§ 1. Теорема Энгеля

1. Присоединенное представление

Пусть алгебра Ли. Если X — элемент из то эндоморфизм векторного пространства мы назовем присоединенным эндоморфизмом элемента X и обозначим его через (В томе I мы условились через обозначать отображение а через оператор если элементы ассоциативной алгебры. Здесь, как и в томе II, мы возвращаемся к обычному обозначению: ) Отображение есть представление алгебры Действительно, известно, что оператор -деривация алгебры (том II, предложение 9 из § 3 гл. I), т. е.

так что

наше утверждение следует теперь из того очевидного обстоятельства, что отображение линейно. Представление называется присоединенным представлением алгебры Ли

Напомним, что центром алгебры Ли называется множество всех таких что для всех Ясно, что центр это ядро присоединенного представления.

Векторные подпространства в допустимые относительно присоединенного -это, очевидно, идеалы алгебры

Пусть подалгебра алгебры Ли Ограничение на присоединенного представления алгебры будет некоторым представлением алгебры пространством которого служит Подпространство допустимо относительно представления и ограничение на есть присоединенное представление алгебры Если то обозначение может вызвать недоразумения; при

желании избежать этого мы будем обозначать через образы элемента X в присоединенных представлениях алгебр и 1) соответственно; таким образом, ограничение на

2. Теорема Энгеля

Определение 1. Мы будем говорить, что алгебра Ли нильпотентна, если для каждого нильпотентный эндоморфизм пространства

Предл ожение 1. Всякая подалгебра нильпотентной алгебры Ли нильпотентна; если идеал в то фактор-алгебра нильпотентна.

Если то ограничение следовательно, нильпотентно, так что I) нильпотентна. Предположим, идеал алгебры Пусть X — элемент из а -класс элемента Ясно, что -эндоморфизм алгебры индуцированный эндоморфизмом в фактор-пространстве Так как нильпотентный эндоморфизм, то и нильпотентный эндоморфизм, и алгебра нильпотентна.

Напомним, что если V — конечномерное векторное пространство, то через обозначается алгебра Ли всех эндоморфизмов пространства V с законом умножения

Теорема 1 (теорема Энгеля). Пусть V — конечномерное векторное пространство, а пусть подалгебра алгебры Ли все элементы которой — нильпотентные эндоморфизмы пространства Тогда алгебра нильпотентна, и если то в V существует такой отличный от элемент, что для всех

Первое утверждение непосредственно вытекает из следующей леммы:

Лемма 1. Пусть V — конечномерное векторное пространство и X— нильпотентный эндоморфизм пространства Тогда отображение пространства в себя нильпотентно.

Обозначим это отображение через и. Тогда для каждого целого и каждого есть линейная комбинация элементов вида где целые числа

сумма которых равна то представляет тождественный автоморфизм пространства V). Действительно, это утверждение справедливо для . С другой стороны, имеем

так что если наше утверждение справедливо для то оно верно и для Пусть теперь целое такое, что Если целые неотрицательные числа, сумма которых равна то по меньшей мере одно из них так что следовательно,

Второе утверждение мы будем доказывать индукцией по размерности алгебры Для все ясно; предположим, что и что утверждение уже доказано для всех алгебр, размерность которых меньше Среди всех подалгебр отличных от выберем одну, скажем максимальной размерности. Тождественное отображение алгебры в и присоединенное представление алгебры индуцируют представления алгебры Если то нильпотентны: для это очевидно, для следует из первого утверждения теоремы 1. С другой стороны, отображает в себя; пусть а — представление алгебры индуцированное а в фактор-пространстве (ср. гл. III, п° 12). Ясно, что и операторы нильпотентны. Так как размерность меньше то из предположения индукции следует существование элемента А из такого, что для всех но Пусть А — представитель класса Тогда

для всех но Отсюда вытекает, что векторное пространство порожденное есть подалгебра алгебры и что идеал в Но так как мы выбрали собственную подалгебру максимальной, то идеал алгебры Из предположения индукции также следует, что в V существует отличный от элемент х, такой, что для всех Теперь нам понадобится следующая лемма:

Лемма 2. Пусть представление алгебры пространство представления - идеал алгебры множество всех таких, что для всех Тогда подпространство пространства V, допустимое относительно

Что подпространство в V, совершенно ясно. Пусть элемент из элемент из элемент из Тогда

так как X и принадлежат Итак, что и доказывает допустимость

Возвратимся к доказательству теоремы 1. Пусть пространство всех х, таких, что для всех тогда отличное от пространство, допустимое относительно тождественного отображения алгебры Ограничение элемента А на нильпотентно. Пусть — наименьшее целое число, для которого Тогда существует , для которого (если Так как то для всех кроме того, Так как векторное пространство, порожденное то для всех и теорема Энгеля доказана.

Следствие 1. Пусть полупростое представление алгебры и пусть идеал алгебры такой, что все элементы нильпотентны. Тогда

Действительно, обозначим через V пространство представления а через подпространство всех таких, что для всех по лемме допустимо относительно Пространство V есть прямая сумма пространства и некоторого допустимого подпространства Пусть ограничение представления на Тогда операторы из нильпотентны, но ни один ненулевой элемент из не аннулируется всеми этими операторами. Из теоремы Энгеля следует, что так что и следствие 1 доказано.

Нулевым представлением алгебры Ли мы будем называть такое ее представление что для всех нулевой эндоморфизм пространства представления.

Следствие 2. Пусть представление алгебры Ли Предположим, что для всех оператор нильпотентен. Тогда всякое простое представление алгебры содержащееся в есть нулевое представление. Если ( ряд Жордана — Гёльдера в пространстве представления то размерность пространства равна

Ясно, что если простое представление, содержащееся в представлении то оператор нильпотентен; первое утверждение, таким образом, вытекает из следствия К С другой стороны, всякоеподпространство пространства какого-нибудь нулевого представления допустимо; поэтому степень простого нулевого представления равна 1, что и доказывает второе утверждение.

Следствие 3. Пусть нилыготентная алгебра Ли размерности ее подалгебра размерности тогда содержится в качестве идеала в некоторой подалгебре размерности алгебры

Присоединенное представление алгебры индуцирует представление а алгебры относительно которого пространство допустимо. Пусть а — представление, индуцированное а в фактор-пространстве Есть то нильпотентный эндоморфизм; кроме того, мы имеем Но тогда в существует такое, что для всех Пусть А — представитель класса тогда пространство порожденное имеет размерность и является подалгеброй алгебры содержащей в качестве идеала; это следует из того, что для всех

Следствие 4. Если нильпотентная алгебра отличная от то центр алгебры также отличен от

Действительно, в силу теоремы Энгеля, существует элемент алгебры такой, что для всех

Напомним, что алгебра Ли а называется абелевой, если для любых из а.

Следствие 5. Если алгебра обладает нильпотентным идеалом то она содержищ также абелев идеалц отличный от

Действительно, центр идеала и отличен от (следствие и является идеалом алгебры в силу леммы 2, примененной к алгебре идеалу и присоединенному представлению алгебры

Напомним, что производной алгеброй алгебры Ли называют векторное пространство, порожденное элементами вида при из это наименьший идеал алгебры для которого фактор-алгебра абелева.

Следствие 6. Если нилыготентная алгебра Ли, отличная от то ее производная алгебра не совпадает с

Пусть ряд Жордана — Гёльдера алгебры рассматриваемой как пространство своего присоединенного представления. Размерность пространства равна 1 (следствие 2), и, следовательно, оно является абелевой алгеброй; но тогда производная алгебра от содержится в