§ 3. Кратность нуля эндоморфизма

В этом параграфе мы будем обозначать через V конечномерное векторное пространство над полем К. Если надполе поля то через мы будем обозначать пространство, получаемое расширением основного поля до если А — эндоморфизм пространства V, то той же буквой А мы будем обозначать эндоморфизм пространства продолжающий А.

Пусть А — эндоморфизм векторного пространства Напомним, что характеристическим полиномом эндоморфизма А мы называем определитель эндоморфизма пространства где тождественный автоморфизм пространства V, а поле рациональных функций от переменной с коэффициентами из К. Корни этого полинома (в поле К или в его надполях) называются характеристическими корнями эндоморфизма

Если надполе поля то А имеет один и тот же характеристический полином, независимо от того, рассматривается ли он как эндоморфизм пространства V или пространства

Определение 1. Кратностью нуля эндоморфизма А пространства V мы будем называть кратность элемента О как характеристического корня эндоморфизма А.

Таким образом, если не является характеристическим корнем эндоморфизма А, т. е. если А — автоморфизм, то кратность нуля эндоморфизма А равна нулю и наоборот.

Предложение 1. Пусть А — эндоморфизм пространства V, и пусть подпространство в V, допустимое относительно А. Характеристический полином А равен произведению характеристических полиномов ограничения эндоморфизма А на и эндоморфизма А, индуцированного эндоморфизмом А в фактор-пространстве Кратность нуля эндоморфизма А равна сумме кратностей нуля эндоморфизмов

Пусть тождественные автоморфизмы пространств При тех же обозначениях, что и выше, пространство отображается в себя эндоморфизмом ограничение на есть а эндоморфизм пространства индуцированный при переходе в фактор-пространство есть Первое утверждение предложения 1 вытекает из хорошо известного свойства определителей. Второе утверждение легко следует из первого.

Следствие 1. Если пространство V является прямой суммой двух подпространств допустимых относительно эндоморфизма А, то характеристический полином эндоморфизма А равен произведению характеристических полиномов его ограничений на и на а кратность нуля эндоморфизма А равна сумме кратностей нуля эндоморфизмов

Это утверждение сразу следует из предложения 1, если учесть, что естественное отображение V на индуцирует изоморфизм на

Следствие 2. Для того чтобы эндоморфизм А пространства V был нильпотентен у необходимо и достаточно, чтобы его кратность нуля была равна размерности V

Мы докажем это свойство индукцией по размерности пространства Для доказывать нечего. Предположим, что и что следствие справедливо для пространств размерности Если эндоморфизм А нильпотентен, то существует элемент из V, для которого (том II, лемма 1 из § 8 гл. I). То же заключение можно сделать, если предположить, что кратность нуля эндоморфизма А равна Действительно, тогда и определитель эндоморфизма А (который с точностью до знака равен постоянному члену характеристического полинома от А) равен нулю, что и доказывает наше утверждение. Подпространство размерности 1, порожденное элементом х, отображается эндоморфизмом А на поэтому кратность нуля ограничения А на равна 1, а кратность нуля эндоморфизма А, индуцированного эндоморфизмом А в фактор-пространстве тем самым равна (предложение 1). Для того чтобы эндоморфизм А был нильпотентен, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы А был нильпотентен. Согласно предположению индукции, это эквивалентно равенству что и доказывает следствие 2 для

Предложение 2. Предположим, что -совершенное поле, и пусть А — эндоморфизм пространства Обозначим через полупростую компоненту эндоморфизма А, через пространство тех для которых а через пространство Тогда пространство V является прямой суммой пространств и отображаются в себя эндоморфизмом есть единственное подпространство в V, дополнительное к которое отображается в себя эндоморфизмом А. Пространство состоит из всех элементов пространства V, которые аннулируются степенями эндоморфизма размерность этого пространства равна кратности нуля эндоморфизма А. Ограничения эндоморфизмов на суть автоморфизмы этого пространства.

Как известно, 5 представим в виде полинома от А (том II, теорема 7 из § 8 гл. I) и поэтому перестановочен с А. Если то с другой стороны,

Следовательно, А отображает в себя. Так как эндоморфизм полупрост, то V является прямой суммой пространства и некоторого пространства для которого

Если какое-нибудь пространство, обладающее этим свойством, то

С другой стороны, так как то ограничение 5 на есть автоморфизм, так что

отсюда заключаем, что Если V — прямая сумма пространства и некоторого пространства которого то мы имеем также поскольку 5 — полином от отсюда следует, что Пусть множество всех векторов из которые аннулируются эндоморфизмом если нильпотентная компонента эндоморфизма то для всех . С другой стороны, так как 5 перестановочен с то он отображает в себя. Ограничение 5 на полупросто, но оно также нильпотентно, так как равно следовательно, это ограничение есть нуль. Так как то отсюда следует, что Это показывает, что ограничение А на является автоморфизмом. Ограничение А на совпадает с ограничением и является тем самым нильпотентным эндоморфизмом. Пусть, наоборот, элемент из V, для которого при некотором Положим так что Из этого равенства следует, что ; ограничение эндоморфизма А (и тем самым также ограничение на является автоморфизмом, так что Размерность пространства равна кратности нуля ограничения (следствие 2 предложения 1), между тем как кратность нуля ограничения А на равна 0. Поэтому, согласно следствию 1 предложения 1, размерность равна кратности нуля А.

Следствие. Если поле К совершенно, то кратность нуля эндоморфизма пространства V равна кратности нуля его полупростой компоненты.

Это утверждение немедленно следует из предложения 2.

Предложение 3. Пусть конечно-мерные векторные пространства над бесконечным полем К, и пусть неприводимое подмножество в Пусть для каждого -полиномиальное отображение пространстваи

в пространство эндоморфизмов пространства и пусть наименьшая из кратностей нуля эндоморфизмов для Тогда существует по меньшей мере один элемент такой, что для всех кратность нуля равна и множество всех х, обладающих этим свойством, относительно открыто в в смысле топологии Зариского.

Коэффициенты характеристического полинома эндоморфизма конечномерного векторного пространства являются, очевидно, полиномиальными функциями этого эндоморфизма. Характеристический полином эндоморфизма можно поэтому представить в виде

где размерность полиномиальные функции над Имеем для Пусть множество тех для которых множество относительно открыто и непусто. Отсюда вытекает (см. предложение 8 § 1), что множество относительно открыто и непусто, что и доказывает предложение 3.

Следствие. Пусть конечномерные векторные пространства над бесконечным полем К, и пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства Для каждого пусть рациональное отображение, всюду определенное на в пространство эндоморфизмов пространства и пусть наименьшая из кратностей нуля эндоморфизмов для Тогда существует по крайней мере одна точка такая, что для всякого кратность нуля эндоморфизма равна и множество всех обладающих этим свойством, есть относительно открытое подмножество в в смысле топологии Зариского.

Если то кратность нуля эндоморфизма по меньшей мере равна и существует элемент в для которого эта кратность точно равна Как и в доказательстве предложения 3, можно убедиться, что множество тех для которых кратность нуля равна относительно открыто. Но отображение непрерывно (предложение 6а из § 1, п° 3);

множество тех для которых кратность нуля эндоморфизма равна следозательно, относительно открыто и непусто. Таким образом, множество относительно открыто и непусто (предложение 8 § 1).