3. Лемма Хариш-Чандра

Лемма 4 (лемма Хариш-Чандра). Пусть разрешимая алгебра Ли над полем характеристики ее наибольший нильпотентный идеал, а ее голоморф. Предположим, что существует точное представление алгебры такое, что все элементы из нильпотентны. Тогда существует точное представление алгебры со следующими свойствами: если и если нильпотентная деривация алгебры то оператор нильпотентен.

Пусть универсальная алгебра над Если - естественное отображение алгебры то существует гомоморфизм алгебры в алгебру эндоморфизмов пространства представления такой, что

(см. предложение 1). Так как представление точное, то очевидно, есть взаимно однозначное отображение. Отождествим алгебру с ее образом в при отображении Обозначим через ядро гомоморфизма оно является двусторонним идеалом в мы построили отображение X алгебры в алгебру эндоморфизмов векторного пространства Учитывая тот факт, что мы отождествили алгебру с подпространством в мы видим, что для оператор умножения слева на , тогда как для деривация алгебры продолжающая Если элементы из то, как мы видели,

Обозначим через ассоциативную алгебру эндоморфизмов пространства порожденную тождественным автоморфизмом 1 и элементами из и пусть множество тех для которых при всех Так как то Покажем, что двусторонний идеал. Ясно, что операторы из отображают в себя. Если то деривация алгебры отображающая в себя; отсюда следует, что отображает в себя двусторонний идеал порожденный (том II, предложение 3 из § 3 гл. I). Из этого можно заключить, что все операторы из отображают в себя. Так как то также значит, операторы из отображают так что следовательно, это показывает, что двусторонний идеал. Мы уже видели, что операторы из отображают в себя; то же можно сказать и об операторах из так как левый идеал. Таким образом, если то отображает в себя. Обозначим через эндоморфизм пространства индуцированный оператором при переходе к фактор-пространству Мы установим конечномерность отсюда будет следовать, что представление алгебры

Обозначим через длину представления и через — подпространство в порожденное произведениями элементов из Алгебра изоморфна некоторой подалгебре алгебры эндоморфизмов пространства представления размерность этой алгебры конечна. Из леммы 1 следует, что пространство конечной размерности. Для доказательства конечномерности достаточно поэтому показать, что

Пусть двусторонний идеал, порожденный в элементами наибольшего нильпотентного идеала алгебры Так как алгебра разрешима, то для всех (предложение 5 § 2); отсюда следует, что отображает предложение 3 из § 3 гл. I). Для целых неотрицательных чисел сумма которых равна через За значим подпространство в порожденное произведениями множителей, из которых а принадлежат к к тогда Если элементы из то преобразует произведение в сумму произведений, получаемых из их заменой одного из множителей, скажем элементом Так как то ясно, что отображает себя. Отсюда мы можем заключить, что пространство За отображается в себя всеми операторами из алгебры порожденной автоморфизмом и элементами из Если мы покажем, что а Ж» то отсюда будет следовать, согласно определению идеала что так что Но для так как двусторонний идеал; значит, достаточно показать, что с т. е. что Но содержится в векторном пространстве; порожденном произведениями элементов из идеала, порожденного множеством по теореме 3 § 2 все эти произведения равны нулю. Итак, мы доказали, что размерность пространства конечна, следовательно, представление алгебры Остается проверить, что это представление обладает требуемыми свойствами. Покажем сначала, что оно — точное представление. Пусть элемент из для которого Это означает, что отображает Но деривация так что если -единичный элемент из Поэтому

но ядро представления есть » и оно равно так как представление точное; следовательно, Отсюда мы заключаем, что отображает и тем самым в Но если то элемент принадлежит поскольку он лежит также в он, как мы видели, должен быть равен нулю. Это верно для всех следовательно, поэтому представление точное.

Пусть теперь нильпотентная деривация алгебры и -элемент из Так как идеал в I), то подпространство в порожденное алгеброй и элементом является подалгеброй, идеалом в Размерность алгебры равна или 1, так что эта алгебра разрешима. Поэтому из предложения 6 § 1 вытекает, что алгебра разрешима, а из теоремы 3 § 2 — что множество тех для которых оператор нильпотентен, есть идеал в Для доказательства нильпотентности оператора достаточно, следовательно, установить нильпотентность операторов Если то для каждого целого имеем

и существует такое что

для всех Если обозначает класс элемента то

для всех Но, очевидно, деривация алгебры и эта алгебра порождается своим единичным элементом и элементами для Поэтому из леммы 3 вытекает, что оператор нильпотентен. С другой стороны, для всех имеем

так как то мы видим, что отображает алгебру в множество, обозначенное выше через а мы показали, что это множество содержится в Отсюда следует, что

Лемма Хариш-Чандра доказана.

Замечание. Алгебра является алгеброй Ли группы автоморфизмов алгебры (том II, теорема 16 из § 14 гл. II); значит, это алгебраическая алгебра Ли. Покажем, что построенное нами представление алгебры индуцирует рациональное представление алгебры Обозначим через тензорную алгебру над тогда ее фактор-алгебра по идеалу можно отождествить с фактор-алгеброй алгебры по некоторому идеалу содержащему Для целого обозначим

через пространство однородных элементов степени из , а через пространство Пусть естественное отображение алгебры на Тогда объединение подпространств образующих возрастающую последовательность; так как оно конечномерно, то существует такое, что Пусть число выбрано именно так, что выполняется это условие. Если то эндоморфизм пространства можно продолжить в деривацию алгебры . С другой стороны, ясно, что деривация алгебры [напомним, что оператор, индуцированный деривацией алгебры при переходе к фактор-алгебре Таким образом, отображения суть косые деривации типа алгебры в алгебру предложение 1 § 3 гл. I), и они совпадают на множестве следовательно, они тождественны. Обозначим через ограничение оператора на тогда представление индуцируется представлением при переходе к фактор-алгебре Но если тождественное отображение алгебры в то представление эквивалентно декартовой сумме тензорных сумм отображения для Из предложения 30 гл. III, п° 14, вытекает, таким образом, что представление и ограничение представления на являются рациональными.