4. Теорема Адо

Теорема 5 (теорема Пусть алгебра над полем характеристики 0, и пусть наибольший нильпотентный идеал в Тогда существует точное представление алгебры такое, что все элементы из нильпотентны.

Пусть а — идеал в некоторой алгебре Ли и пусть голоморф алгебры а. Предположим, что алгебру можно представить в виде прямой суммы идеала а и некоторой подалгебры тогда можно определить гомоморфизм алгебры следующим образом. Если то оператор отображает идеал а в себя и индуцирует деривацию алгебры а. Если — элемент из то положим [мы отождествили голоморф с прямой

суммой алгебры а и ее алгебры дериваций Отображение очевидно, линейно и совпадает на а с тождественным отображением; так как отображение есть представление алгебры то мы видим, что индуцирует гомоморфизм в Наконец, если и то и

Отсюда сразу следует, что представление алгебры Мы назовем его представлением, соответствующим разложению алгебры Ядром представления является, очевидно, совокупность элементов из перестановочных со всеми элементами из а.

Теперь будем доказывать теорему индукцией по размерности алгебры Для доказывать нечего. Если то пусть тогда отличный от элемент из Пусть V — векторное пространство размерности 2 над основным полем алгебры некоторый базис пространства эндоморфизм пространства V, отображающий в и у в 0; мы имеем Линейное отображение алгебры сопоставляющее элементу элемент есть точное представление алгебры и элементы из нильпотентны. Предположим, что и что теорема справедлива для алгебр размерности Рассмотрим сначала тот случай, когда может быть представлена в виде прямой суммы двух идеалов a и b, отличных от тогда (лемма 4 из § 2 гл. IV). Ясно, что нильпотентные идеалы соответственно в Обратно, всякий нильпотентный идеал в а (соответственно в является также идеалом в (лемма 4 § 2 гл., IV) и, значит, содержится в таким образом, и максимальные нильпотентные идеалы в Пусть гомоморфизмы алгебры на а и на определенные формулами

Множества являются нильпотентными идеалами в и потому содержатся в отсюда непосредственно следует, что

Так как размерности алгебр меньше то существуют точные представления для для такие, что элементы

из нильпотентны. Отображения являются представлениями алгебры пусть их декартова сумма. Ясно, что точное представление алгебры Элементы из нильпотентны; но множество элементов X радикала таких, что эндоморфизм нильпотентен, образует идеал (теорема 3 § 2); отсюда мы заключаем, что элементы из нильпотентны.

Предположим теперь, что не существует разложения алгебры в прямую сумму двух идеалов, отличных от Рассмотрим сначала случай, когда разрешима. Тогда идеал содержит производную алгебру от (предложение 4 § 2). Если то пусть а есть -мерное подпространство в содержащее так как с а, то а — идеал. Если же то пусть а есть -мерный идеал в (предложение 3 § 1). Пусть В — элемент из не содержащийся в а; тогда В порождает в одномерную абелеву подалгебру причем прямая сумма Элемент В не может быть перестановочным со всеми элементами из а, так как тогда из формулы вытекало бы, что В лежит в центре алгебры т. е. что идеал, и был бы налицо случай, который мы заранее исключили. Итак, существует изоморфизм алгебры на некоторую подалгебру голоморфа алгебры а. Из нашего предположения индукции следует, что существует точное представление для а, переводящее элементы наибольшего нильпотентного идеала алгебры а в нильпотентные эндоморфизмы. С помощью леммы Хариш-Чандра мы видим, что существует точное представление алгебры со следующими свойствами: если X принадлежит наибольшему нильпотентному идеалу в а и если нильпотентная деривация алгебры а, то нильпотентно; отображение есть точное представление алгебры Если то а потому содержится в наибольшем нильпотентном идеале алгебры а. Так как ограничение отображения на а есть тождественное отображение а в то, очевидно, элементы из нильпотентны. Предположим теперь, что тогда а совпадает со своим наибольшим нильпотентным идеалом. Пусть элемент из где А — элемент из элемент основного поля. Оператор есть ограничение оператора на а; так как алгебра нильпотентна, то нильпотентная деривация алгебры нильпотентен.

Рассмотрим теперь случай, когда алгебра не разрешима, и пусть ее радикал. Если то полупроста,

и присоединенное представление обладает требуемыми свойствами. Предположим поэтому, что и пусть некоторое разложение Леви алгебры g (теорема 4 § 4). Этому разложению соответствует гомоморфизм алгебры в голоморф алгебры ядро этого гомоморфизма есть идеал алгебры 8, состоящий из тех элементов из 8, которые перестановочны с элементами из Так как алгебра полупроста, то она является прямой суммой идеала и некоторого идеала алгебры (теорема 2 из § 2 гл. IV) и мы имеем (лемма 4 § 2). Положим следовательно, Из этих соотношений вытекает, что и - идеалы в В силу предположения, сделанного относительно один из идеалов совпадает с так как то и -изоморфизм алгебры на подалгебру алгебры Ясно, что идеал содержится в наибольшем нильпотентном идеале алгебры Так как не разрешима, то размерность алгебры меньше и существует точное представление для переводящее элементы из в нильпотентные эндоморфизмы. Следовательно, в силу леммы Хариш-Чандра, существует точное представление алгебры I), такое, что элементы из нильпотентны. Отображение есть точное представление алгебры так как совпадает на с тождественным отображением, то элементы из нильпотентны. Таким образом, теорема доказана.

Предложение 3. Пусть алгебра Ли над нолем характеристики 0; предположим, что образ алгебры при ее присоединенном представлении является алгебраической подалгеброй в Тогда существует точное представление алгебры со следующими свойствами: если наибольший нильпотентный идеал в то все элементы из нильпотентны; б) алгебраическая алгебра.

Алгебру можно представить в виде прямой суммы

где абелева алгебра, а полупростая алгебра, причем выполняются следующие условия: образ алгебры а при присоединенном представлении алгебры алгебраическая алгебра; радикалом для является (предложение 6 § 4). Ясно, что редуктивная подалгебра в и что прямая сумма и Этому разложению соответствует гомоморфизм алгебры в голоморф алгебры

его ядро состоит из тех элементов из которые перестановочны с элементами из Ясно, что -идеал в Так как алгебра редуктивна, то ее присоединенное представление полупросто (предложение 1 из § 4 гл. IV) и есть прямая сумма идеала и некоторого другого идеала в Пусть является подалгеброй в индуцирует изоморфизм Существует точное представление алгебры переводящее все элементы из в нильпотентные эндоморфизмы (теорема Адо). Следовательно, существует точное представление алгебры такое, что все элементы из нильпотентны (лемма Хариш-Чандра). Кроме того, можно предположить, что индуцирует рациональное представление алгебры дериваций алгебры замечание после доказательства леммы Хариш-Чандра). Если то есть ограничение на эндоморфизма пространства покажем, что алгебраическая подалгебра в Так как то

Алгебра состоит из ограничений на операторов из алгебраической алгебры следовательно, она сама является алгебраической (предложение 30 из гл. III, п° 14). Так как алгебра полупростая, то алгебра алгебраическая, в силу следствия предложения 9 из § 2 гл. IV; следовательно, и алгебра алгебраическая, в силу теоремы 14 § 14 гл. II (том II). Отсюда вытекает, что алгебраическая алгебра (следствие 1 предложения 31 гл. III, п° 14). Отображение есть представление алгебры Так как совпадает с тождественным отображением на то состоит из нильпотентных эндоморфизмов пространства представления и является, значит, алгебраической алгеброй, в силу предложения 14 § 3. Мы сейчас видели, что алгебраическая алгебра; но тогда и алгебра алгебраическая (том II, теорема 14 из § 14 гл. II). Пересечение идеала с а содержит только 0. Действительно, если некоторый элемент А радикала алгебры принадлежит то он перестановочен со всеми элементами так как и содержит пересечение радикала алгебры с ее производной алгеброй (предложение 4 § 2), то отображает на так что это показывает, что (предложение 4 § 2). Если, следовательно, то Отсюда вытекает, что изоморфен алгебра идеал полупростой алгебры значит, сама полупростая (предложение 6 § 2 гл. IV). Пусть

присоединенное представление для тогда является алгебраической алгеброй Ли (следствие предложения 9 § 2 гл. IV). Алгебра прямая сумма идеалов таким образом, отображение есть представление алгебры Имеем причем последняя алгебра — алгебраическая. Пусть декартова сумма представлений тогда ясно, что элементы из нильпотентны. Поскольку алгебра полупростая, ее присоединенное представление точное; так как индуцирует точное представление то точное представление Так как алгебры алгебраичны, то отсюда, в силу предложения 5 § 8 гл. II (том II), следует алгебраичность