4. Неприводимость групп Картана

Предложение 12. Если любой элемент из та

Покажем сначала, что можно ограничиться случаем алгебраически замкнутого поля К. Пусть алгебраически замкнутое надполе поля образ элемента 5 при присоединенном представлении группы есть автоморфизм пространства продолжающий Если обозначить через тождественный, автоморфизм пространства то имеет тот же характеристический полином, а следовательно, и ту же кратность, нуля, что и Пространство элементов из аннулируемых степенями оператора — содержит и и имеет ту же размерность, что и это пространство таким образом, совпадает с Неприводимая подгруппа в для которой алгебра Ли, есть группа получаемая из расширением основного поля до и

(том II, теорема 3 из § 5 гл. II и предложение 2 из § 8 гл. II). Если, следовательно, элемент 5 принадлежит то можно заключить, что

Итак, предположим, что поле К алгебраически замкнуто. Обозначим через такой элемент из что алгебраическая компонента единицы в одной из групп Картана группы и содержит (см. предложение 11). Пусть (соответственно множество элементов, сопряженных к элементам множества [соответственно Так как то из предложения 10 следует, что густы и плотны в Поэтому каждое из этих множеств содержит непустое и относительно открытое подмножество группы Но если W - какое-либо относительно открытое подмножество в и если то также относительно открыто; отсюда следует, что объединение множеств для всех относительно открыто. Имеем

для всех отсюда заключаем, что существуют непустые относительно открытые подмножества такие, что

для всех Пусть множество регулярных элементов из это относительно открытое непустое подмножество в для всех (предложения 6 и 7). Так как группа неприводима, множество непусто (предложение 8 § 1); имеет место равенство

для всех Так как каждый элемент из является сопряженным к некоторому элементу из то очевидно, что есть непустое относительно открытое подмножество в Таким образом, множество тех для которых относительно открыто и непусто, и множество элементов таких, что и содержит относительно открытое непустое подмножество группы (следствие 2 предложения 8). Так как группа неприводима, то из предложения 8 § 1 вытекает, что существует элемент обладающий следующими свойствами: элемент регулярен, и существует элемент

для которого Так как группа, сопряженная к группе Картана, сама является группой Картана, то есть алгебраическая компонента единицы в некоторой группе Картана группы Элемент регулярен и принадлежит следовательно, (следствие 1 теоремы 1). Так как то так что следовательно, поскольку

Предложение 13. Если элемент из то алгебра совпадает со своим нормализатором в Всякая алгебра Картана алгебры является также алгеброй Картана алгебры

Представим в виде прямой суммы алгебры и некоторого подпространства допустимого относительно оператора Так как нормализатор алгебры содержит то для доказательства первого утверждения достаточно показать, что не содержит ни одного отличного от элемента из нормализатора алгебры Имеем (предложение 8). Пусть -элемент из принадлежащий нормализатору алгебры Если то принадлежит Отсюда следует, что перестановочен со всеми элементами из (предложение 12 из гл. III, п° 9), откуда

поскольку Но индуцирует автоморфизм в пространстве (предложение 8); значит, Покажем теперь, что множество тех для которых является алгеброй Картана и алгебры и алгебры густо и плотно в Пусть множество элементов из регулярных относительно множество элементоз из регулярных относительно множество элементов для которых

Учитывая следствие 2 предложения 8, следствие предложения 10 и тот факт, что мы убеждаемся, что каждое из множеств содержит непустое относительно открытое подмножество группы Тем самым есть густое плотное подмножество в (предложение 8 § 1); пусть какой-нибудь элемент из этого множества. Применяя к те рассуждения, которые мы применили к мы

видим, что существует элемент со следующими свойствами: регулярен относительно и

Но так как регулярен в то размерность алгебры которая не меньше ранга должна быть не меньше размерности Итак, мы имеем это означает, что оператор индуцирует нильпотентный эндоморфизм в Но так как элемент регулярен относительно группы то ранг алгебры равен кратности нуля ограничения оператора на (теорема 1); следовательно, этот ранг равен размерности алгебры Итак, если то кратность нуля оператора равна размерности алгебры это показывает, что алгебра нильпотентна (следствие 2 предложения 1 § 3). Так как совпадает со своим нормализатором в то она является алгеброй Картана алгебры С другой стороны, ясно, что совпадает со своим нормализатором в Следовательно, алгебра Картана алгебры Пусть теперь произвольная алгебра Картана алгебры и пусть — неприводимая алгебраическая подгруппа в для которой алгебра Ли. Тогда -алгебраическая компонента единицы в некоторой группе Картана группы (предложение 5), и множество элементов, сопряженных в к элементам из плотно в (следствие 1 теоремы 1). Поэтому это множество имеет непустое пересечение с содержащее непустое относительно открытое подмножество группы Пусть — такой элемент из что содержит элемент из Так как то алгебра Картана алгебры значит, алгебраическая компонента единицы в какой-то группе Картана группы (предложение 5); то же самое можно, очевидно, утверждать и Поэтому из следствия 1 теоремы 1, примененного к группе вместо вытекает, что откуда Но, как мы видели, есть алгебра Картана алгебры следовательно, и алгебра Картана алгебры и предложение 13 доказано.

Теорема 2. Группы Картана группы неприводимы. Всякий регулярный элемент из принадлежит одной и только одной группе Картана. Всякий полупростой элемент

из принадлежит по меньшей мере одной группе Картана в

Пусть — регулярный элемент группы Алгебра содержит алгебру Картана 1) алгебры (предложение 13). Так как -регулярный элемент, то алгебры имеют одинаковую размерность, равную рангу группы Итак, - алгебраическая компонента единицы в некоторой группе Картана группы В силу предложения

Покажем, что каждый полупростой элемент перестановочный со всеми элементами из содержится в Представим в виде прямой суммы и некоторого пространства в котором оператор и индуцирует автоморфизм (предложение 8). Множество таких для которых индуцирует автоморфизм в относительно открыто в (следствие 2 предложения 8). Так как и перестановочен с элементами из 31 (5), то он перестановочен и с элементами из (предложение 12 из гл. III, п° 9), так что

Множество непусто, так как оно содержит единицу группы и относительно открыто в так как Множество регулярных элементов группы содержащихся в непусто (оно содержит 5) и относительно открыто в следовательно, существует регулярный элемент содержащийся в Так как алгебраическая компонента единицы в группе Картана группы то (следствие 1 теоремы 1). Так как элемент и полупрост, то он перестановочен со всеми элементами из (следствие 1 предложения 8) и тем самым с элементами из (предложение 12 из гл. III, п° 9). Значит, ограничения операторов на совпадают. Элементы алгебры принадлежат так как (следствие 2 предложения 8); так как они аннулируются степенями оператора то они также аннулируются степенями оператора отсюда заключаем, что

Так как алгебраическая компонента единицы в группе Картана группы и так как то (предложение И), так что Имеем так что что и доказывает наше утверждение.

Пусть теперь какая-нибудь группа Картана группы Обозначим через алгебраическую компоненту единицы группы , и пусть ее алгебра Ли. Так как алгебра Картана алгебры g (предложение 5), то она является максимальной нильпотентной подалгеброй в и не содержится ни в какой неприводимой алгебраической нильпотентной подгруппе, отличной от . Из предложения 23 § 3 гл. V следует теперь, что каждый элемент из является произведением своей полупростой компоненты и на элемент из и что и перестановочен со всеми элементами из . Существует регулярный элемент 5 из , такой, что (следствие 1 теоремы 1). Из доказанного теперь следует, что так что

Итак, и этим доказано, что группы Картана группы неприводимы. Отсюда и из следствия 1 теоремы 1 вытекает, что регулярный элемент группы содержится только в одной группе Картана.

Пусть теперь и — какой-нибудь полупростой элемент группы Тогда и принадлежит центру группы (следствие 1 предложения 8 и предложение 12) и, следовательно, содержится во всех группах Картана группы (предложение 4). Так как группы Картана групп неприводимы, то из предложения 13 вытекает, что всякая группа Картана группы есть группа Каргана группы Это показывает, что элемент и содержится в группе Картана группы Теорема 2 доказана.

5. Свойства алгебр Картана

Алгебра Ли а — образ алгебры а при ее присоединенном представлении — есть алгебра эндоморфизмов векторного пространства а, но а не обязательно алгебраична. Тем не менее известно, что ее производная алгебра есть алгебраическая алгебра (том II, теорема 15 из § 14 гл. II). В настоящем п° мы обозначим через неприводимую алгебраическую группу автоморфизмов векторного пространства а, алгебра Ли которой есть Заметим, что является также образом при присоединенном представлении производной алгебры алгебры а.

Предложение 14. Операторы из суть автоморфизмы алгебры а.

Как известно, элементы из а являются деривациями алгебры а (том II, предложение 9 из § 3 гл. I). Таким образом, алгебра

Ли группы есть подалгебра в алгебре дериваций алгебры а, а эта алгебра дериваций, в свою очередь, является алгеброй Ли группы автоморфизмов алгебры а (том II, теорема 16 из § 14 гл. II). Так как группа неприводима, то содержащиеся в ней операторы суть автоморфизмы алгебры а.

Предложение 15. Пусть подалгебра алгебры а, содержащая элемент В со следующим свойством: единственными элементами X из а, для которых являются элементы из Тогда множество образов элементов из при операциях из плотно в а (в смысле топологии Зариского); если поле К алгебраически замкнуто, то густо.

Множество неприводимо, согласно предложению 2 § 2, и оно густо, если поле К алгебраически замкнуто, согласно предложению 3 § 2. Совершенно ясно, что направляющее пространство множества в любой его точке есть само . С другой стороны, если то множество образов элемента X при операциях из алгебры Ли группы есть множество всех при всех Из следствия предложения 2 § 2 вытекает теперь, что существует непустое относительно открытое подмножество алгебры обладающее следующими свойствами: X для простой элемент над и направляющее пространство множества есть . С другой стороны, обозначим для через эндоморфизм пространства индуцированный эндоморфизмом при переходе в фактор-пространство Предположение относительно элемента В означает, что есть автоморфизм Таким образом, множество тех для которых есть автоморфизм пространства непусто и относительно открыто в (предложение 3 § 3). Так как неприводимо, то множество их непусто. Пусть X — элемент этого множества. Тогда оператор отображает на себя; отсюда следует, что тем более, Имеем так что это можно также записать равенством Итак, направляющее пространство множества в точке X содержит а. Так как X — простая точка на то размерность множества не меньше размерности алгебры а. Так как то плотно в а согласно предложению 14 § 1.

Следствие. При тех же обозначениях, что и в предложении 15, алгебра содержит регулярный элемент алгебры а.

Действительно, плотное множество имеет непустое пересечение с множеством регулярных элементов алгебры а, которое относительно открыто в а (предложение 6). Следствие вытекает поэтому из предложения 7.

Предложение 16. Если алгебра Картана алгебры а, то в а существует регулярный элемент, содержащийся в если X — такой элемент, то Множество образов элементов из при отображениях, определяемых операторами из плотно в а (в смысле топологии Зариского) и густо, если поле К алгебраически замкнуто.

Если то пусть эндоморфизм пространства индуцированный эндоморфизмом при переходе в фактор-пространство Так как алгебра совпадает со своим нормализатором, то элементами из а, для которых [X, при всех являются элементы из и только они. Поэтому в нет ни одного отличного от элемента У, для которого при всех Так как алгебра нильпотентна, то из сказанного и из предложения 8 § 1 гл. V следует, что существует такой элемент для которого определитель отличен от нуля; таким образом, элементами для которых являются элементы из и только они. Теперь из следствия предложения 15 вытекает, что алгебра содержит регулярный элемент алгебры а; пусть -такой элемент. Так как нильпотентна, то Но алгебра Картана алгебры а (предложение 9); так как максимальная нильпотентная подалгебра (предложение 1), то Последнее утверждение предложения 16 следует из предложения 15.

Следствие 1. Размерность любой алгебры Картана алгебры а равна рангу алгебры а.

Действительно, размерность алгебры равна кратности нуля эндоморфизма (предложение 8); эта кратность нуля равна рангу алгебры а, если элемент X регулярен.

Следствие 2. Всякий регулярный элемент алгебры а принадлежит одной и только одной алгебре Картана.

Это вытекает из предложений 9 и 16.

Следствие 3. Пусть нильпотентная подалгебра в а, содержащая регулярный элемент Тогда содержится

в алгебре Картана алгебры а. Если максимальная нильпотентная подалгебра или если ее размерность равна рангу алгебры а, то она сама является алгеброй Картана.

Так как алгебра нильпотентна, то она содержится в алгебре которая является алгеброй Картана. Следствие 3 непосредственно вытекает отсюда.

Предложение 17. Пусть -гомоморфизм алгебры а на алгебру Ли а. Если алгебра Картана алгебры а, то алгебра Картана алгебры

Пусть ядро гомоморфизма Для обозначим через кратность нуля эндоморфизма через кратность нуля ограничения на а через кратность нуля эндоморфизма Используя естественный изоморфизм алгебры на из предложения 1 § 3 можно заключить, что Пусть ранги алгебр и а соответственно, и пусть наименьшее из чисел для Существует такой элемент которого (предложение 3 § 3), так что Пусть регулярный элемент из а, содержащийся в (предложение 16); тогда Отсюда следует, что так что регулярный элемент в а. Алгебра изоморфна алгебре и тем самым нильпотентна (предложение 1 из § 1 гл. IV); при этом она содержит регулярный элемент алгебры а. Найдем размерность этой алгебры. Размерность алгебры равна размерность алгебры есть Но пересечение содержится в пространстве элементов из аннулируемых степенями оператора так как то отсюда следует, что т. е. что размерность алгебры не меньше С другой стороны, содержится в алгебре

размерность которой равна Итак, имеет размерность, равную и является алгеброй Картана алгебры а.

Следствие. При обозначениях предложения 17 ранг алгебры а не больше ранга алгебры а. Если X — регулярный элемент алгебры а, то регулярный элемент алгебры а.

Пользуясь обозначениями доказательства предложения 17, имеем

Теорема 3. Предположим, что алгебра а полупростая, и пусть алгебра Картана алгебры а. Тогда алгебра абелева и ограничение на X фундаментальной билинейной формы алгебры а невырождено. Если представление алгебры а, то элементы из полупросты.

Если полупростая группа, то группы Картана группы абелевы и их элементы представимы полупростыми операторами при всех рациональных представлениях группы

Алгебра а допускает по крайней мере одно точное представление (например, свое присоединенное представление), и образ а при таком представлении есть алгебраическая алгебра Ли (следствие предложения 9 из § 2 гл. IV). Мы можем, следовательно, ограничиться рассмотрением случая, когда (т. е. когда а есть алгебра Ли полупростой неприводимой алгебраической группы). Алгебра содержит регулярный элемент так как она является алгебраической алгеброй (предложение 5), то она содержит также полупростую компоненту элемента (том II, предложения 2 и 3 из § 14 гл. II); является полупростой компонентой эндоморфизма (следствие 4 предложения 4 из § 4 гл. IV). Из предложения 2 § 3 вытекает, что есть множество элементов алгебры перестановочных с Алгебру можно представить в виде прямой суммы и некоторого пространства в котором эндоморфизм Я индуцирует автоморфизм. Пусть В — фундаментальная билинейная форма на Если и то можно написать с некоторым и

(предложение 1 из § 2 гл. IV), откуда поскольку Форма В симметрична и обращается в нуль на так как она невырождена, то ее ограничение на невырождено. Так как алгебра разрешима (она нильпотентна), то из теоремы 3 § 2 гл. V следует, что множество нильпотентных элементов из есть идеал в и что содержит производную алгебру алгебры Кроме того, если элемент содержится в то эндоморфизм нильпотентен (лемма 1 из § 1 гл. IV), и из только что цитированной теоремы следует, что

для всех Таким образом, Отсюда следует, что производная алгебра алгебры есть т. е. что алгебра абелева. Кроме того, так как и полупростая и нильпотентная компоненты всякого элемента из принадлежат то все элементы из полупросты. Если какое-нибудь представление алгебры то алгебра Картана алгебры (предложение 17), и алгебра есть полупростая алгебра (следствие предложения 9 из § 2 гл. IV). Из только что доказанного следует теперь, что все элементы алгебры полупросты.

Если группа Картана группы то неприводима (теорема 2), ее алгебра Ли. является алгеброй Картана алгебры и тем самым абелевой алгеброй. Но тогда и группа абелева (следствие 2 предложения 12 из гл. III, п° 9). Пусть рациональное представление группы Тогда наименьшая алгебраическая группа, содержащая неприводима (том И, предложение 7 из гл. II), и ее алгебра Ли есть (том II, предложение 5 из § 9 гл. II); элементы этой алгебры полупросты. Группа содержится в ассоциативной алгебре, порожденной тождественным автоморфизмом пространства представления и элементами из (том II, следствие 2 теоремы 8 из § 12 гл. II). Так как элементы алгебры полупросты, то тем же свойством обладают элементы группы (том И, предложение 4 из § 8 гл. I).

Предложение 18. Пусть подмножество алгебры а, элементы которого перестановочны друг с другом и представимы полупростыми операторами в присоединенном представлении алгебры а. Тогда содержится по крайней мере в одной алгебре Картана алгебры а,

Векторное подпространство в а, порожденное множеством 5, является, очевидно, абелевой подалгеброй, и элементы этой подалгебры представлены полупростыми операторами в присоединенном представлении (том II, предложение 4 § 8 гл. I). Пусть алгебра всех элементов из а, перестановочных со всеми элементами из 8. Присоединенное представление алгебры а индуцирует полупростое представление алгебры (теорема 4 из § 4 гл. IV). Таким образом, а есть прямая сумма алгебры и некоторого пространства с, допустимого относительно операторов Если то пусть ограничение оператора на с. Так как то ни один отличный от элемент из с не отображается в всеми операторами Так как алгебра нильпотентна (она даже абелева), то существует элемент В из 8, для которого определитель эндоморфизма не равен нулю (предложение 8 из § 1 гл. V). Если есть элемент из а, такой, что

где

откуда С помощью следствия предложения 15 можно заключить, что алгебра содержит регулярный элемент Элементы из перестановочны с и принадлежат тем самым алгебре которая является алгеброй Картана (предложение 9).

Теорема 4. Если поле К алгебраически замкнуто, то все алгебры Картана в а могут быть преобразованы друг в друга операторами группы автоморфизмов алгебры а, алгебра Ли которой есть В этом случае все группы Картана группы сопряжены в

Пусть алгебры Картана алгебры а, и пусть их орбиты относительно группы это густые множества, плотные в а (предложение 16). Так как множество регулярных элементов плотно в а, то существует регулярный элемент в а, содержащийся в Операторы из являются автоморфизмами алгебры а (предложение 14) и переводят поэтому регулярные элементы в регулярные (предложение 7). Отсюда мы заключаем, что существуют регулярный элемент в алгебре и элемент такие, что Алгебра Картана имеет общий регулярный элемент с алгеброй поэтому Так как поле К алгебраически

замкнуто, то группа образ группы при ее присоединенном представлении — есть алгебраическая группа (том II, следствие 1 предложения 2 из § 7 гл. II), и ее алгебра Ли есть (том II, предложения 5 и 7 из § 9 гл. II). Эта группа содержит, следовательно, неприводимую алгебраическую группу, алгебра Ли которой есть Пусть группы Картана группы их алгебры Ли. Из только что доказанного вытекает, что существует такой элемент 5 в что Так как группы непривоцимы, то

Если поле К не является алгебраически замкнутым, то, вообще говоря, группы Картана группы не будут сопряженными. Рассмотрим, например, случай Пусть - базис пространства V, и пусть множество элементов из представимых в этом базисе диагональными матрицами. Это неприводимая алгебраическая абелева подгруппа в Пусть — элемент группы представленный диагональной матрицей, все элементы главной диагонали которой различны. Тогда 5 — полупростой эндоморфизм и группа всех элементов из перестановочных с отсюда следует, что Из предложения 13 и из того, что группы Картана группы неприводимы, вытекает, что содержит группу Картана группы Так как группа нильпотентна, то она — группа Картана группы это показывает, что ранг группы равен размерности пространства Обозначим через ассоциативную алгебру, состоящую из всех эндоморфизмов пространства V, и через какую-нибудь коммутативную подалгебру размерности алгебры все элементы которой полупробты. Тогда содержится в алгебре Картана алгебры (предложение 18; образы элементов алгебры при присоединенном представлении алгебры являются полупростыми элементами согласно следствию 3 предложения 4 § 4 гл. IV). Так как размерность алгебр Картана алгебры равна , то есть алгебра Картана. Отсюда, в частности, следует, что максимальная коммутативная подалгебра в поэтому содержит единицу алгебры Обратимые элементы из образуют алгебраическую группу Группа плотна в (в смысле топологии Зариского), так как она в ней относительно открыта и, следовательно, является неприводимой группой. Размерность группы равна а ее алгебра Ли содержится в (том II, следствие 2 теоремы 8 из § 12 гл. II); тем самым эта алгебра Ли совпадает с Но если, например,

для поля к существует расширение степени , то отображение, сопоставляющее каждому элементу отображение поля в себя, есть точное представление степени поля Отсюда мы непосредственно заключаем, что существует коммутативная подалгебра алгебры изоморфная полю Кроме того, определенное нами представление поля будет, очевидно, простым; так как коммутативно, то из теоремы 4 § 4 гл. IV следует, что элементы из представлены полупростыми операторами, так что все элементы из полупросты. Но алгебра Ли группы есть множество всех эндоморфизмов пространства V, представимых диагональными матрицами в выбранном нами базисе пространства Эта алгебра содержит делители нуля (если ) и, следовательно, не изоморфна алгебре Тем более не существует элемента преобразующего группу в группу обратимых элементов из Если мы возьмем в качестве К поле рациональных чисел и положим то из существования бесконечного числа неизоморфных квадратических полей над К следует существование бесконечного числа попарно не сопряженных подгрупп Картана группы

Тем не менее имеет место следующий результат:

Предложение 19. Если алгебра а разрешима, то все алгебры Картана алгебры а преобразуются друг в друга операторами из группы

Доказательство будем вести индукцией по размерности алгебры а. При доказывать нечего. Предположим, что и что наше утверждение справедливо для алгебр размерности Алгебра а содержит абелевы идеалы, отличные от Выберем один из них, наименьшей возможной размерности, и обозначим его через так как отображается в себя операторами из алгебры Ли группы [которая есть то и операторы из отображают в себя. Для пусть автоморфизм, индуцированный оператором а в тем самым -рациональное представление группы Но алгебра содержится в наибольшем нильпотентном идеале алгебры (предложение 4 из § 2 гл. V); таким образом, элементы из нильпотентны. Поэтому из предложений 15 и 16 § 3 гл. V следует что -алгебраическая группа. Ее алгебра Ли состоит из операторов, индуцированных при переходе в фактор-алгебру операторами для Это — образы элементов из при присоединенном представлении

алгебры Итак, группа есть группа определенная для алгебры так же, как мы определили группу для алгебры а. Пусть алгебра Картана в а. Так как идеал, то подалгебра в а. Всякий элемент группы определенной для алгебры так же, как группа определена для а, представим в виде где (предложение 14 из § 3 гл. V; если то X принадлежит и оператор нильпотентен). Этот оператор можно продолжить в оператор из группы а именно в Пусть -нибудь алгебра Картана алгебры а. Тогда гебры Картана алгебры (предложение 17), и из предположения индукции следует, что алгебру можно преобразовать в оператором из оператором вида Пусть тогда 1) есть алгебра Картана алгебры и — алгебры Картана алгебры b (предложение 2). Если то из предположения индукции следует, что алгебру можно преобразовать в оператором из также оператором а из Тогда Предположим теперь, что Если - регулярный элемент из а, содержащийся в то (предложение 16) и прямая сумма алгебры и некоторого векторного пространства в котором индуцирует автоморфизм (предложение 8). Покажем, что Пусть целое положительное число, такое, что аннулирует алгебру тогда всякий элемент из может быть представлен в виде где Положим

Имеем так что

поскольку идеал; это показывает, что Итак, имеем с другой стороны, (предложение 8), откуда следует, что

это показывает, что идеал. В силу выбора идеала можно заключить, что идеал равен или или Если то алгебра нильпотентна и Предположим, что тогда

Итак, можно положить

Положим

Так как оператор индуцирует автоморфизм в то содержится в принадлежит Так как алгебра абелева, то отсюда следует, что

Алгебра есть алгебра Картана алгебры а, имеющая общий регулярный элемент ; таким образом,

Предложение 19 доказано.

Предложение 20. Пусть радикал алгебры а. Если разложение Леви алгебры а, то всякая алгебра Картана алгебры содержится в алгебре Картана алгебры а. Если алгебра Картана алгебры а, то существует разложение Леви алгебры а, такое, что есть прямая сумма некоторой алгебры Картана алгебры и некоторой подалгебры алгебры

Если I — алгебра Картана алгебры то алгебра 1 абелева, и если I, то оператор полупростой (теорема 3). Тогда из предложения 18 следует, что I содержится в алгебре Картана алгебры а. Если алгебра Картана алгебры а, то алгебра Картана алгебры (предложение 17). Но естественное отображение алгебры а на индуцирует изоморфизм алгебры на обозначим его через Следовательно, существует алгебра Картана алгебры такая, алгебра содержится в некоторой алгебре Картана алгебры а; алгебра содержит и является алгеброй Картана алгебры так что обозначим эту алгебру через Так как алгебра абелева, то разрешима (предложение 6 из § 1 гл. V). Пусть — группа, определенная для так, как группа была определена для а. Если X — элемент из то X принадлежит т. е. принадлежит наибольшему нильпотентному идеалу в а (предложение 4 из § 2 гл. V), и оператор нильпотентен. Каждый оператор из можно представить в виде где

(предложение 15 из § 3 гл. V), и можно, следовательно, продолжить в оператор из Далее, алгебры Картана алгебры (предложение 2); таким образом, существует оператор а из переводящий в (предложение 19). Положим а тогда разложение Леви алгебры есть алгебра Картана алгебры содержащаяся в Так как алгебра Картана алгебры содержащая образ алгебры при естественном отображении а на то ясно, что

и есть прямая сумма что и доказывает предложение 20.

Предложение 21. Предположим, что а — подалгебра алгебры эндоморфизмов векторного пространства конечной размерности над полем К у и пусть а — наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая а. Тогда ранг алгебры а равен сумме ранга алгебры а и размерности алгебры Пересечение а со всякой алгеброй Картана алгебры а есть алгебра Картана алгебры а. Если -алгебра Картана алгебры а, то наименьшая алгебраическая алгебра V, содержащая есть алгебра Картана алгебры а и имеет место равенство

Пусть алгебра Картана алгебры алгебра наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая Алгебра алгебраична (предложение 5); следовательно,

Мы сначала покажем, что Пусть - регулярный элемент из а, содержащийся в ; тогда (предложение 16) и а — прямая сумма алгебры и некоторого векторного пространства в котором оператор И индуцирует автоморфизм (предложение 8). Имеем и известно, что (том II, теорема 13 из § 14 гл. II). Следовательно, Итак, каждый элемент может быть представлен в виде так что следовательно, Так как идеал в а, то есть подалгебра в а. Но I) и алгебраические алгебры (том II, теорема 15 из § 14 гл, II); таким образом, — алгебраическая алгебра (том II, теорема 14 из § 14 гл. II), содержащая так что

Запишем элемент X из в виде тогда 9

так что

это показывает, что Пусть А — неприводимая алгебраическая группа, для которой а — алгебра Ли. Группа тех элементов 5 из Адля которых — алгебраическая группа, и ее алгебра Ли состоит из всех элементов для которых (следствие 1 теоремы 1 из гл. III, п° 9, примененное к присоединенному представлению группы А). Но если то ясно, что отображение

переводит всякую алгебраическую подалгебру алгебры а, содержащую I), в алгебраическую подалгебру, содержащую Так как пересечение всех алгебраических подалгебр, содержащих то Так как это последнее включение справедливо для всех то (следствие 1 теоремы 1 из гл. III, п° 9). Но алгебра совпадает со своим нормализатором в а; таким образом, так что Это означает, что алгебра совпадает со своим нормализатором в а. С другой стороны, алгебра нильпотентна (предложение 1 из § 1 гл. IV); следовательно, она является алгеброй Картана в а. Мы видели, что Поэтому векторные пространства и имеют одну и ту же размерность. Но размерности алгебр и равны соответственно рангу алгебры а и рангу алгебры а; итак,

Пусть теперь алгебра Картана алгебры а, и пусть регулярный элемент из а, содержащийся в Кратность нуля эндоморфизма равна сумме кратности нуля эндоморфизма и кратности нуля эндоморфизма а пространства индуцированного эндоморфизмом при переходе в фактор-пространство а (предложение 1 из § 3). Но а — идеал алгебры а (том II, теорема 13 из § 14 гл. II), так что

Это показывает, что кратность нуля эндоморфизма равна

и что, следовательно, — регулярный элемент алгебры а. Множество есть алгебра Картана алгебры а (предложение 9) и (предложение 16). Отсюда вытекает, что ! является пересечением алгебры а с алгеброй Картана алгебры а. Этим заканчивается доказательство предложения 21.

Предложение 22. Пусть надполе поля К. Алгебра получаемая из а расширением основного поля до имеет тот же ранг, что и а. Для того чтобы подалгебра алгебры а была алгеброй Картана, необходимо и достаточно, чтобы алгебра была алгеброй Картана алгебры Для того чтобы алгебраическая подгруппа группы была группой Картана, необходимо и достаточно, чтобы группа была группой Картана группы

Пусть X — элемент алгебры а. Образ элемента X в присоединенном представлении алгебры есть эндоморфизм пространства продолжающий Ясно, что элементы из аннулируемые оператором целое положительное число), суть линейные комбинации с коэффициентами из элементов из а, аннулируемых оператором таким образом,

Следовательно, ранг алгебры не превосходит ранга алгебры а. С другой стороны, алгебра а плотна в и множество регулярных элементов из открыто в Следовательно, это множество имеет непустое пересечение с а, откуда можно заключить, что имеет тот же ранг что и а. Если алгебра Картана алгебры а, то существует регулярный элемент X алгебры а, для которого так что Так как X — регулярный элемент в то алгебра Картана алгебры Если — алгебра Картана алгебры то множество регулярных элементов алгебры содержащихся в непусто и относительно открыто в Таким образом, пересечение этого множества с непусто, и содержит регулярный элемент X алгебры (следовательно, принадлежащий алгебре а). Итак,

алгебра Картана алгебры

Если алгебра Ли алгебраической подгруппы группы то алгебра Ли группы есть предложение 2 из § 8 гл. II), и группа неприводима тогда и только тогда, когда группа неприводима (том II, теорема 3 из § 5 гл. II). Так как группы Картана группы G (соответственно группы являются неприводимыми группами, алгебры Ли которых — алгебры Картана алгебры g (соответственно ), то второе утверждение следует из первого.