Глава V. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ АЛГЕБРАХ ЛИ

Резюме

Выходя за рамки теории полупростых и редуктивных алгебр, мы установим в настоящей главе ряд свойств самых общих алгебр Ли (над полями характеристики 0).

§ 1 посвящен разрешимым алгебрам. Их определение аналогично определению разрешимых групп. Группы Ли, алгебры Ли которых разрешимы, — это те группы, которые С. Ли и Э. Картан называли интегрируемыми, так как конечные уравнения этих групп можно получить квадратурами, исходя из структурных констант. Наиболее важное свойство разрешимых алгебр Ли выражается теоремой Ли: если разрешимая алгебра Ли и ее простое представление, то операторы из перестановочны между собой. Отсюда следует, что если основное поле алгебраически замкнуто, то степень представления равна 1. Из этого непосредственно вытекает, что если любое представление алгебры и если основное поле алгебраически замкнуто, то операторы из могут быть представлены треугольными матрицами; именно в этой форме Ли сформулировал свою теорему.

§ 2 посвящен понятиям радикала и наибольшего нильпотентного идеала алгебры Ли над полем характеристики 0. Радикал алгебры это наибольший разрешимый идеал в алгебра полупростая. С другой стороны, И. Д. Адо показал, что алгебра содержит также наибольший нильпотентный идеал алгебра редуктивна. Каждый элемент производной алгебры алгебры лежащий в лежит также Если линейная алгебра Ли, то множество нильпотентных элементов, принадлежащих к также образует идеал в содержащийся в но, вообще говоря, отличный от

§ 3 посвящен изучению неприводимых алгебраических групп (и связных групп Ли) которые разрешимы в смысле обычного определения теории групп. Оказывается, что это те и только те группы, алгебры Ли которых разрешимы, а для того чтобы группа была нильпотентна (в смысле определения Цассенхауза, см. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie), необходимо и достаточно, чтобы ее алгебра Ли была нильпотентна. Неприводимые алгебраические линейные группы алгебры Ли которых состоят из нильпотентных операторов, обладают замечательными свойствами. В такой группе канонические координаты (относительно некоторого базиса алгебры Ли) образуют систему координат для всей группы, причем координаты произведения двух элементов выражаются полиномами от координат множителей. Кроме того, образ такой группы при любом рациональном представлении всегда будет алгебраической группой (для

произвольных же алгебраических групп это не так) и будет принадлежать к тому же классу групп, что и

Если неприводимая разрешимая линейная алгебраическая группа, то мы покажем, что существуют две ее подгруппы обладающие следующими свойствами: обе они неприводимы; нормальный делитель в (А этим свойством, вообще говоря, не обладает); элементы алгебры Ли группы суть нильпотентные элементы алгебры Ли группы группа А абелева, и ее элементы полупросты; каждый элемент группы представим, и притом единственным образом, в виде произведения элемента из на элемент из А. Группа А в общем случае определена неоднозначно; но она однозначно определена в случае, когда нильпотентна; в этом случае А состоит из всех полупростых элементов группы

Самым мощным инструментом для изучения общих алгебр Ли является теорема Ф. В. Леви, согласно которой всякая алгебра Ли (над полем характеристики 0) есть прямая сумма своего радикала и некоторой полупростой алгебры 3, определенной, вообще говоря, неоднозначно. § 4 посвящен доказательству этой теоремы и важного дополнения к ней, установленного А. И. Мальцевым: все полупростые алгебры с указанными свойствами могут быть получены друг из друга автоморфизмами алгебры и даже автоморфизмами определенного типа (в частности, операторами группы, присоединенной для если алгебра Ли группы Ли Доказательство теоремы Левй, которое мы приводим, принадлежит Уайтхэду; оно близко примыкает к теории когомологий алгебр Ли — теории, которую мы будем изучать позднее.

§ 5 содержит доказательство Хариш-Чандра теоремы которая утверждает, что всякая алгебра Ли над полем характеристики допускает точное линейное представление. Эта теорема была установлена трансцендентными методами Э. Картаном, а алгебраическими методами — (доказательство содержало некоторые пробелы), Ивасава (его доказательство применимо также к случаю алгебр Ли надполем характеристики Хохшильдом и Хариш-Чандра. Из теоремы непосредственно следует, что всякая алгебра Ли над полем вещественных чисел является алгеброй Ли некоторой аналитической группы (третья основная теорема Ли).

§ 6 посвящен изучению универсальной алгебры алгебры Ли над полем характеристики 0. Пусть базис в и пусть

Алгебра это ассоциативная алгебра, порожденная своим единичным элементом и элементами которые по предположению связаны соотношениями

Всякое представление алгебры Ли может быть продолжено в некоторое представление ассоциативной алгебры именно поэтому рассмотрение играет важную роль в недавних исследованиях представлений бесконечной степени групп Ли. К сожалению, о строении алгебры

известно очень мало, даже в простейших случаях. Следуя Хариш-Чандра, мы покажем, что существует линейное взаимно однозначное (но не мультипликативное!) соответствие между элементами алгебры и элементами симметрической алгебры над мы установим, кроме того, что если алгебра Ли неприводимой алгебраической группы то изоморфна алгебре дифференциальных операторов, инвариантных справа, над полем рациональных функций над Аналогичный результат справедлив также в случае, когда алгебра Ли группы Ли если вместо поля рассматривать алгебру аналитических функций над