11. О симметрических билинейных формах

Предложение 19. Пусть V — конечномерное векторное пространство, В — билинейная симметрическая форма над пространство, дуальное к линейное отображение естественно соответствующее форме В. Продолжим отображение в унитарный гомоморфизм тензорной алгебры над V в тензорную алгебру над Обозначим через пространства однородных элементов степени 2 алгебр Тогда форму В можно рассматривать как элемент пространства при этом она будет принадлежать образу пространства при отображении Можно считать также, что билинейная форма В определяет линейную функцию на пространстве ее мы вновь обозначим через В. Пусть размерность подпространства пространства Если такой элемент пространства что то -единица основного поля).

Пусть -базис пространства Для линейную функцию над V можно представить в виде линейной

комбинации элементов с некоторыми коэффициентами, которые мы обозначим через тогда

Ясно, что функции лйнейны: это элементы у. пространства Форма В, рассматриваемая как элемент пространства представима в виде

Из тождества следует, что всякая функций вида где представима в виде линейной комбинации элементов следовательно, элементы у также образуют базис пространства Пусть элементы пространства для которых

тогда так действительно

Для мы имеем

Так как функции у линейно независимы, то можно заключить что Равным образом

Пусть ядро отображения пространства Так как то элементы линейно независимы и могут быть включены в некоторый базис пространства V, такой, что для всех Элементы тоже могут быть включены в некоторый базис пространства V, такой, что если Итак,

если по крайней мере один из индексов больше Пусть теперь элемент пространства для которого его можно представить в виде

где — элементы основного поля. Имеем

так что

и предложение 19 доказано.

Предложение 20. Сохраняя обозначения предложения 19, предположим дополнительно, К — пространство представления группы (соответственно алгебры Ли ), что В — инвариантный (соответственно гармонический) элемент относительно и что V — прямая сумма ядра отображения и некоторого подпространства допустимого относительно представления Тогда существует один и только один элемент подпространства пространства такой, что инвариант (соответственно гармонический элемент) относительно

Мы будем пользоваться обозначениями доказательства предложения 19. Имеем

можно, следовательно, предположить, что элементы принадлежат Тогда элементы образуют базис пространства из доказательства предложения 19 следует, что единственным элементом пространства для которого является

Для доказательства того, что инвариантный (соответственно гармонический) элемент, установим сначала следующий результат:

Лемма 2. Пусть целое неотрицательное число, а тензорные степени (соответственно тензорные суммы) представления и дуального к нему

представления Тогда ограничение отображения на пространство есть ковариант представлений и

Предположим сначала, что представление группы. Для обозначим через и автоморфизмы алгебр и , продолжающие автоморфизмы и соответственно. Отображения и — унитарные гомоморфизмы алгебры в алгебру 7, совпадающие на пространстве скольку форма В инвариантна. Следовательно, рассматриваемые гомоморфизмы равны, и для этого случая лемма 2 доказана. Предположим теперь, что представления алгебры Ли Для обозначим через деривации алгебр продолжающие соответственно эндоморфизмы и Отображения являются косыми деривациями типа алгебры в алгебру совпадающими на пространстве Следовательно, они тождественны друг другу, и лемма 2 доказана также для случая представлений алгебр Ли.

Так как пространство допустимо относительно представления то, как легко видеть, допустимо относительно Если представление группы, то для всех и

Но отображение индуцирующее изоморфизм на индуцирует, конечно, изоморфизм на Отсюда следует, что Предположим теперь, что представление алгебры Ли Тогда для имеем

откуда , так как этот элемент принадлежит Предложение 20 доказано.