§ 5. Группы Картана групп Ли

1. Существование

Теорема 5. Пусть связная группа Ли. и пусть ее алгебра Ли. Тогда группы Картана группы замкнуты в и их алгебрами Ли являются все алгебры Картана алгебры

Если группа Картана группы то максимальная нильпотентная подгруппа группы Но наименьшая замкнутая подгруппа, содержащая также нильпотентна (следствие предложения 10а из § 3 гл. V); таким образом, группа замкнута и является, следовательно, группой Ли. Для изучения групп Картана группы используем присоединенное представление группы оно является аналитическим гомоморфизмом группы в группу автоморфизмов векторного пространства Его ядро — центр группы Группа аналитическая (не обязательно замкнутая) подгруппа в и ее алгебра Ли есть образ алгебры при присоединенном представлении этой алгебры. Докажем следующую лемму:

Лемма 1. Пусть группа (соответственно алгебра Ли), (соответственно центр группы (соответственно алгебры Ли и пусть -естественный гомоморфизм группы (соответственно алгебры на (соответственно на Пусть (соответственно подгруппа (соответственно подалгебра) группы (соответственно алгебры Для того чтобы была группой Картана группы необходимо и достаточно, чтобы и чтобы была группой Картана группы Для того чтобы была алгеброй Картана алгебры необходимо и достаточно, чтобы и чтобы была алгеброй Картана алгебры

Условия необходимы в силу предложения 4 § 4; условие, согласно которому алгебра должна быть алгеброй Картана алгебры необходимо согласно предложению 17 § 4.

Покажем, что если нильпотентная подгруппа то нильпотентная подгруппа в Существует конечный ряд подгрупп группы со следующими свойствами: группа содержит только единичный элемент; для и из следует, что (предложение 2 из § 3 гл. V); наконец, Пусть имеем фсгф, и из следует, что С другой стороны, если подгруппа в О, состоящая только из единичного элемента, то из следует, что Итак, группа нильпотентна (предложение 9 из § 3, гл. V). С другой стороны, известно, что образ при всякой нильпотентной подгруппы группы есть нильпотентная группа (предложение 8 из § 3 гл. V). Отсюда можно сразу заключить, что подгруппа является максимальной нильпотентной группой в том и только в том случае, если содержит и если максимальная нильпотентная подгруппа в Предположим, что группа Картана группы и пусть нормальный делитель конечного индекса в группе Так как то нормальный делитель конечного индекса в Таким образом, эта группа 5? является подгруппой конечного индекса в своем нормализаторе. Но, с другой стороны, ясно, что для всякой подгруппы нормализатор группы есть где — нормализатор группы Итак, если подгруппа конечного индекса в своем нормализаторе в то конечного индекса в , так как изоморфна Это показывает, что если группа Картана группы то группа Картана группы Пусть теперь подгруппа в содержащая и такая, что группа Картана группы Мы уже знаем, что максимальная нильпотентная подгруппа в Пусть нормальный делитель

конечного индекса в и пусть — его нормализатор. Тогда есть нормальный делитель конечного индекса в и является поэтому подгруппой конечного индекса в своем нормализаторе в Очевидно, что и что содержится в нормализаторе группы Таким образом, конечная группа. Но группа содержится в так как конечного индекса в то конечная группа, и группа Картана группы

Предположим теперь, что подалгебра алгебры содержащая и что есть алгебра Картана алгебры Пусть -элемент из и пусть X — его класс Оператор есть как раз тот оператор, который индуцируется оператором при переходе в фактор-алгебру Так как алгебра нильпотентна, то существует такое целое число что оператор переводит Отсюда следует, что так что

поскольку Итак, алгебра нильпотентна. Если -элемент из нормализатора алгебры то класс элемента, принадлежит нормализатору алгебры т. е. алгебре поскольку алгебра совпадает со своим нормализатором. и алгебра Картана алгебры Лемма 1 доказано.

Теперь предположим, что связная группа Ли. Тогда алгебра Ли группы отождествляется с алгеброй Пусть замкнутая подгруппа в содержащая центр и пусть ее алгебра Ли. Если -естественное отображение группы на то .индуцирует аналитический гомоморфизм связной компоненты единицы группы на некоторую аналитическую подгруппу группы переводит алгебру Ли группы в алгебру Ли группы Так как является оператором перехода в фактор-алгебру то алгебра Ли группы есть С другой стороны, так как группа Ли, то относительно открыта и тем же свойством обладает группа Пусть такоз открытое подмножество в что

Покажем, что

Пусть элемент множества тогда существует такой элемент для которого так что поскольку Отсюда вытекает, что Так как множество открыто в то связная компонента единицы в следовательно, алгебра Ли группы есть Теперь можно рассматривать группу как аналитическую подгруппу группы автоморфизмов векторного пространства Учитывая лемму 1, мы видим, что теорему 5 достаточно доказать для случая, когда аналитическая (не обязательно замкнутая) подгруппа группы где V — конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел.

Лемма 2. Пусть аналитическая подгруппа группы алгебра Ли группы наименьшая алгебраическая группа, содержащая алгебра Ли группы О. Тогда группа О неприводима и есть наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая

Алгебра является алгебраической алгеброй. Так как группа Ли, содержащая то Пусть наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая неприводимая алгебраическая группа, алгебра Ли которой есть Так как то из связности группы следует, что откуда С другой стороны, имеем Следовательно, что и доказывает лемму 2.

Мы будем пользоваться в дальнейшем обозначениями леммы 2.

Покажем сначала, что алгебра Ли группы Картана группы есть алгебра Картана алгебры Пусть наименьшая алгебраическая группа, содержащая алгебраическая компонента единицы в и пусть алгебра Ли группы Группа нильпотентна (следствие предложения 10 § 3 гл. V); следовательно, тем же свойством обладают группы Так как максимальная нильпотентная подгруппа в то

С другой стороны, нильпотентная алгебра (предложение 13 § 3 гл. V); пусть ее нормализатор в алгебре Ли группы

Мы покажем, что Так как то Пусть, с другой стороны, X — элемент из Для вещественного положим так как и — алгебра Ли нормализатора группы в группе G (следствие 1 предложения 1 из гл. III, п° 9), то элемент принадлежит нормализатору группы С другой стороны, так как то содержится в Положим Тогда ясно, что принадлежит нормализатору группы в О. Но так как нормаль делитель конечного индекса в то, очевидно, -нормальный делитель конечного индекса в Так как группа Картана, то подгруппа конечного индекса в своем нормализаторе. Итак, поскольку это имеет место для всех вещественных то также и для всех вещественных ; отсюда следует, что принадлежит связной компоненте единицы группы так что Таким образом, действительно

Из леммы 2 вытекает, что есть наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая поэтому идеал в (том II. теорема 13 из § 14 гл. II), откуда следует, что векторное пространство является подалгеброй в Обозначим через нормализатор алгебры в этой алгебре. Так как

то ясно, что

отсюда следует, что

Пространство изоморфно пространству но так как содержит то содержит следовательно, совпадает с поскольку

Отсюда мы заключаем, что пространство изоморфно пространству а также пространству Но

так что Итак, мы видим, что изоморфно это показывает, что имеют одинаковую размерность и, следовательно, Нильпотентная алгебра совпадающая со своим собственным нормализатором в является, таким образом, алгеброй Картана в Но

следовательно, есть наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая С помощью предложения 21 из § 4 мы видим, во-первых, что есть пересечение алгебры с некоторой алгеброй Картана алгебры во-вторых, что алгебра Картана алгебры Но

и мы уже видели, что эта последняя алгебра совпадает с Так как то алгебра Картана алгебры (предложение 21 § 4). Заметим, кроме того, что наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая 6, и что содержится поэтому в Так как, кроме того, является наименьшей алгебраической алгеброй, содержащей тем самым алгебра Картана в

Пусть, наоборот, любая алгебра Картана в и пусть наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая Тогда -алгебра Картана в (предложение 21 § 4) и алгебра Ли некоторой группы Картана (предложение 5 § 4); группа неприводима (теорема 2 § 4). Положим Тогда группа максимальная нильпотентная подгруппа в Действительно, пусть нильпотентная подгруппа в содержащая Тогда наименьшая алгебраическая группа содержащая нильпотентна (следствие предложения 10 § 3 гл. V), содержится в и содержит следовательно, она совпадает с откуда Пусть нормальный делитель конечного индекса в и — наименьшая алгебраическая группа, содержащая Если 5 — элемент нормализатора группы то отображение переводит всякую алгебраическую группу, содержащую в алгебраическую группу, содержащую Таким образом, а это показывает, что содержится в нормализаторе группы В частности, и множество произведений элементов группы на элементы группы является группой, содержащей в качестве нормального делителя конечного индекса. Так как алгебраическая группа, то тем же свойством обладает (том И, предложение 3 из § 3 гл. II); так как группа содержит то она также содержит С другой стороны, так как алгебраическая группа, содержащая то она содержит так что Так как -подгруппа конечного индекса группы а эта последняя неприводима, то

отсюда следует, что является конечной группой. Но тогда то же самое можно сказать и о группе которая изоморфна Но группа содержится в

группа будучи подгруппой конечного индекса в является также подгруппой конечного индекса в отсюда вытекает, что — конечная группа. Следовательно, есть группа Картана группы Покажем, что ее алгебра Ли. Если то для каждого вещественного имеем

это показывает, что содержится в алгебре Ли группы С другой стороны, выше мы показали, что алгебра Ли группы которая является группой Картана группы есть алгебра Картана алгебры так как она содержит алгебру Картана 1), то она с ней совпадает. Теорема 5 доказана.

Предложение 1. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, аналитическая подгруппа группы и наименьшая алгебраическая группа, содержащая Тогда группы Картана группы являются пересечениями с групп Картана группы

Мы будем пользоваться теми же обозначениями, что и выше. Если группа Картана группы то ее алгебра Ли есть алгебра Картана алгебры это наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая которая, в свою очередь, является алгеброй Картана алгебры (предложение 21 из § 4). Из результата, установленного нами в конце доказательства теоремы 5, вытекает, что группа Картана группы Пусть, наоборот, группа Картана группы ее алгебра Ли и наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая ; тогда -алгебра Картана алгебры (предложение 21 из § 4). Пусть группа Картана группы для которой является алгеброй Ли. Групда неприводима и содержится в наименьшей алгебраической группе содержащей но нильпотентна (следствие предложения 10 из § 3 гл. V), так что следовательно, Так как группа нильпотентна и содержит то она совпадает с

Следствие. Если связная группа Ли и алгебра Картана алгебры Ли группы то существует только одна группа Картана группы для которой алгебра Ли.

Если — аналитическая подгруппа группы где V — конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, то это утверждение следует из предложения 1. В общем случае это следует из леммы 1, если рассматривать фактор-группу группы по ее центру; эту фактор-группу можно рассматривать как аналитическую подгруппу группы