5. Симметрические и антисимметрические тензоры

Пусть V — векторное пространство. -тензорная алгебра над целое число и пространство однородных элементов степени пространства Каждой подстановке множества можно сопоставить оператор симметрии пространства это автоморфизм пространства

отображающий элемент вида в элемент если Бурбаки, Алгебра, гл. Если группа подстановок множества то отображение, сопоставляющее каждому соответствующий оператор симметрии, есть изоморфизм группы на некоторую группу автоморфизмов пространства мы будем обозначать той же буквой оператор симметрии, соответствующий подстановке

Элемент пространства называется симметрическим, если для всех операторов симметрии и антисимметрическим, если где есть или —1, в зависимости от того, четна подстановка или нечетна. Симметрические (соответственно антисимметрические) тензоры образуют, очевидно, подпространство (соответственно пространства

Предложение 5. Пусть V — пространство представления группы G (соответственно алгебры Ли -тензорная алгебра над пространством целое число пространство однородных элементов степени алгебры а тензорная степень (соответственно тензорная сумма) представления Тогда операторы из [соответственно из ] перестановочны с операторами симметрии пространства .

Предположим сначала, что представление группы О. Пусть некоторая подстановка множества Для автоморфизм переводит в

Итак, перестановочен с Предположим теперь, что V конечномерно, что алгебраическая группа всех автоморфизмов пространства V и что тождественное представление. Алгеброй Ли алгебраической группы является алгебра всех эндоморфизмов пространства тождественное отображение алгебры Пусть наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая группу операторы из перестановочны тогда с операторами симметрии пространства Но алгебра Ли группы содержится в оболочке этой группы (том II, гл. II, § 8,

предложение 6). Отсюда следует, что эндоморфизмы из этой алгебры Ли перестановочны с операторами симметрии, а по теореме 6 из § 9 гл. II (том II) тем же свойством обладают элементы из Мы видим, что если X — эндоморфизм пространства V, то ограничение на деривации алгебры продолжающей X, перестановочно с операторами симметрии. Это доказывает предложение 5 для случая представлений алгебр Ли. Конечно, нетрудно доказать это утверждение и прямой выкладкой.

Следствие. При обозначениях предложения 5 операторы из [соответственно из отображают в себя подпространства симметрических и антисимметрии ческих тензоров из

Это утверждение непосредственно вытекает из предложения 5.

Обозначим через какой-нибудь базис пространства Если последовательность элементов множества то через и мы обозначим элемент пространства тогда множество С элементов вида представляет собой базис Кроме того, операторы симметрии индуцируют подстановку в множестве С. Обозначим через группу всех операторов симметрии; множество С можно разбить на системы транзитивности по отношению к группе Если элемент С и если то обозначим через количество тех целых чисел для которых тогда Ясно, что элементы из С принадлежат одной и той же системе транзитивности тогда и только тогда, когда для всех Наоборот, пусть на множестве определена функция с целыми неотрицательными значениями, для которой Тогда совокупность всех для которых образует систему транзитивности множества С, и число различных элементов этой системы равно Обозначим через сумму элементов системы Элементы очевидно, симметрические. Если то ни один из элементов множества С не встречается с коэффициентом, отличным от нуля, одновременно в представлении элементов в базисе это показывает, что элементы линейно независимы. Если какой-нибудь симметрический элемент,

то два элемента множества С из одной и той же системы транзитивности входят с одинаковым коэффициентом в представление элемента в базисе С. Отсюда мы заключаем, что элементы образуют базис пространства 5 симметрических элементов.

Пусть теперь — антисимметрический элемент пространства записанный в виде линейной комбинации элементов из С. Для всякой подстановки совокупности очевидно, имеем Если характеристика поля К отлична от 2, что мы и будем предполагать, то отсюда следует, что при условии, что существует нечетная подстановка для которой Предположим, что

если для двух различных индексов то подстановка, переставляющая индексы и сохраняющая другие индексы, нечетна и переводит и в себя; тогда Для всякого состоящего из элементов множества выберем последовательность элементов из для которых и положим

где сумма распространяется на все подстановки совокупности Легко видеть, что элементы образуют базис пространства антисимметрических тензоров.

Предложение 6. Пусть V — векторное пространство над полем характеристики 0. Обозначим через соответственно тензорную, симметрическую и внешнюю алгебры над V, а через естественные отображения на Пусть, далее, целое неотрицательное число, а пространства однородных элементов степени в алгебрах Тогда индуцирует изоморфизм пространства симметрических элементов на индуцирует изоморфизм пространства антисимметрических элементов на

При тех же обозначениях, что и выше, пусть функция на множестве с целыми неотрицательными значениями, такая,

что Тогда

где произведение в правой части берется в алгебре Элементы для всех Функций удовлетворяющих указанным условиям, образуют базис пространства таким образом, индуцирует изоморфизм на С другой стороны, если - подмножество из элементов множества то элемент есть умноженное на произведение в алгебре А элементов с взятых в подходящем порядке. Таким образом, элементы взятые для всех подмножеств из элементов множества образуют базис пространства это доказывает второе утверждение предложения 6.