Глава VI. АЛГЕБРЫ И ГРУППЫ КАРТАНА

Резюме

Пусть алгебра Ли над полем характеристики . Э. Картан открыл существование одного замечательного класса подалгебр в которые мы будем называть здесь алгебрами Картана. Изучение этих подалгебр и их расположения в является ключом всех результатов, относящихся к полупростым алгебрам, более точных, чем общие теоремы гл. IV. Гл. VI посвящена изучению алгебр Картана и соответственно групп Картана неприводимой алгебраической группы или связной группы Ли.

Первые три параграфа являются подготовительными. В первом из них изучается топология векторного пространства, введенная Зариским, топология, в которой замкнутыми множествами являются алгебраические множества (т. е. множества, определенные системой алгебраических уравнений). Таким образом, подмножество содержащееся в некотором подмножестве векторного пространства V, открыто относительно если оно состоит из точек множества не удовлетворяющих некоторой системе алгебраических условий. Такое множество состоит из точек множества которые с известной точки зрения являются "общими", в том смысле, в каком этот термин применяется специалистами по алгебраической геометрии. Современная алгебраическая геометрия предпочитает употреблять "общие точки", которые являются общими со всех точек зрения одновременно: эти точки не удовлетворяют никаким алгебраическим условиям, помимо тех, которым удовлетворяют все точки множества Неудобство таких точек состоит в том, что они являются точками не пространства V, а некоторых векторных пространств, получаемых из V расширением основного поля. Мы уже пользовались такими точками в гл. II, и, возможно, их употребление в некоторых местах неизбежно. Но теперь нам кажется, что употребление топологйи Зариского почти всегда предпочтительно с точки зрения ясности и удобства в вопросах, в которых речь идет о множестве точек некоторого алгебраического многообразия с координатами из некоторого заданного поля.

§ 2 посвящен множеству образов точек некоторого подмножества векторного пространства при отображениях, определяемых операторами из некоторой линейной группы, действующей на этом пространстве; множество мы будем называть орбитой множества Мы покажем, каким образом рассмотрение направляющего пространства (т. е. касательного пространства, подвергнутого такому параллельному переносу, что точка касания попадает в начало координат) часто позволяет легко определить размерность орбиты множества

В § 3 мы изложим хорошо известное естественное разложение векторного пространства V относительно некоторого эндоморфизма А: V есть прямая сумма векторного пространства в котором А индуцирует нильпотентный эндоморфизм, и пространства в котором А индуцирует автоморфизм. Размерность пространства равна показателю наивысшей степени переменной, делящей характеристический полином эндоморфизма мы назовем это число кратностью нуля эндоморфизма А.

В § 4 изучаются алгебры Картана алгебры Ли и группы Картана неприводимой алгебраической группы Алгебры Картана мы определяем иначе, чем это делал сам Картан (его определение основывалось на свойстве, сформулированном в первом утверждении предложения 16): для нас алгебра Картана алгебры а — это нильпотентная подалгебра в а, совпадающая со своим нормализатором в а. Что касается групп Картана неприводимой алгебраической группы то по сути дела это неприводимые алгебраические подгруппы в алгебры Ли которых являются алгебрами Картана алгебры Ли группы Мы же определим понятие группы Картана некоторой группы основываясь только на понятиях чистой теории групп: группа Картана группы есть максимальная нильпотентная подгруппа группы такая, что всякий нормальный делитель конечного индекса в также подгруппа конечного индекса в своем нормализаторе в Мы покажем, что для случая алгебраических групп это определение эквивалентно указанному выше. Если основное поле алгебраически замкнуто, то группы Картана неприводимой алгебраической группы все между собой сопряжены в в случае, когда основное поле алгебраически не замкнуто, это, вообще говоря, не так. Если группа полупростая, то ее группы Картана абелевы и их элементы полупросты; эта теорема открывает путо к изучению корней полупростой алгебры Ли а также к изучению весов представлений алгебры это изучение составит предмет гл. VII.

§ 5 посвящен изучению групп Картана связной группы Ли Это замкнутые подгруппы в и их алгебры Ли являются алгебрами Картана алгебры Ли группы Следует отметить, что группы Картана группы вообще говоря, не связны. Но это свойство имеет место в случае компактной группы в этом случае группы Картана группы максимальные абелевы подгруппы в и они все между собой сопряжены. Далее, в этом случае каждый элемент из принадлежит по меньшей мере одной группе Картана; это утверждение не справедливо для некомпактных групп Ли, даже если они полупросты.