10. Коварианты

Пусть представления группы (соответственно алгебры Ли ) над одним и тем же основным полем, и пусть пространства этих представлений. Линейное отображение пространства V в пространство V называется ковариантом представлений если

для всех элементов 5 группы (соответственно для всех элементов X алгебры ).

Понятие инварианта есть частный случай понятия коварианта. Действительно, пусть представление группы (соответственно алгебры Ли ), и пусть К — основное поле пространства V представления Введем в рассмотрение "тривиальное" представление группы (соответственно алгебры Ли ), отображающее все элементы (соответственно все на тождественный автоморфизм (соответственно на нулевой эндоморфизм) поля К у рассматриваемого как одномерное векторное пространство над самим собой. Элементы из V можно отождествить с линейными отображениями пространства К в пространство V, если сопоставить каждому линейное отображение Инварианты представления (соответственно гармонические элементы по отношению к представлению являются тогда не чем иным, как ковариантами представлений

Но и обратно, понятие коварианта можно свести к понятию инварианта, Действительно, сохраняя предыдущие обозначения, введем в рассмотрение векторное пространство всех линейных

отображений Пусть представления группы Сопоставим каждому элементу отображение

пространства в себя. Легко видеть, что есть представление группы Коварианты представлений это как раз те элементы пространства которые являются инвариантами представления

Предположим теперь, что пространства конечномерны. Тогда существует естественный изоморфизм тензорного произведения пространства V и пространства, дуального к V, на определенное выше пространство сопоставляющий каждому элементу вида линейное отображение

Действительно, очевидно, что отображение

есть билинейное отображение пространства в оно, следовательно, определяет линейное отображение пространства Пусть -базис пространства -дуальный базис пространства V [откуда ], а - базис пространства Отображение хпереводит а в О, если отсюда следует, что отображения

образуют базис пространства . С другой стороны, элементы образуют базис пространства это показывает, что отображение осуществляет изоморфизм на Предполагая все время, что представления группы, обозначим через представление, дуальное к то отображение переводит в

Учитывая соотношение

мы непосредственно убеждаемся в том, что

отсюда следует, что

Это показывает, что представление эквивалентно представлению Проблема нахождения ковариантов представлений сводится, следовательно, к проблеме нахождения инвариантов представления содержащихся в пространстве этого представления.

Предположим теперь, что алгебраическая группа и что ее рациональные представления. Тогда дифференциал представления есть тензорная сумма представления и представления, дуального к Отсюда сразу следует, что если эндоморфизм X принадлежит алгебре Ли группы то есть эндоморфизм

пространства Пусть вообще представления некоторой алгебры Ли и пусть представление, дуальное к Представлению алгебры изоморфизм сопоставляет представление алгебры в пространстве если то

Коварианты пары суть элементы пространства гармонические относительно представления

Предложение 15. Пусть рациональные представления неприводимой алгебраической группы над полем характеристики 0. Тогда коварианты представлений те же, что и коварианты пары представлений алгебры Ли группы

Это утверждение вытекает из следствия 5 теоремы 1, п° примененного к представлению

Замечание. Если не предполагать, что группа неприводима и что характеристика основного поля равна нулю, то утверждение, что каждый ковариант представлений является также ковариантом представлений остается справедливым (ср. замечание после следствий теоремы 1, п° 9).

Пусть теперь представления группы (соответственно алгебры Ли ) над одним и тем же полем, и пусть представление, дуальное к Обозначим через V и

пространства представлений а через пространство, дуальное к Пространство отождествляется, как мы видели, с пространством билинейных форм над Тогда изоморфизм сопоставляет каждой билинейной форме В над естественно соответствующее ей линейное отображение пространства V в этот факт легко усмотреть, рассматривая случай, когда В — произведение линейной функции на на линейную функцию на V, откуда Изоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между пространством билинейных форм на , гармонических относительно представлений и и пространством ковариантов пары представлений

Впрочем, можно и непосредственно доказать, что линейное отображение пространства V в естественно соответствующее билинейной форме В, инвариантной (соответственно гармонической) относительно представлений и является ковариантом представлений Пусть элементы пространств V и соответственно. Предположим сначала, что представления некоторой группы Если то

так что Предположим теперь, что представления алгебры Ли Если то

так что Это доказательство проходит даже в случае представлений групп бесконечной степени. Если провести все выкладки в обратном порядке, то можно убедиться, что если линейное отображение, соответствующее билинейной форме В на , есть ковариант представлений то сама форма В — инвариантный (соответственно гармонический) элемент относительно представлений и

Предложение 16. Пусть - ковариант представлений группы G (соответственно алгебры Ли ) над одним и тем же полем. Тогда ядро отображения

допустимо относительно представления а образ пространства V представления при отображении есть подпространство пространства V представления допустимое относительно

Пусть элемент группы (соответственно алгебры ). Если то

отсюда следует, что пространство допустимо относительно представления Кроме того, если то так что это показывает, что пространство допустимо относительно представления

Следствие 1 (лемма Шура). Сохраняя обозначения предложения 16, предположим дополнительно, что представления простые. Тогда каждый отличный от ковариант представлений есть изоморфизм V на

Действительно, пусть - отличный от ковариант. Так как ядро отображения отлично от V, то из простоты представления следует, что Так как пространство отлично от то из простоты представления следует, что Таким образом, изоморфизм V на

Следствие 2. При обозначениях предложения 16 предположим дополнительно, что простые представления конечной степени и что основное поле пространств алгебраически замкнуто. Тогда пространство ковариантов представлений имеет размерность 1. Единственные эндоморфизмы пространства V, перестановочные со всеми операторами из (соответственно из это скалярные кратные тождественного отображения.

Эндоморфизм пространства V, перестановочный со всеми операторами из (соответственно из есть ковариант пары ; если он отличен от 0, то это автоморфизм пространства V (следствие 1). Множество эндоморфизмов пространства V, перестановочных со всеми операторами из (соответственно из очевидно, является подалгеброй алгебры 6 всех эндоморфизмов пространства Так как все отличные от нуля элементы из обратимы, то есть тело. Так как V — конечномерное пространство, то размерность алгебры 6 и тем более алгебры конечна. Если то наименьшее

подтело тела 6, содержащее основное поле К пространства V и элемент С, есть коммутативное поле конечной степени над так как поле К алгебраически замкнуто, то это поле совпадает с полем К, так что Но это означает, что С — скалярное кратное тождественного автоморфизма пространства Предположим теперь, что существует ковариант представлений Если -любой ковариант представлений то очевидно, есть ковариант пары Из сказанного следует, что где с — элемент основного поля.

Мы используем теперь полученные результаты для нахождения билинейных инвариантов системы двух представлений. Для этого нам понадобится следующее предложение:

Предложение 17. Если представление группы или алгебры Ли простое (соответственно полупростое) представление конечной степени, то дуальное представление также простое (соответственно полупростое).

Пусть V — пространство представления Предположим, что простое представление, и пусть подпространство пространства V, дуального к V, допустимое относительно Пусть пространство тех элементов для которых при всех Если размерность V равна а размерность равна то размерность равняется Пусть элемент из элемент из Если представление группы то для имеем

Но элемент принадлежит пространству поэтому следовательно, Если представление алгебры Ли то для имеем

и, как и в случае представления группы, мы видим, что Итак, пространство допустимо относительно представления Так как, по предположению, простое, то или так что или так что значит, представление простое. Если теперь предположить, что полупростое, то оно эквивалентно декартову произведению (соответственно декартовой сумме) некоторого конечного числа (поскольку степень представления конечна) простых

представлений Из предложения следует, что эквивалентно декартову произведению (соответственно декартовой сумме) представлений, дуальных к представлениям Эти дуальные представления простые, так что полупростое.

Предложение 18. Пусть представления группы (соответственно алгебры над одним и тем же полем К, и пусть пространства этих представлений. Пусть В — билинейная форма над , инвариантная (соответственно гармоническая) относительно и Тогда пространство тех для которых при всех допустимо относительно представления

Так как форма В инвариантна (соответственно гармонична), то естественно соответствующее ей линейное отображение пространства V в пространство, дуальное к есть ковариант представления и представления дуального к Пространство ядро отображения и предложение 18 вытекает непосредственно из предложения 16.

Следствие 1. Сохраняя обозначения предложения 18, предположим дополнительно, что простые представления конечной степени и что Тогда форма В невырождена.

Так как то так как, по предположению, представление простое, то сводится к Билинейная форма В определенная формулой

гармонична относительно представлений Применяя к ней результат, полученный нами для формы В, мы видим, что если элемент удовлетворяет равенству для всех то

Следствие 2. При обозначениях предложения 18 предположим дополнительно, что простые представления конечной степени и что основное поле К алгебраически замкнуто. Тогда пространство билинейных форм над , инвариантных (соответственно гармонических) относительно представлений и имеет размерность 1.

Это пространство изоморфно пространству ковариантов представления и представления дуального к представлению Так как представление простое (предложение 17), то следствие 2 вытекает из следствия 2 предложения 16.

Следствие 3. Пусть простое представление конечной степени группы (соответственно алгебры над алгебраически замкнутым полем. Тогда всякая билинейная форма В над где V — пространство представления инвариантная (соответственно гармоничная) относительно или симметрична, или кососимметрична.

Пусть В — форма, определенная условием

Ясно, что форма В, в свою очередь, инвариантна (соответственно гармонична) относительно Можно предположить, что тогда из следствия 2 вытекает, что где с — скаляр.

Имеем

так что что и доказывает следствие 3.