§ 4. Редуктивные алгебры

1. Представления редуктивных алгебр

Определение I. Алгебра Ли над полем характеристики называется редуктивной, если фактор-алгебра алгебры по ее центру есть полупростая алгебра.

Теорема 4. Пусть представление редуктивной алгебры Ли Для того чтобы оно было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы для каждого элемента С центра с алгебры эндоморфизм пространства представления был полупростым.

Временно назовем представления алгебры обладающие свойством, сформулированным в теореме 4, регулярными. Пусть регулярное представление алгебры и пусть допустимое подпространство пространства V представления Тогда и представления, индуцированные в и фактор-пространстве регулярны (том II, гл. I, § 8, предложение 6). Полная внешняя сумма представления также регулярна в силу предложения 3 из § 8 гл. I (том II). Покажем теперь, что всякое регулярное представление алгебры обладает свойством из § Пусть -пространство представления одномерное допустимое подпространство в предположим, что Пусть отличный от элемент из тогда для мы имеем где — линейная функция на Очевидно, каковы бы ни были из Обозначим через тождественный автоморфизм пространства V и положим для линейное отображение; учитывая, что перестановочен со всеми эндоморфизмами пространства V и что для всех из мы убеждаемся, что

иначе говоря, есть представление алгебры Если то эндоморфизм отображает в себя те же подпространства, что и ; представление следовательно, регулярно, и достаточно показать, что оно обладает свойством Для

обозначим через пространство Так как перестановочно с элементами из то допустимо относительно Пространство не содержит элемента Действительно, так как эндоморфизм полупростой, то V — прямая сумма пространства элементов, аннулируемых эндоморфизмом и пространства отображаемого эндоморфизмом в себя; очевидно, С другой стороны, из определения представления следует, что так как сумма прямая, то Итак, если по крайней мере для одного то обладает свойством Если же это не так, то и если тор зависит только от класса X элемента Если положить то будет представлением полупростой алгебры следовательно, полупростым представлением (теорема Вейля). Кроме того, относительно допустимы те же подпространства, что и относительно таким образом, представление полупростое и, значит, обладает свойством Теперь из лемм 2 и 4 § 3 следует, что всякое регулярное представление алгебры полупростое.

Необходимость условия непосредственно вытекает из более общего утверждения:

Лемма 1. Пусть V — конечномерное векторное пространство над совершенным полем и некоторое множество эндоморфизмов пространства предположим, что пространство V, рассматриваемое как операторное векторное пространство с областью операторов полупросто. Тогда, если эндоморфизм А из перестановочен со всеми элементами из то он полупростой.

Пусть нильпотентная компонента эндоморфизма А, и пусть множество тех для которых Так как эндоморфизм представим в виде полинома от А (см. том II, теор. 7 из § 8 гл. I), то он перестановочен со всеми элементами из Если то так что Таким образом, пространство V есть прямая сумма пространства и некоторого подпространства отображаемого в себя операторами из Имеем откуда так как полином от А. Ограничение эндоморфизма на есть нильпотентный эндоморфизм пространства Так как то не аннулирует никакого отличного от элемента из Если бы теперь пространство было отлично от то в нем существовал бы отличный от

вектор, который переходил бы в при лемма 1 из § 8 гл. I), что, как мы видели, не имеет места. Итак, откуда что и доказывает полупростоту А.

Следствие 1. Для того чтобы представление абелевой алгебры Ли а над полем характеристики было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы для всех был полупростым эндоморфизмом пространства представления

Следствие 2. Для того чтобы представление редуктивной алгебры Ли было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы оно индуцировало полупростое представление центра

Это вытекает непосредственно из теоремы 4 и следствия 1.