3. Неприводимые множества

В гл. II (том II) мы назвали алгебраическую группу автоморфизмов векторного пространства неприводимой, если ей

соответствует простой идеал. Обобщая это понятие, мы дадим следующее определение:

Определение 3. Непустое подмножество пространства V называется неприводимым, если идеал, соответствующий множеству простой, иначе говоря, кольцо полиномиальных функций на является областью целостности.

Мы покажем, что свойство множества быть неприводимым может быть выражено условиями, формулируемыми исключительно в понятиях топологии пространства индуцированной топологией Зариского пространства

Предложение 8. Пусть непустое подмножество пространства Тогда следующие условия эквивалентны: а) множество неприводимо; б) всякое непустое относительно открытое подмножество множества плотно в пересечение конечного числа открытых непустых подмножеств множества непусто.

Напомним, что подмножество плотно в тогда и только тогда, когда оно имеет непустое пересечение с каждым непустым относительно открытым подмножеством множества отсюда видно, что условие б) следует из условия в). Предположим, что выполнено условие б), и докажем индукцией по что

где — непустые подмножества в открытые в Это утверждение очевидно для оно справедливо для согласно условию б). Предположим, что и что утверждение верно для множество открыто в и непусто; отсюда получаем

что и доказывает утверждение для Итак, условия б) и в) эквивалентны. Заметим теперь, что для множество элементов таких, что открыто в и непусто, если Предположим, что условие б) выполнено, и пусть функции из такие, что Пусть (соответственно множество тех для которых [соответственно Так как то и относительно открытые непустые подмножества в таким образом, откуда

следует, что Это показывает, что множество неприводимо. Предположим теперь, наоборот, что множество неприводимо, и пусть относительно открытые подмножества в Пусть дополнения множеств относительно Е: это подмножества в не равные и относительно замкнутые в Так как ни ни не плотны в то существуют функции из такие, что функция равна нулю на на Так как неприводимо, то если такой элемент из что то следовательно, Предложение 8 доказано.

Предложение 9. Для того чтобы подмножество было неприводимым, необходимо и достаточно чтобы его замыкание было неприводимым.

Действительно, так как множество плотно в то гомоморфизм ограничения кольца на является изоморфизмом первого кольца на второе (предложение 3).

Предложение 10. Пусть неприводимое подмножество пространства надполе поля К. Множество также неприводимо, если его рассматривать как погруженное в пространство

Это утверждение непосредственно следует из предложения 8 и из того факта, что топология Зариского пространства V индуцируется на V топологией Зариского пространства (предложение 2).

Следствие. Пусть неприводимое подмножество в V, и пусть А — (ассоциативная и коммутативная) алгебра без делителей нуля над полем Тогда и алгебра без делителей нуля.

Пусть поле отношений кольца А. Алгебра является подкольцом алгебры Но это кольцо полиномиальных функций над множеством рассматриваемым как подмножество пространства (предложение 4); согласно предложению 10, это кольцо не имеет делителей нуля.

Предложение 11. Пусть конечномерные векторные пространства над полем неприводимое множество в неприводимое множество в Тогда неприводимое множество в

Действительно, алгебра изоморфна алгебре (предложение 7), которая, согласно следствию предложения 10, не имеет делителей нуля.

Предложение 12. Пусть неприводимое множество в -полиномиальное отображение в конечномерное векторное пространство над полем К. Тогда множество неприводимо в

Пусть относительно открытое непустое подмножество Так как отображение непрерывно (предложение 6), то относительно открытое подмножество в оно, конечно, непусто. Следовательно, это множество плотно в Так как отображение непрерывно, то множество плотно в

Замечание. Без особых трудностей можно было бы распространить на любые неприводимые множества понятие рационального отображения, определенного в § 4 гл. II (том II) для неприводимых алгебраических групп. Мы этого здесь делать не будем, так как нам придется рассматривать рациональные, но не полиномиальные отображения исключительно для случая групп. Но мы обобщим предложение на случай рациональных отображений неприводимых алгебраических групп:

Предложение Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть рациональное всюду определенное отображение группы в конечномерное векторное пространство Тогда отображение непрерывно.

Проводя те же рассуждения, что и в доказательстве предложения мы видим, что достаточно показать следующее: если полиномиальная функция над пространством то множество тех точек для которых относительно замкнуто. Но есть рациональная функция определенная на всей группе а -множество тех для которых Для доказательства относительной замкнутости множества достаточно показать, что для каждого существует множество относительно открытое в содержащее и такое, что пересечение относительно замкнуто в Но существуют такие полиномиальные функции на группе что

В качестве множества мы выберем множество всех для которых Тогда пересечение есть множество тех для которых следовательно, это пересечение замкнуто в что и доказывает предложение