§ 2. Радикал. Наибольший нильпотентный идеал

1. Радикал

Теорема 2. Пусть алгебра Ли над полем характеристики 0. Тогда все разрешимые идеалы алгебры содержатся в одном из них, скажем в алгебра полупроста, и содержится во всяком идеале а, таком, что алгебра полупроста.

Так как алгебра конечномерна, то совокупность ее разрешимых идеалов имеет по меньшей мере один максимальный элемент (множество разрешимых идеалов непусто, так как содержит Пусть какой-нибудь разрешимый идеал; тогда подпространство алгебры допустимое относительно ее присоединенного представления и, следовательно, идеал. Алгебра изоморфна алгебре которая разрешима (предложение 3 § 1); значит, идеал разрешим, в силу предложения 6 § 1. Так как то имеем откуда Пусть абелев идеал алгебры можно положить где идеал алгебры содержащий Так как разрешимы, то и разрешим (предложение 6 § 1), и откуда Таким образом, алгебра полупроста, в силу теоремы Картана (теорема 2 из § 2 гл. IV). Пусть а — идеал в такой, что алгебра полупростая; тогда идеал в и алгебра которая является идеалом в полупроста (предложение 6 из § 2 гл. IV). Но алгебра изоморфна алгебре которая разрешима (предложение 3 § 1); таким образом,

Определение 1. При обозначениях теоремы 2 идеал (который, очевидно, определен однозначно) называется радикалом алгебры

Ясно, что радикал алгебры Ли над полем характеристики О содержит центр алгебры Необходимым и достаточным условием для редуктивности алгебры является совпадение ее радикала и центра. Действительно, пусть и с — радикал и центр алгебры Если алгебра редуктивна, то алгебра полупроста, откуда с (теорема 2), и, следовательно, Наоборот, если то алгебра полупроста, и алгебра редуктивна. Для того чтобы алгебра была полупростой, необходимо и достаточно, чтобы ее радикал был равен

Предложение 1. Радикал алгебры над полем характеристики является единственным разрешимым идеалом алгебры для которого фактор-алгебра полупроста.

Это непосредственно следует из теоремы 2.

Предл ожение 2. Пусть -гомоморфизм алгебры Ли над полем характеристики 0, и пусть радикал алгебры Тогда радикалом алгебры является

Ясно, что идеал алгебры этот идеал разрешим (предложение 3 § 1). С другой стороны, индуцирует гомоморфизм на тем самым последняя алгебра изоморфна некоторой фактор-алгебре алгебры следовательно, полупроста (предложение 6 § 2 гл. IV). Таким образом, предложение 2 вытекает из предложения 1.

Предложение 3. Пусть алгебра Ли над полем К характеристики ее радикал и надполе поля К. Тогда радикал алгебры Ли получаемой из расширением основного поля до есть

Ясно, что идеал алгебры этот идеал разрешим (предложение 9 § 1). Алгебру можно отождествить с алгеброй получаемой из расширением основного поля до (ср. § 6 гл. I, том II); следовательно, она полупростая (предложение 10 § 2 гл. IV). Предложение 3 вытекает теперь из предложения 1.

2. Наибольший нильпотентный идеал

Теорема Пусть представление алгебры Ли над полем характеристики 0. Идеалы алгебры такие,

что все элементы из нильпотентны, содержатся в одном из них, скажем в состоит из всех элементов таких, что для всех простых представлений а алгебры содержащихся в Пусть ассоциативная алгебра, порожденная элементами из тождественным автоморфизмом I пространства V представления тогда состоит из всех таких, для всех Пусть — двусторонний идеал в порожденный множеством если длина представления то произведение любых элементов из равно нулю. Идеал содержит пересечение радикала и производной алгебры от алгебра редуктивна; всякий элемент такой, эндоморфизм нильпотентен, принадлежит

Пусть некоторая последовательность Жордана— Гёльдера в пространстве представления Обозначим через множество эндоморфизмов пространства V, отображающих каждое из пространств в себя, а через множество эндоморфизмов пространства V, таких, что Ясно, что подалгебра ассоциативной алгебры всех эндоморфизмов пространства V и что она содержит откуда Множество 9 является подпространством в если то

откуда таким образом, — двусторонний идеал в Если элементы из то из предыдущего видно, что произведение отображает в откуда так как Пусть представление, получаемое из ограничением на а — представление, индуцированное представлением в фактор-пространстве Представления простые, и каждое простое представление, содержащееся в эквивалентно одному из них. Поэтому множество всех таких, что для всех простых представлений содержащихся в является также множеством тех X, для которых ядро представления декартовой суммы представлений значит, является идеалом. Представление полупростое; в фактор-алгебре оно индуцирует точное полупростое представление это показывает, что редуктивна (предложение 3 § 4 гл. IV). Радикалом алгебры является

(предложение 2), а ее производной алгеброй - (предложение 2 § 1); так как пересечение этих двух множеств состоит только из (предложение 1 § 4 гл. IV), то Пусть X — элемент из такой, что нильпотентен, и пусть X — его класс тогда и нильпотентен. С другой стороны, элемент X принадлежит идеалу который совпадает с центром алгебры Теперь из теоремы 4 § 4 гл. IV вытекает, что эндоморфизм полупрост и, значит, является нулевым эндоморфизмом, откуда Очевидно, что поэтому двусторонний идеал порожденный множеством содержится в и произведение любых элементов из равно нулю. Если то для имеем откуда так как Пусть такой идеал в что все элементы из нильпотентны; тогда нильпотентны будут также все элементы из , откуда поскольку представление простое (следствие 1 теоремы Энгеля, § 1 гл. IV). Так как это справедливо для всех то Пусть множество всех таких, для всех это подпространство алгебры содержащее Пусть X — элемент из - элемент из элемент из Тогда

[формула (1) из § 2 гл. IV], и этот элемент равен нулю, так как Таким образом, что показывает, что идеал. Пусть - реплика эндоморфизма элемент может быть представлен в виде полинома от (предложение 3 из § 14 гл. II, том II), так что Следовательно, так как это справедливо для всякой реплики эндоморфизма то нильпотентен. Так как идеал, то значит, Теорема 3 доказана.

Предложение 4. Пусть алгебра Ли над полем характеристики 0. Тогда все нильпотентные идеалы алгебры содержатся в одном из них, скажем в Идеал содержит пересечение радикала и производной алгебры он состоит из всех элементов X радикала алгебры для которых нильпотентен. Алгебра редуктивна.

Для того чтобы некоторый идеал алгебры был нильпотентен, необходимо и достаточно, чтобы для всех эндоморфизм нильпотентен. Условие, очевидно, достаточно. Предположим теперь, что нильпотентен; если то

отображает и ограничение на совпадающее с нильпотентно, что и показывает, что элемент нильпотентен. С другой стороны, всякий нильпотентный идеал алгебры разрешим (предложение 7 § 1) и, следовательно, содержится в радикале алгебры Предложение 4 вытекает теперь из теоремы 3.

Идеал о котором говорится в предложении 4, называется наибольшим нильпотентным идеалом алгебры

Предложение 5. Пусть алгебра Ли над полем характеристики ее радикал и ее наибольший нильпотентный идеал. Тогда всякая деривация алгебры отображает

Для доказательства предложения 5 установим сначала следующую лемму:

Лемма 1. Пусть алгебра Ли, и пусть алгебра Ли дериваций алгебры Определим умножение на произведении векторных пространств по следующей формуле:

При таком определении умножения пространство становится некоторой алгеброй Ли Если обычным образом отождествить с подпространствами в то становится подалгеброй, идеалом алгебры

Если отождествить с подпространствами произведения то, как легко видеть, эти подпространства инвариантны относительно определенного нами закона умножения и ограничения этого закона умножения на как раз являются умножениями в алгебрах Ли кроме того, для Определенный нами закон умножения на очевидно, является бинарной операцией, и если нам остается только проверить, что

для Но отображение сопоставляющее каждой тройке значение левой части нашей формулы, очевидно, является трилинейным отображением. Кроме того,

из формулы следует, что для из Отсюда мы заключаем, что для каждой перестановки а) совокупности

Отсюда видно, что наши формулы достаточно проверить для следующих случаев: принадлежат лежат в а лежит в а принадлежат Из сказанного выше вытекает, что формула справедлива в случаях а) и г). Предположим, что. тогда

согласно определению Предположим, наконец, что тогда

так как деривация. Лемма 1 доказана.

Теперь мы можем доказать предложение 5. Определим алгебру как в лемме 1, и отождествим с ее подпространствами. Пусть радикал и наибольший нильпотентный идеал алгебры ; является идеалом изоморфно Но так как идеал в алгебре то и идеал в идеал полупростой алгебры Отсюда и из предложения 6 § 2 гл. IV следует, что алгебра полупростая, так что . С другой стороны, нильпотентный идеал алгебры значит, он содержится в ее наибольшем нильпотентном идеале Пусть деривация алгебры и -элемент из Тогда этот элемент содержится, таким образом, в (так как и в производной алгебре от Отсюда мы заключаем (предложение 4), что

и предложение 5 доказано.

Следствие. Пусть алгебра Ли над полем характеристики — идеал Радикал и наибольший нильпотентный идеал алгебры а являются идеалами в

Если то ограничение на а оператора есть деривация алгебры а; из предложения 5 следует, что но содержится в что и доказывает следствие.

Предл ожение 6. Пусть представление алгебры Ли над полем характеристики 0. Если билинейная формау соответствующая невырождена, то точное представление и алгебра редуктивна.

Первое утверждение очевидно. Пусть — идеал алгебры такой, что все элементы из нильпотентны. Из теоремы 3 следует тогда, что для это влечет откуда Значит, пересечение радикала алгебры равно (теорема 3), и алгебра изоморфна алгебре которая является идеалом в и поэтому полупростой алгеброй (предложение 6 § 2 гл. IV). Алгебра редуктивна, согласно предложению 1 § 4 гл. IV.

Предложение 7.1) Пусть редуктивная алгебра Ли и а — ее подалгебра, такая, что есть прямая сумма а и некоторого векторного пространства для которого Тогда алгебра а редуктивна.

Алгебра допускает полупростое точное представление (предложение 3 § 4 гл. IV). Таким образом, мы можем предположить, что подалгебра алгебры где V — конечномерное векторное пространство над полем К характеристики 0, и что тождественное отображение в есть полупростое представление алгебры Отсюда следует, что присоединенное представление а алгебры индуцирует полупростое представление алгебры (следствие 2 предложения 4 § 4 гл. IV); следовательно, прямая сумма алгебры и некоторого векторного пространства такого, что Пусть тогда прямая сумма пространств Мы хотим показать, что наибольший идеал алгебры а, состоящий из нильпотентных элементов алгебры совпадает с отсюда, в силу теоремы 3, будет вытекать, что а — редуктивная алгебра. Предположим на время, что содержит элемент Тогда в существуют такие

элементы что (предложение 2 § 7 гл. IV), откуда Пусть так как оператор отображает каждое из пространств в себя, то

Пусть тогда элемент принадлежит а; отображение допускает характеристический корень 1 и, следовательно, не нильпотентно. С другой стороны, так как то находится в и является, следовательно, нильпотентным эндоморфизмом. Отсюда вытекает, что элемент нильпотентен (лемма 1 из § 1 гл. IV), и мы пришли к противоречию. Предложение 7 доказано.

Замечание. Это доказательство показывает, что если полупростое точное представление алгебры то не существует такого идеала алгебры а, что все элементы из нильпотентны.

Предложение 8. Пусть редуктивная алгебра Ли и некоторая группа ее автоморфизмов; предположим, что тождественное отображение группы в группу всех автоморфизмов алгебры есть полупростое представление группы Тогда алгебра а всех элементов из оставляемых на месте операторами из редуктивна и всякое полу простое представление алгебры индуцирует полупростое представление алгебры а.

Из леммы 1 § 5 гл. IV следует, что прямая сумма алгебры а и векторного пространства порожденного элементами где Для имеем

как это непосредственно следует из того, что автоморфизм, оставляющий элемент А на месте; итак, и из предложения 7 следует, что алгебра а редуктивна. Алгебра есть прямая сумма своего центра и своей производной алгебры (предложение 1 из § 4 гл. IV), и ясно, что каждый оператор из отображает каждое из пространств в себя. Пусть элемент из а, причем

откуда Отсюда мы немедленно заключаем, что

так как а содержится в центре с алгебры а, то с — прямая сумма алгебр является, очевидно, центром алгебры Пусть точное полупростое представление алгебры (предложение 3 § 4 гл. IV), и пусть -элемент из с Представление индуцирует полупростое представление полупростой алгебры таким образом, в существуют такие элементы что соответственно служат полупростой и нильпотентной компонентами (лемма 2 из § 4 гл. IV). Отсюда следует, что являются полупростой и нильпотентной компонентами (следствие 4 предложения 4 § 4 гл. IV). Пусть элемент из напомним, что

для всех Отсюда следует, что оператор полупростой, нильпотентный. С другой стороны, откуда

так что

Отсюда вытекает, что

Но элемент принадлежит алгебре пересечение которой с содержит только 0; следовательно, так как это верно для всех то С другой стороны, представим в виде полинома от перестановочного со всеми элементами из ; тем самым перестановочен со всеми элементами из так что поскольку представление точное. Таким образом, подпространство алгебры а, порожденное элементами является идеалом. Вспоминая замечание, сделанное после доказательства предложения 7, мы видим, что так что полупрост. С другой стороны, если то эндоморфизм полупростой (теорема 4 § 4 гл. IV) и перестановочный с так что и эндоморфизм полупростой (предложение 4 § 8 гл. I,

том II). Следовательно, элементы из полупростые, и индуцирует полупростое представление алгебры а (теорема 4 § 4 гл. IV). Отсюда и из предложения 5 § 4 гл. IV следует второе утверждение предложения 8.

Предложение 9. Пусть редуктивная алгебра Ли и ее подалгебра, такая, что присоединенное представление алгебры индуцирует полупростое представление алгебры Тогда алгебра а тех элементов из которые перестановочны с элементами из редуктивна, и всякое полупростое представление алгебры индуцирует полупростое представление а.

Алгебра образ алгебры при присоединенном представлении алгебры является подалгеброй алгебры дериваций алгебры алгебра есть алгебра Ли группы автоморфизмов алгебры (теорема 16 § 14 гл. II, том II). Пусть с — наименьшая алгебраическая подалгебра алгебры содержащая Множество всех дериваций алгебры таких, что является алгебраической подалгеброй в и содержит следовательно, она содержит также с. Так как а — множество всех элементов из перестановочных со всеми элементами из то оно является одновременно множеством всех элементов из отображаемых в всеми операторами из с. Алгебра с есть алгебра Ли неприводимой алгебраической группы автоморфизмов алгебры множество всех элементов из оставляемых на месте операторами из (следствие 5 теоремы 1 из гл. III, п° 9). Если такое подпространство алгебры что то множество дериваций алгебры отображающих в себя, образует алгебраическую алгебру Ли, содержащую а значит, и с. Отсюда следует, что тождественное отображение с в пространство эндоморфизмов пространства есть полупростое представление алгебры с, так что тождественное отображение группы в группу автоморфизмов прэстранства полупростое представление группы (следствие 4 теоремы 1 из гл. III, п° 9). Предложение 9 вытекает теперь из предложения 8.

Предложение 10. Пусть представление алгебры Ли над полем К характеристики наибольший идеал в такой, что все элементы из нильпотентны, и надполе К. Пусть -представление алгебры продолжающее тогда наибольшим идеалом алгебры

таким, что все элементы из нилъпотентны, является

Мы воспользуемся обозначениями доказательства теоремы 3. Если то так что отсюда вытекает, что также для всех элементов X из Следовательно, все элементы из нильпотентны; как идеал содержится в Пространство есть пространство представления алгебры продолжающего Из теоремы 6 § 8 гл. I (том II) следует, что представление полупростое. Элементы из очевидно, нильпотентны; поэтому из следствия 1 теоремы Энгеля (§ 1 гл. IV) вытекает, что т. е. что операторы из отображают Пусть

— элемент из где элементы из линейно независимые относительно К. Пусть элемент из отождествив с можно написать

Элементы принадлежат так как линейно независимы относительно то Так как это справедливо для всех то все нули. Это имеет место для всех , все принадлежат откуда что и доказывает предложение 10.

Следствие. Пусть алгебра Ли над полем К характеристики ее наибольший нильпотентный идеал и надполе поля Тогда наибольший нильпотентный идеал алгебры есть

Действительно, из предложения 4 получаем, что - наибольший идеал алгебры такой, что все элементы из нильпотентны. Следствие непосредственно вытекает поэтому из предложения 10.