Глава IV. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ

Резюме

Самым важным классом алгебр Ли является класс полупростых алгебр. С одной стороны, алгебры Ли "классических групп — это либо полупростые алгебры, либо произведения полупростых и абелевых алгебр Ли. С другой стороны, в случае полупростых алгебр исследование структуры алгебр Ли и их представлений может быть проведено гораздо дальше, чем в общем случае; если основное поле алгебраически замкнуто или же является полем вещественных чисел, то Изучение можно провести вплоть до полной классификации полупростых алгебр.

Теория полупростых алгебр зиждется на двух фундаментальных теоремах — на теореме Э. Картана и на теореме Г. Вейля. Первая из них дает необходимый и достаточный признак полупростоты для алгебры Ли над полем характеристики 0: фундаментальная билинейная форма алгебры Ли (ср. определение 1 в § 2) должна быть невырождена. Вторая утверждает, что всякое представление полупростой алгебры — полупростое.

§ 1 содержит доказательство теоремы Энгеля об алгебрах Ли, состоящих из нильпотентных линейных операторов. Эта теорема используется при доказательстве свойств полупростых алгебр.

В § 2 мы принимаем критерий Картана за определение понятия полупростой алгебры Ли. Обычное определение этого понятия гласит: алгебра Ли называется полупростой, если она не имеет разрешимых идеалов, отличных от Легко видеть, что это требование равносильно тому, что алгебра не должна содержать абелевых идеалов, отличных от Как мы покажем, это последнее условие равносильно полупростоте рассматриваемой алгебры. Нам казалось желательным как можно скорее ввести в рассмотрение полупростые алгебры и их свойства, без предварительного изучения понятия разрешимой алгебры. Мы ограничиваемся алгебрами Ли над полем характеристики 0, так как только для этого случая существует связная теория; отметим, что, как недавно доказал Джекобсон, всякая отличная от алгебра Ли над полем характеристики допускает не полупростые представления. Доказательство теоремы Картана, которое мы даем в § 2, существенно облегчается знакомством со свойствами линейных алгебраических алгебр (ср. гл. II) и особенно — с признаком нильпотентности линейного отображения: линейное отображение X нильпотентно тогда и только тогда, когда для всякой реплики X от

§ 3 содержит доказательство теоремы Вейля. Первоначальное доказательство Вейля использовало тот факт, что представления

компактных групп Ли полупростые, и тем самым понятие интегрирования на компактных группах. Позже Б. Л. Ван дер Варден и Дж. Г. П. Уайтхэд дали алгебраические доказательства; мы предлагаем здесь новое доказательство. Как и в предыдущих, в нем используются свойства оператора Казимира представления полупростой алгебры это некоторый оператор на пространстве представления, перестановочный с операторами из содержащийся в ассоциативной алгебре, порожденной операторами из и его след равен размерности алгебры значит, след отличен от 0, если не есть нулевое представление. Пусть теперь V — пространство представления его подпространство размерности допустимое относительно внешняя сумма представления определена в пространстве однородных элементов степени внешней алгебры над Пространству соответствует в подпространство размерности 1 (это соответствует возможности представления подпространств пространства V плюккеровскими координатами). Кроме того — и в этом ключ нашего доказательства, — каждому подпространству пространства дополнительному к соответствует дополнительное к подпространство (лемма 3 из § 3), и если допустимо относительно то допустимо относительно Таким образом, доказательство существования дополнительного к подпространства в V, допустимого относительно сводится к случаю, когда размерность равна 1, и затем проводится с использованием свойств оператора Казимира.

§ 4 посвящен понятию редуктивной алгебры, введенному Ж. Л. Козюлем. Редуктивные алгебры — это такие алгебры, у которых производные алгебры полупросты; они изоморфны произведениям абелевых и полупростых алгебр. Важность их связана с тем, что алгебры Ли компактных групп всегда редуктивны, но не всегда полупросты; кроме того, алгебра Ли полной линейной группы — редуктивная, но не полупростая алгебра. Теорема Вейля отчасти обобщается на случай редуктивных алгебр Ли: представление редуктивной алгебры Ли полупросто тогда и только тогда, когда оно индуцирует полупростое представление центра алгебры. С другой стороны, для того чтобы алгебра Ли над полем характеристики была редуктивна, необходимо и достаточно, чтобы она обладала по меньшей мере одним точным полупростым представлением. Отметим существенную разницу между случаем алгебр Ли и случаем ассоциативных алгебр: в последнем всякая алгебра, допускающая точное полупростое представление, сама полупроста и, следовательно, все ее представления полупросты.

§ 5 посвящен алгебраическим группам и полупростым группам Ли; его цель — распространить на эти группы теоремы о полупростоте представлений, имеющие место для алгебр Ли. Как известно, всякое представление конечной группы над полем характеристики полупростое. Мы обобщим этот результат и установим, что если представление группы над полем характеристики индуцирует полупростое представление некоторого нормального делителя конечного индекса группы то и само представление полупросто; этот результат, видимо, новый. Он позволяет показать, что всякое непрерывное представление группы Ли, которая имеет только конечное число связных компонент и алгебра Ли которой полупроста, будет полупростым представлением. В общем случае этот результат, очевидно, не имеет места, если связная компонента единицы группы

имеет в бесконечный индекс, ибо тогда могут существовать не полупростые представления группы

В § 6 мы покажем, что алгебры Ли "классических" групп полупросты или редуктивны; мы установим также существование ряда изоморфизмов (впрочем, хорошо известных) между классическими алгебрами Ли малых степеней.

§ 7 посвящен изучению простых алгебр Ли размерности 3 и их представлений. Полученные здесь результаты играют важную роль при изучении наиболее общих полупростых алгебр Ли.