2. Применение к строению алгебраических алгебр

Предложение 5. Пусть алгебраическая алгебра Ли эндоморфизмов векторного пространства над нолем характеристики 0, и пусть наибольший ее идеал, состоящий из нильпотентных эндоморфизмов. Тогда можно представить в виде прямой суммы где а и 8 — подалгебры со следующими свойствами: а — абелева алгебраическая алгебра, и ее элементы полупросты, радикал алгебры есть алгебра 8 полупроста, и ее элементы перестановочны с элементами из а.

Алгебра алгебраическая алгебра (предложение 19 § 3), и множество нильпотентных элементов из (ср. теорему 3 § 2). Из предложения 20 § 3 следует поэтому, что - прямая

сумма идеала и некоторой абелевой алгебраической алгебры а, все элементы которой полупросты. Если то оператор полупрост, в силу следствия предложения 4 из § 4 гл. IV; отсюда видно, что присоединенное представление алгебры индуцирует полупростое представление алгебры а (теорема 4 из § 4 гл. IV). Таким образом, можно представить в виде прямой суммы радикала и некоторого пространства для которого Но так как идеал, то мы имеем также откуда Пусть подалгебра, состоящая из элементов алгебры перестановочных с элементами из а, и пусть тогда разрешимый идеал в Кроме того, алгебра изоморфна содержит Таким образом, изоморфна следовательно, полупроста; это показывает, что радикал в Пусть некоторое разложение Леви алгебры тогда алгебра полупроста и

а это показывает, что разложение Леви для Ясно, что алгебры а и 8 обладают требуемыми свойствами.

Предложение 6. Пусть алгебра Ли над полем характеристики 0; предположим, что ее образ при ее присоединенном представлении является алгебраической подалгеброй алгебры Пусть наибольший нильпотентный идеал алгебры Тогда можно представить в виде прямой суммы где подалгебры алгебры обладающие следующими свойствами: алгебра а абелева; радикал алгебры есть алгебра образ а при присоединенном представлении алгебры есть алгебраическая алгебра, и ее элементы полупросты, полупростая алгебра, и ее элементы перестановочны с элементами из а.

Пусть радикал в его образ при присоединенном представлении алгебры есть радикал алгебры (предложение 2 § 2). Из предложения 4 § 3 следует, что -идеал всех нильпотентных элементов из Таким образом, можно представить в виде прямой суммы алгебры и некоторой алгебраической алгебры а, которая является абелевой и все элементы которой полупросты. Пусть с — центр тогда с — ядро присоединенного представления. Так как тождественное отображение а в полупростое представление (теорема 4 § 4 гл. IV), то прямая сумма алгебры и некоторого

пространства отображаемого в себя операторами из а. Итак, и присоединенное представление алгебры индуцирует изоморфизм пространства Пусть а — множество тех для которых Оно является подпространством в Если принадлежат к а, то

с другой стороны,

так как алгебра а абелева. Отсюда вытекает, что а — абелева подалгебра алгебры Имеем откуда так как то отсюда следует, что Если то

откуда с и, значит, поскольку прямая сумма . С другой стороны, и по той же причине, как и выше, есть прямая сумма идеала и некоторого пространства допускающего операторы из а. Таким образом, Но пространство содержится также в поскольку идеал; следовательно, Пусть алгебра, состоящая из тех элементов из которые перестановочны с элементами из а; тогда Рассуждая как в доказательстве предложения 5, мы видим, что радикал алгебры и что если разложение Леви для то алгебра обладает требуемыми свойствами.