5. Густые множества

Если множество векторное пространство или неприводимая алгебраическая группа, то алгебраически плотным, мы назвали подмножество удовлетворяющее следующему условию: существует полиномиальная функция не равная нулю на такая, что содержит все точки для которых Но эта терминология может привести к недоразумению, так как имеется понятие подмножества, плотного в в смысле топологии Зариского. Поэтому мы заменим термин "алгебраически плотный" термином "густой", для которого дадим следующее определение:

Определение 7. Мы будем говорить, что подмножество пространства V является густым множеством (в пространстве V), если неприводимо и содержит относительно открытое непустое подмножество своего замыкания.

Если А — замкнутое подмножество замыкания множества отличное от то существует полиномиальная функция над не равная нулю, но обращающаяся в нуль во всех точках множества А. Мы видим, следовательно, что неприводимое множество густое тогда и только тогда, когда существует полиномиальная функция над V, не равная нулю на и такая, что всякая точка из замыкания множества для которой принадлежит к Алгебраически плотные подмножества пространства V (в смысле наших прежних определений) суть плотные подмножества в V, которые одновременно являются густыми множествами. Равным образом алгебраически плотные подмножества алгебраической группы это плотные густые подмножества в

Предложение 18. Пусть замкнутое неприводимое подмножество пространства Пересечение конечного числа

густых множеств, плотных в есть густое множество, плотное в Если -густое множество, плотное в и плотное подмножество в множество плотно в

Первое утверждение непосредственно вытекает из предложения 8. Так как плотно в то неприводимо (предложение 9) и пересекается со всеми непустыми и относительно открытыми подмножествами в Множество содержит, следовательно, относительно открытое непустое подмножество множества Отсюда можно заключить, что оно плотно в и тем самым в

Пусть надполе поля К. Густое подмножество в V не обязательно будет густым, если его рассматривать как подмножество пространства получаемого из V расширением основного поля до Однако можно, наоборот, доказать следующий результат:

Лемма 2. Пусть неприводимое подмножество в пространстве надполе поля замыкание множества в пространстве и плотное густое подмножество в Тогда густое плотное подмножество замыкания множества

Так как топология Зариского пространства V индуцируется в V топологией Зариского пространства то из предложения 18 следует, что плотно в следовательно, что плотно в Кроме того, так как содержит относительно открытое подмножество множества то содержит относительно открытое подмножество множества Это доказывает лемму 2.

Предложение 19. Пусть конечномерные векторные пространства над полем густое подмножество в густое подмножество в Тогда густое подмножество пространства

Множество (соответственно содержит относительно открытое непустое подмножество (соответственно своего замыкания (соответственно Множество содержит множество которое непусто и относительно открыто в (ср. рассуждения в п° 2, следующие за предложением 7). Множества неприводимы (предложение 9); значит, и

множество неприводимо (предложение 11). Отсюда можно заключить (предложение 8), что и тем самым плотны в Кроме того, так как замкнуто, то оно совпадает с замыканием множества

Предложение 20. Пусть густое подмножество в -полиномиальное отображение в конечномерное векторное пространство над полем К. Если К алгебраически замкнуто, то густое подмножество в

Пусть замыкание множества Существует элемент из такой, что содержит все точки для которых Отображение являющееся ограничением на некоторого полиномиального отображения пространства V, можно продолжить в полиномиальное отображение множества пусть Отображение есть изоморфизм кольца на некоторое подкольцо 3 кольца содержащее поле К. Пусть координатные функции над К в некотором базисе этого пространства, и пусть - ограничение функции на Имеем

Из леммы 2 § 7 гл. I (том II) следует тогда существование элемента кольца 8, такого, что всякий гомоморфизм 3 в поле который не отображает элемент в 0, может быть по крайней мере одним способом продолжен в гомоморфизм кольца в поле не отображающий в 0. Пусть

Пусть замыкание множества Так как плотно в а -непрерывная функция, то плотно в следовательно, замыкание множества Множество неприводимо (предложение 12); значит, и множество неприводимо (предложение 9). Гомоморфизм ограничения кольца на кольцо является изоморфизмом; пусть элемент из для которого Мы покажем, что для которых принадлежат множеству этим будет доказано предложение 20 (так как Отображение

является гомоморфизмом кольца в поле не

отображающим в 0. Отображение есть гомоморфизм кольца в поле К, не отображающий 50 в 0; следовательно, этот гомоморфизм можно продолжить в некоторый гомоморфизм кольца в поле К, не отображающий в 0. Пусть точка из V, для которой Если полиномиальная функция над ограничение на то можно положить

где A - полином от переменных с коэффициентами из Имеем

и, в частности, если т. е. если обращается в нуль на Отсюда следует, что имеем так что Если то

Так как продолжает мы видим, что для всех полиномиальных функций над Применяя эти результаты к ограничениям на координатных функций относительно некоторого базиса пространства мы заключаем, что что и доказывает предложение 20.

Если полиномиальное отображение неприводимого подмножества пространства V в векторное пространство над полем К и если надполе поля К, то ясно, что можно продолжить, и притом единственным образом, в полиномиальное отображение замыкания множества в пространстве получаемом из V расширением основного поля до в пространство получаемое из расширением основного поля до

Предл ожение 21. Предположим, что характеристика поля К равна 0. Пусть -полиномиальное отображение густого подмножества пространства V в конечномерное векторное пространство над полем К. Предположим, что существует алгебраически замкнутое надполе поля обладающее следующим свойством: существует плотное и густое подмножество замыкания множества в такое, что полиномиальное отображение множества

в продолжающее индуцирует взаимно однозначное отображение Тогда множество густо в Существует густое и плотное подмножество множества со следующими свойствами: индуцирует взаимно однозначное отображение и если отображение на обратное ограничению отображения на то является ограничением на некоторого рационального отображения определенного всюду на множестве

Если А — подмножество некоторого векторного пространства, то через мы обозначим кольцо полиномиальных функций над А. Если полиномиальная функция на то полиномиальная функция над Множество всех элементов из которые представимы в виде где полиномиальная функция над образует, очевидно, некоторое подкольцо кольца Обозначим через поле отношений кольца через поле отношений кольца тогда Мы покажем, что Предположим временно, что Пусть алгебраически замкнутое надполе поля Так как характеристика поля 20 равна 0, то существует по меньшей мере один автоморфизм поля оставляющий все элементы поля на месте, но не оставляющий на месте все элементы из баки, Алгебра, гл. V, § 6, предложение Обозначим через О кольцо, порождаемое в элементами из и их образами при автоморфизме Кольцо получается из поля присоединением координатных функций над относительно некоторого базиса пространства Таким образом, кольцо О можно получить из поля присоединением конечного числа элементов. Так как есть поле отношений кольца то существует элемент из для которого Пусть элемент из такой, что всякая точка в которой принимает значение, отличное от 0, принадлежит множеству положим Из леммы 2 § 7 гл. I (том II) сразу следует, что существует гомоморфизм кольца О в поле совпадающий с тождественным отображением на I и такой, что

Пусть базис пространства V, а значит, и пространства и пусть ограничения на координатных функций относительно этого базиса. Положим

точка из и для имеем Так как то так что Обозначим через точку

Так как отображение - гомоморфизм кольца совпадающий на с тождественным отображением, то точка из и для имеем Так как то откуда Так как то

откуда Если -полиномиальная функция над

Но автоморфизм 7 оставляет элементы поля на месте; следовательно,

Так как это свойство имеет место для всех полиномиальных функций над то Это приводит нас к противоречию, так как отображение индуцирует взаимно однозначное отображение на множестве Итак, мы действительно имеем

Существует полиномиальная функция на замыкании подмножества такая, что всякая точка для которой принадлежат Функцию можно продолжить в полиномиальную функцию над мы ее также обозначим через Существуют элементы из вдля которых

Покажем, что значения, принимаемые этими функциями на можно предположить принадлежащими полю К. Пусть базис поля над полем К. Следовательно, можно положить

где полиномиальные функции над принимающие на значения из причем только конечное число этих функций (достаточно заметить, что ограничения полиномиальных функций над Для имеем

Но элементы

все принадлежат полю Таким образом, мы имеем

для всех Функции

равные нулю во всех точках множества равны нулю тождественно. С другой стороны, для каждого существует такой индекс что 0; это и доказывает наше утверждение.

Итак, мы будем в дальнейшем предполагать, что значения, принимаемые функциями на множестве принадлежат полю К. Согласно предложению 20, множество густое. Следовательно, густым будет также множество точек из в которых функция не равна нулю. Кроме того, множество плотно в Так как плотно в то плотно в Следовательно, из леммы 2 вытекает, что множество густо в и плотно в замыкании множества Пусть у — точка этого множества.

Так как то существует такой элемент что и мы имеем

Элементы принадлежат полю и

Отсюда вытекает, что элементы принадлежат К, так что и откуда

Итак, мы имеем Таким образом, множество содержит густое подмножество плотное в его замыкании Отсюда сразу следует, что есть густое множество.

Ясно, что множество тех точек из для которых является густым и плотным подмножеством в Согласно лемме 2, тем же свойством обладает и множество Отсюда мы заключаем, что густое и плотное подмножество в Отображение индуцирует взаимно однозначное отображение множества Если то мы имеем откуда следует, что отображение обратное ограничению отображения на множество есть ограничение на некоторого рационального отображения пространства всюду определенное на Предложение доказано.