. Поэтому а Отсюда вытекает, что так как это справедливо для всех то и наше утверждение, а тем самым и лемма 4 доказаны.

Теорема Вейля следует непосредственно из лемм 2 и 4 и из того факта, что всякое представление полупростой алгебры обладает свойством