§ 4. Теорема Леви — Мальцева

1. Теорема Леви — Мальцева

Определение 1. Разложением Леви алгебры Ли мы называем ее представление в виде суммы разрешимого идеала и полупростой подалгебры 8.

Пусть разложение Леви алгебры тогда идеал в 8 и этот идел разрешим (предложение 3 § 1); отсюда следует, что (предложение 4 § 1). Таким образом, сумма прямая и фактор-алгебра изоморфна 8, т. е. полупроста; так как идеал разрешим, то радикал алгебры Пусть, наоборот, радикал алгебры Ли над полем характеристики 0; если — подалгебра в изоморфная то Действительно, алгебра 8 полупростая, откуда (как и выше) следует, что размерность векторного пространства равна размерности пространства 8, т. е. размерности так что

Пусть разложение Леви алгебры и пусть автоморфизм алгебры Ясно, что также разложение Леви алгебры Имеем (так как оба совпадают с радикалом алгебры но не обязательно Мы будем говорить, что разложение Леви алгебры получаемое из разложения применением автоморфизма а.

Если алгебра Ли над полем характеристики 0, то, как известно, группа ее автоморфизмов есть алгебраическая группа, алгебра Ли которой есть алгебра дериваций алгебры теор. 16 из § 14 гл. II, том II). Если элемент наибольшего нильпотентного идеала алгебры то ее нильпотентная деривация, а ее автоморфизм. В частности, если радикал алгебры предложение 4 § 2) и автоморфизм алгебры Из предложения 14 § 3 следует, что автоморфизмы вида для образуют группу. Автоморфизмы указанного вида мы временно назовем "специальными". Если то отображает всякий идеал алгебры в себя; отсюда немедленно следует, что специальный автоморфизм переводит всякий идеал алгебры в себя.

Лемма 1. Пусть алгебра Ли над полем характеристики ее радикал, а ее идеал, содержащийся в Если специальный автоморфизм алгебры то существует специальный автоморфизм алгебры индуцирующий автоморфизм при переходе к фактор-алгебре

Радикал алгебры есть (предложение 2 § 2); можно положить

Но образ алгебры при естественном гомоморфизме на (предложение 2 § 1); следовательно, в найдется элемент принадлежащий классу Так как содержится в то поэтому специальный автоморфизм алгебры обозначим его Оператор индуцируется оператором при переходе к фактор-алгебре поэтому индуцируется автоморфизмом в фактор-алгебре

Лемма 2. Пусть алгебра Ли над полем характеристики и ее подалгебра, радикал которой содержится в радикале алгебры Тогда всякий специальный автоморфизм алгебры может быть продолжен в специальный автоморфизм алгебры

Пусть радикал алгебры и пусть элемент из По предположению, поскольку Так как ограничение оператора на то ограничение на что и доказывает лемму 2.

Теорема 4 (теорема Леви — Мальцева). Пусть алгебра Ли над полем характеристики 0; тогда она допускает по меньшей мере одно разложение Леви. Любые два разложения Леви алгебры, получаются друг из друга применением некоторого автоморфизма алгебры вида где принадлежит пересечению производной алгебры от с ее радикалом.

Мы докажем эту теорему индукцией по размерности радикала алгебры Если то алгебра полупростая, и тогда ясно, что ее единственное разложение Леви. Предположим, что и что теорема верна для всех алгебр, радикалы которых имеют размерность

Среди всех идеалов алгебры содержащихся в (например, - такой идеал), выберем один максимальной возможной размерности; назовем его I). Рассмотрим сначала случай, когда Радикал алгебры есть (предложение 2 § 2), размерность его так как Таким образом, алгебра обладает разложением Леви

Ее подалгебру 3 можно представить в виде где подалгебра алгебры содержащая Идеал содержащийся в разрешим; с другой стороны, алгебра полупростая. Отсюда следует, что радикал алгебры Так как то размерность алгебры меньше следовательно, обладает разложением Леви Подпространство алгебры содержит и также это подпространство совпадает тем самым со всей алгеброй откуда Так как алгебра полупростая, то допускает разложение Леви

Пусть какое-нибудь разложение Леви алгебры и пусть Так как то и алгебра изоморфна алгебре а значит, и алгебре Очевидно,

и эта формула дает разложение Леви алгебры Так как размерность радикала алгебры меньше то из нашего предположения индукции следует, что существует специальный автоморфизм алгебры для которого Из леммы 1 вытекает, что существует специальный автоморфизм алгебры

который индуцирует автоморфизм алгебры при переходе к фактор-алгебре Положим так как переводит

то ясно, что Радикал алгебры есть его размерность так как алгебры и полупростые, то существует специальный автоморфизм алгебры переводящий в . Из леммы 2 следует, что автоморфизм можно продолжить в специальный автоморфизм алгебры Автоморфизм алгебры специален и переводит в 8. Таким образом, теорема 4 доказана для случая I)

Предположим теперь, что 1) Этот случай, в свою очередь, распадается на два: может принадлежать центру алгебры или не принадлежать. Предположим сначала, что содержится в центре алгебры тогда он, очевидно, совпадает с ним. Алгебра изоморфная следовательно, полупростая. Так как всякое представление полупростой алгебры полупросто (теорема Вейля, § 3 гл. IV), то прямая сумма идеала и некоторого подпространства §, отображаемого в себя операторами из Таким образом, идеал, изоморфный и тем самым полупростой; это доказывает существование разложения Леви для Так как операторы из отображают на а на себя, то ясно, что производная алгебра алгебры принадлежит 3. Пусть любое разложение Леви алгебры Полупростая алгебра является тогда производной алгеброй для самой себя (предложение 9 § 2 гл. IV); значит, она содержится в следовательно, в Отсюда следует, что в рассматриваемом случае существует, как мы видим, одно единственное разложение Леви алгебры и теорема 4 для этого случая доказана.

Рассмотрим теперь случай, когда не содержится в центре алгебры Заметим сначала, что идеал абелев. Действительно, производная алгебра от является идеалом алгебры (лемма 3 § 2 гл. IV) и (предложение 3 § 1); так как то эта производная алгебра тоже совпадает с что и доказывает наше утверждение. Отсюда мы заключаем, что если то ограничение на зависит только от класса элемента (так как при оператор отображает на обозначим это ограничение через Ясно, что простое представление полупростой алгебры отличное от нулевого.

Пусть векторное подпространство алгебры такое, что является прямой суммой пространств Естественное отображение алгебры на индуцирует, таким образом, изоморфизм векторного пространства на пусть отображение, обратное этому изоморфизму. Если, следовательно, то элемент из , принадлежащий классу отсюда заключаем, что

если — элементы из Чтобы доказать существование разложения Леви алгебры мы постараемся построить такое линейное отображение алгебры чтобы элементы где образовали подалгебру алгебры Если нам это удастся, то существование разложения Леви будет отсюда непосредственно следовать, так как алгебра 3 будет, очевидно, изоморфна Если -линейное отображение то, для того чтобы элементы вида образовали подалгебру алгебры очевидно, необходимо и достаточно, чтобы для из имело место равенство

Заметим, что

так как алгебра абелева, и что

в силу определения Положим для из

тогда и условие, наложенное на записывается так:

Ясно, что отображение алгебры билинейно. Кроме того, имеем для всех откуда

Пусть элементы из знаком мы обозначим операцию суммирования, распространенную на члены, получаемые из выписанных членов с помощью циклической перестановки

букв Из справедливости тождества Якоби в алгебре следует, что

Но мы имеем также

и

так как отображение линейно и так как тождество Якоби выполняется в Следовательно,

Пусть теперь С — оператор Казимира представления (см. § 3 гл. IV). Оператор С перестановочен со всеми операторами из (предложение 3 из § 3 гл. IV); он так как его след равен размерности алгебры (предложение 3 § 3 гл. IV) и так как ненулевое представление. Поэтому из леммы Шура (следствие 1 предложения 16 гл. III, п° 10) вытекает, что С является автоморфизмом алгебры и потому обратим. Пусть еще пространство однородных элементов степени 2 тензорной алгебры над отображение может быть продолжено в гомоморфизм — который мы также обозначим через алгебры в (ассоциативную) алгебру эндоморфизмов пространства причем С будет образом при отображении элемента из гармонического относительно присоединенного представления алгебры (см. § 3 гл. IV). Пусть

где элементы из Таким образом, для всех

Пусть произвольное линейное отображение Так как пространство отождествляется с тензорным произведением и так как отображение

произведения в билинейно, то существует линейное отображение пространства однородных элементов степени 2 алгебры в такое, что

для всякой пары элементов из Положим Тогда из (2) получим

Если обозначим через отображение и положим Тогда

Сложим эти три равенства и учтем соотношение (1), примененное к а также тот факт, что отображение кососимметрическое; тогда получим

Если мы теперь положим то видно, что отображение удовлетворяет тем требованиям, которые мы выше поставили для искомого линейного отображения Тем самым существование разложения Лези для алгебры установлено.

Предположим теперь, что пространство , которым мы пользовались выше, является подалгеброй алгебры т. е. что функция тождественно равна нулю. Пусть другое разложение Леви алгебры Если то в найдется один и только один элемент принадлежащий классу Положим

тогда I — линейное отображение Записывая, что подалгебра что

и учитывая, что мы получаем теми же выкладками, что и выше, соотношение

Применяя это соотношение к и учитывая (3), получаем

Положим так как оператор С перестановочен с элементами из то Так как то отображает так как алгебра абелева, то отображает на Итак, и

Так как

так что

мы видим, что переводит С другой стороны, Действительно, так как не лежит в центре алгебры то существуют такие, что принадлежит Но очевидно, является идеалом алгебры так как то совпадает с Мы видим, что два разложения Леви алгебры могут быть переведены друг в друга некоторым специальным автоморфизмом алгебры теорема 4 доказана.

Предложение 1. Пусть алгебра Ли над полем характеристика ее радикал и 3— ее полупростая подалгебра. Тогда существует такое разложение Леви алгебры что Если такие разложения Леви, что и то существует автоморфизм алгебры переводящий в V, оставляющий на месте элементы из и имеющий вид где принадлежит пересечению радикала и производной алгебры от

Пусть разложение Леви алгебры Если то в существует, и притом только один, элемент такой, что Если элементы а -скаляры, то

откуда

таким образом, -гомоморфизм алгебры на некоторую подалгебру алгебры Ядром гомоморфизма служит это пересечение является идеалом в 8 и, следовательно, полупростой алгеброй (предложение из § 2 гл. IV); оно также будет подалгеброй алгебры и тем самым — разрешимой алгеброй (предложение 3 § 1). Итак, и - изоморфизм. Ясно, что если обозначить эту алгебру через то формулы определяют ее разложение Леви. Таким образом, существует специальный автоморфизм алгебры переводящий в 8. Так как радикал алгебры есть то автоморфизм можно продолжить в специальный автоморфизм алгебры (лемма 2); если положить то разложение Леви алгебры содержит 8. Пусть некоторое другое разложение Леви алгебры такое, что Тогда существует специальный автоморфизм алгебры для которого Но если любой специальный автоморфизм алгебры то

Действительно, пусть где Тогда для всех откуда Теперь, если то -элемент из такой, что откуда Предложение 1, таким образом, доказано.

Предложение 2. Пусть алгебра Ли над полем характеристика 0, и пусть ее идеал, такой, что фактор-алгебра полупростая. Тогда существует подалгебра 8 алгебры такая, что является прямой суммой и 8.

Пусть радикал в и пусть разложение Леви алгебры Так как алгебра полупростая, то содержит и мы имеем

Ясно, что - идеал в Так как присоединенное представление алгебры полупросто, то прямая сумма идеала и некоторого своего идеала 8; ясно, что является тогда прямой суммой и

Определение 2. Пусть неприводимая алгебраическая группа над полем характеристики (соответственно связная группа и пусть ее алгебра Ли. Пусть радикал алгебры Неприводимая алгебраическая подгруппа (соответственно аналитическая подгруппа) группы алгебра Ли которой есть называется радикалом группы

Таким образом, радикал группы является ее нормальным делителем (следствие 2 предложения 11 из гл. III, п° 9, и следствие 2 предложения 11а из гл. III, п° 15).

Предложение 3. Радикал связной группы Ли есть замкнутая подгруппа в

Действительно, пусть замыкание группы Это замкнутый нормальный делитель в следовательно, его алгебра Ли идеал алгебры С другой стороны, группа разрешима (следствие предложения 10а § 3), так что разрешима (предложение 13 § 3). Так как то откуда

При тех же обозначениях, что и в определении 2, предположим, что разложение Леви алгебры Пусть алгебраическая группа; алгебра будучи полупростой, является тем самым алгебраической алгеброй (следствие предложения 9 из § 2 гл. IV) и, следовательно, алгеброй Ли некоторой неприводимой алгебраической подгруппы 5 группы Если группа Ли, то пусть -аналитическая подгруппа в алгебра Ли которой есть 8. Так как нормальный делитель в то группа порожденная группами совпадает с множеством произведений элементов из на элементы из 5. Эта группа — нормальный делитель в Действительно, пусть некоторый элемент группы Группа имеет своей алгеброй Ли образ алгебры 8 при где соответствует элементу в присоединенном представлении группы Так как автоморфизм алгебры то

и эта формула определяет разложение Леви алгебры Следовательно, существует элемент такой, что

Пусть тогда (предложение 15 из § 3 и том I, предложение 1 из гл. IV), откуда

но так как то откуда

Предложение 4. Пусть связная группа Ли, ее алгебра Ли, радикал группы радикал алгебры некоторое разложение Леви алгебры аналитическая подгруппа в для которой алгебра Ли. Тогда всякий элемент из записывается в виде произведения некоторого элемента из на некоторый элемент из

Это предложение является частным случаем следующего более общего результата:

Лемма 3. Пусть связная группа Ли, ее алгебра Ли, аналитические подгруппы в их алгебры Ли. Предположим, что Тогда группа, порожденная совпадает со всей группой существует окрестность единицы группы каждый элемент которой записывается по крайней мере одним способом в виде где

Пусть -отображение произведения аналитических многообразий в тогда очевидно, есть аналитическое отображение. Касательное пространство к многообразию в точке можно отождествить с произведением касательных пространств к в иначе говоря, — с На подмногообразии произведения В отображение совпадает с первой проекцией произведения отсюда следует, что отображает подпространство произведения на а; аналогично можно убедиться в том, что содержит Следовательно, это пространство содержит Но тогда из замечания к предложению 2 в гл. III тома I следует, что окрестность точки это доказывает второе утверждение леммы. Первое же утверждение следует из второго и из теоремы 1 § IV гл. II тома I.

Напротив, для алгебраических групп аналог предложения 4 не имеет места. Действительно, примем за группу где V — двумерное векторное пространство над полем рациональных чисел. Если -тождественный автоморфизм пространства V, то, как непосредственно видно, радикал группы состоит из скалярных кратных автоморфизма . В качестве можно выбрать алгебру эндоморфизмов пространства V со следом 0, так что Элемент из будет тогда иметь вид где рациональное число, отличное от автоморфизм с определителем 1; определитель такого элемента есть Обратно, всякий элемент из определитель которого равен квадрату рационального числа, представим в виде Пусть К — мультипликативная группа рациональных чисел, отличных от 0, и пусть группа квадратов элементов из Тогда группа изоморфна это бесконечная группа.

Впрочем, можно доказать, что если алгебраическая алгебра Ли над полем характеристики и идеал, состоящий из нильпотентных элементов радикала алгебры то всякий элемент из неприводимой алгебраической группы алгебра Ли которой есть записывается одним и только одним способом в виде где принадлежит неприводимой алгебраической группе для которой алгебра Ли, тогда как принадлежит неприводимой алгебраической подгруппе группы алгебра Ли которой изоморфна группе Поскольку этот результат нам в дальнейшем не понадобится, мы не будем его доказывать.