4. Тензорные произведения

Пусть представления группы над одним и тем же полем К, и пусть пространства представлений Образуем тензорное произведение

пространств Пусть, кроме того,

— декартово произведение пространств мы отождествим каждое пространство с подпространством пространства V способом, указанным в п° 3. Тогда можно отождествить с подпространством тензорной алгебры над V, порожденным элементами вида

это подпространство содержится в пространстве однородных элементов степени алгебры Обозначим через декартово произведение представлений и через тензорную степень Если то

отсюда сразу следует, что отображает в себя. Пусть ограничение представления на Тогда представление, называемое тензорным произведением представлений и обозначаемое Если то для всех имеем

Предположим теперь, что — пространства представлений алгебры Ли Пусть декартова сумма представлений тензорная сумма представления для пусть ограничение на пространство деривации алгебры продолжающей эндоморфизм Правило деривации произведения (том II, предложение 10 из § 3 гл. I) показывает, что при есть сумма произведений, каждое из которых получается из заменой одного из множителей его образом Так как оператор отображает каждое пространство в себя, то отображает в себя пространство пусть ограничение на Тогда представление алгебры Ли называемое тензорной суммой представлений и обозначаемое Для имеем

где

Предложение 4. Пусть рациональные представления алгебраической группы Тогда дифференциал тензорного произведения этих представлений — тензорная сумма их дифференциалов.

Это утверждение непосредственно следует из предложений

2 (п° 2), 3 (п° 3) и из леммы 1 (п° 2).

тензорные степени (соответственно тензорные суммы) эквивалентных представлений группы (соответственно алгебры Ли ), очевидно, эквивалентны. Мы можем, следовательно, заключить, что если заменить представления некоторой группы (соответственно алгебры Ли) эквивалентными представлениями, то их тензорные произведения (соответственно тензорные суммы) перейдут в эквивалентные представления.

Операция тензорного умножения (соответственно тензорного сложения) представлений группы (соответственно алгебры Ли)

коммутативна и ассоциативна с точностью до эквивалентности; это непосредственно следует из того, что этими же свойствами обладает операция декартова умножения (соответственно сложения). Тензорное произведение (соответственно тензорная сумма) h представлений, равных одному и тому же представлению эквивалентно (эквивалентна) к-й тензорной степени (соответственно тензорной сумме) представления Наконец, операция тензорного умножения (соответственно сложения) дистрибутивна — с точностью до эквивалентности — относительно декартова умножения (соответственно сложения). Действительно, пусть и векторные пространства; отождествим и с подпространствами их произведения становится тогда прямой суммой и Пусть подпространства пространства порожденные элементами вида где Ясно, что совпадает с суммой более того, эта сумма прямая. Действительно, пусть базисы пространств базис пространства а множество С элементов вида для базис пространства Если множества элементов для то С — объединение множеств это показывает, что сумма прямая. Кроме того, наши рассуждения показывают, что базисы пространств следовательно, что можно отождествить с тензорным произведением Предположим теперь, что пространство представления группы Для оператор переводит

а его ограничениями на будут соответственно из этого следует, что представление эквивалентно представлению Аналогичйо проводится доказательство для случая представлений алгёбр Ли.